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2010年全国数学联赛一试、二试试题及答案[1]

2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其 他中间档次。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 [?3, 3 ] .

解:易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为 [?3, 3 ] . 2. 已知函数 y ? ( a cos x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 ?
2

3 ? a ? 12 . 2

解:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? ( ?at ? a ? 3)t ,即
2

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .


? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at (t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 ,

(t ? 1)(? at (t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知

? at (t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .

(1)

当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;
2

对 ? 1 ? t ? 0,? 从而可知
2

1 ? t2 ? t ? 0. 4 3 ? ? a ? 12 . 2

3. 双曲线 x ? y ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为
2

整数的点)的个数是 1790 . 解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k ( k ? 1,2, ? ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直

1

线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为

? (99 ? k ) ? 99 ? 9 ? 45 ? 846 .
k ?1

9

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为

2 ? 846 ? 98 ? 1790 .
4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a 2 ? b2 ,3a 5 ? b3 , 且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 a n ? log ? bn ? ? ,则 ? ? ? ? 解:设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则
3

3 ?3.

3 ? d ? q,
3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
(1)代入(2)得

(1) (2)

9 ? 12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .
从而有 即 从而 求得

3 ? 6(n ? 1) ? log ? 9 n ?1 ? ? 对一切正整数 n 都成立,

6n ? 3 ? (n ? 1) log ? 9 ? ? 对一切正整数 n 都成立. log ? 9 ? 6,?3 ? ? log ? 9 ? ? ,

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
2x

5. 函数 f ( x) ? a

? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上

的最小值是 ?

1 . 4
2

解:令 a ? y, 则原函数化为 g ( y ) ? y ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (?
x

3 ,+?) 上是递增的. 2

当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ] ,

?1

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以 g ( y ) min ? ( ) ? 3 ?
2

1 , 2

1 2

1 1 ?2? ? ; 2 4



a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,
2

g ( y ) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以 g ( y ) min ? 2

1 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4
?2

6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是

84 . 119 21 7 ? ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12

解:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

7 5 7 5 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? 12 12 12 12 12 84 7 1 . ? ? ? 25 119 12 1? 144
7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? ,则

sin ? ?

10 . 4

解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则 B (1,0,0), B1 (1,0,2), A1 ( ?1,0,2), P (0, 3 ,1) ,从而,

BA1 ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3 ,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3 ,?1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则

? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x 2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0,
由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3 ) ,
B1

z

A1 C1

P A O C B y

?? ? ?? ? 所以 m ? n ? m ? n cos ? ,
即 3?

2 ? 2 cos ? ? cos ? ?

6 . 4

x

3

所以 sin ? ?

10 . 4

A1 C1 E B1 O A P

解二:如图, PC ? PC1 , PA1 ? PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则

OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1 B ? AB1 .
因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 ,
从而 AB1 ? 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角. 设 AA1 ? 2 ,则易求得

C B

PB ? PA1 ? 5 , A1O ? B1O ? 2 , PO ? 3 .
在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE , 即

2 ? 3 ? 5 ? OE ,? OE ?

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?

6 4 5 . ? 5 5

sin ? ? sin ?B1 EO ?

B1O 2 10 ? ? . 4 B1 E 4 5 5

8. 方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 336675 . 解:首先易知 x ? y ? z ? 2010 的正整数解的个数为 C 2009 ? 2009 ? 1004 .
2

把 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 ,
4

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 , k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 . 从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为 1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .
二、解答题(本题满分 56 分)
3 2 9. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ? 1 ,

试求 a 的最大值. 解一:

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c,

? f ?(0) ? c, ? 1 3 ? 由 ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ? ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c



(4 分)

1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( )

(8 分)

1 2

1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2
?8, 8 a? . 3
又易知当 f ( x) ?

(12 分)

8 3 8 x ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 .(16 分) 3 3

2 解二: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c .

设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 . 设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 ,?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

(4 分) (8 分)

容易知道当 ? 1 ? z ? 1 时,0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从而当 ? 1 ? z ? 1 时, 0 ? 即

h( z ) ? h ( ? z ) ?2 , 2

0?

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2, 4 4

5

3a 3a ? b ? c ?1 ? 0 , z2 ? 2, 4 4 8 2 由 0 ? z ? 1知 a ? . (12 分) 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 .(16 分) 3 3
从而 10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且
2

x1 ? x 2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.
解一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则

x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 , ? 2, y 0 ? 1 2 2

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .
由(1)知直线 AB 的方程为

(5 分)

y ? y0 ?

y 3 ( x ? 2) ,即 x ? 0 ( y ? y 0 ) ? 2 . y0 3
2

(2)

(2)代入 y ? 6 x 得
2 y 2 ? 2 y 0 ( y ? y 0 ) ? 12 ,即 y 2 ? 2 y 0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .(3)

依题意, y1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y 2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ? 12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

y A

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
O B

C(5,0)

x

6

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3

? (1 ?

2 y0 )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9

? (1 ? ?

2 y0 2 2 )(4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 12)) 9

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 . h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0

(10 分)

S ?ABC ?
?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y0 2 3

1 1 2 2 2 (9 ? y 0 )(24 ? 2 y 0 )(9 ? y 0 ) 3 2

2 2 2 ? 24 ? 2 y 0 ? 9 ? y0 1 1 9 ? y0 ? ( )3 3 2 3

?

14 7 . 3
2 2

(15 分)

当且仅当 9 ? y 0 ? 24 ? 2 y 0 ,即 y0 ? ? 5 , A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3 14 7. 3
(20 分)

所以 ?ABC 面积的最大值为

解 二 : 同 解 一 , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 与 x 轴 的 交 点 C 为 定 点 , 且 点 C 坐 标 为 (5,0) . (5 分) 设 x1 ? t1 , x 2 ? t 2 , t1 ? t 2 , t1 ? t 2 ? 4 ,则
2 2 2 2

5 1 2 S ?ABC ? t1 2 2 t2

0

1
(10 分)

6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 2 2 S? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 ABC ? ( (5 6t1 ? 2
7

3 (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )(t1t 2 ? 5)(t1t 2 ? 5) 2 3 14 ? ( )3 , 2 3 14 S ?ABC ? 7, 3 ?
当且仅当 (t1 ? t 2 ) ? t1t 2 ? 5 且 t1 ? t 2 ? 4 ,
2 2 2

(15 分)

即 t1 ?

7? 5 6

, t2 ? ?

7? 5 6

, A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3 14 7. 3
3

所以 ?ABC 面积的最大值是

(20 分)

11.(本小题满分 20 分)证明:方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增 正整数数列 {a n } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5
3 2

证 明 : 令 f ( x) ? 2 x ? 5 x ? 2 , 则 f ?( x) ? 6 x ? 5 ? 0 , 所 以 f ( x) 是 严 格 递 增 的 . 又

1 3 1 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f ( x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 2 4
所以

(5 分)

2r 3 ? 5r ? 2 ? 0 ,
2 r ? 5 1? r3 ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ? ? .

故数列 a n ? 3n ? 2( n ? 1,2, ?) 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 满足

(10 分)

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ?
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1 ? s 2 ? s 3 ? ? , t1 ? t 2 ? t 3 ? ? ,所有的 si 与 t j 都是不同的. 不妨设 s1 ? t1 ,则
8

(15 分)

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,

1 ? r t1 ? s1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ?
故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 ? 1? r

1 1 1? 2

? 1 ? 1 ,矛盾.
(20 分)

9

2010 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 一、 (本题满分 40 分) 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线 段 AK 延长线上一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N, 直线 CD 与 AB 交于点 M. 求证: 若 OK⊥MN, 则 A,B,D,C 四点共圆. 证明:用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设 A 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O)? K 的幂(关于⊙O)
2

O

? ? PO ? r
2

2

? ? ? KO
2 2 2

2

?r ?,
2 2

B

EK D

C

同理 所以 故

QK ? ? QO ? r
2 2

? ? ? KO
2

?r
2

2

?,
M

P

Q

N

PO ? PK ? QO ? QK ,
OK ⊥ PQ .
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

(10 分)

AQ AP ? . QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN
MC DE AP ? ? ? 1. CD EA PM
由①,②,③可得





NB MC ? , BD CD
所以

(30 分)

ND MD ? , 故△DMN ∽ △DCB, 于是 ?DMN ? ?DCB , 所以 BC∥MN, 故 OK⊥BC, BD DC
(40 分)

即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆.

注 1:“ PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使
2



PK ? KF ? AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE
? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

二、 (本题满分 40 分) 设 k 是给定的正整数, r ? k ?

1 (l ) (1) .记 f ( r ) ? f ( r ) ? r ? ?r ? ? , f (r ) ? 2

f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m ) (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不小
于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ? ?1? ? ? 1. 2 则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, f 证明: 记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次. 下面我们对 v2 ( k ) ? v 用数学归纳法. k 为奇数,k ? 1 为偶数, 此时 f ( r ) ? ? k ? 当 v ? 0 时, 整数. 假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式
(m)

?1? ? ?

(r ) 为整数.

? ?

1?? 1? ? 1? ? ? k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 为 2?? 2? ? 2?
(10 分)

k ? 2v ? ? v ?1 ? 2v ?1 ? ? v ? 2 ? 2v ? 2 ? ? ,

这里, ? i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ? . 于是

(20 分)

1?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ? k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ? 1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22 v ? ? 2 1 ① ? k? ? , 2 ?

这里 k ? ? 2

v ?1

显然 k ? 中所含的 2 的幂次 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? .

为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ? ? k ? ? 个整数,这就完成了归纳证明. 三、 (本题满分 50 分)

1 ( v ?1) 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, f (r ) 是一 2
(40 分)

给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ? , an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ? , n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k
n n

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n ?1 . 2

证明:由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有

0 ? ? ai ? k ,
i ?1

k

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

(10 分)

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ? x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ? k ?1 ? n k ? i ?1
?

1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ? ai ? n i ? k ?1 ? k n ? i ?1

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 ? ? n i ? k ?1 ?1 ?1 1? ? ? max ? (n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n

? 1?
n n

k , n
n

(30 分)



? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1

?

?? A
k ?1

n ?1

n

? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? . 2 n? k ?1 ?

(50 分)

四、 (本题满分 50 分) 一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一 个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中 至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置? 解:对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们 所在的边上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对 ,按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , ? , An 上的设 于给定的点 A1 上的设置(共有 4 种) 置.为了使得最终回到 A1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种 密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶 数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条,0 ? i ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条,0 ? j ? ? 2
2i 2j

(20 分)

?n? ? ?

? n ? 2i ? .选取 2 i ? 2 ? ?

条边标记 a 的有 Cn 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 Cn ? 2i 种方法,其余的边 标记 c.由乘法原理,此时共有 Cn Cn ? 2i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密 码设置方法数为
2i 2j

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

? n ?2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? C n ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?



这里我们约定 C0 ? 1 .
0

(30 分)

当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时

? n ? 2i ? ? ? ? 2 ?

?
j ?0

2j n ? 2 i ?1 . Cn ? 2i ? 2



代入①式中,得

4?
i ?0 n

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C C 4 C 2 2 ? ? ? ? ? Cn2i 2n?2i ? ? ? ? n n ? 2 i n ? ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ? n

k n?k k n?k ? ? Cn 2 ? ? Cn 2 (?1) k ? (2 ? 1) n ? (2 ? 1) n k ?0 k ?0

? 3n ? 1 .
当 n 为偶数时,若 i ?

(40 分)

n n ,则②式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 a, 2 2

此时只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

n? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2i ? 2 i n ? 2 i ?1 ? 2j ? ?? ? Cn ? C n ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 j ?0 i ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?n? ?2? ? ? i ?0

2 i n ? 2 i ?1 ? 2 ? 4 ? ? Cn 2 ? ? 3n ? 3 .

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 ? 1 种;当
n

n 为偶数时有 3 ? 3 种.
n

(50 分)


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