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数学必修一第三章测试(附答案)


第三章测试
(基础过关卷) (时间:90 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设 α,β 是方程 2x2+3x+1=0 的两根,则 ? ? A.8 B.

?1? ? 4?

? ??

的值为(

)

1 8

C.-8

D. ?

1 8

2.设 a=log23,b=log43,c=0.5,则( ) A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 3.如图所示,曲线 C1,C2,C3,C4 分别是指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图象,则 a, b,c,d 与 1 之间的大小关系是( )

A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<c<d D.b<a<1<d<c 4.已知 a=log23,那么 log38-2log29 用 a 表示为( )

1 3 3 C. -4a D. -2a2 a a a x ? ?3 , x ? 1, 5.函数 f(x)= ? 则 y=f(x+1)的图象大致是( 1 ? ?log 3 x, x ? 1,
A.-a B. ?

)

6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数),则 f(-log35)的值为( A.-4 B.4 C.-6 D.6
1 ? ?log 2 x, x ? 0, 7.设函数 f(x)= ? 已知 m≠0,若 f(m)<f(-m),则实数 m 的取值范围( log 2 ? ? x ? , x ? 0, ? ?

)

)

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 8.已知 a>b,函数 f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数 g(x)=loga(x+b)的图象可能为(

)

1

9 .在 f1(x) = x 2 , f2(x) = x2 , f3(x) = 2x , f4(x) = log 2 x 四个函数中,当 x2>x1>1 时,使 f(x2)]<f ?

1

1 [f(x1) + 2

? x1 ? x 2 ? ? 成立的函数是( ? 2 ?
1

)
1

A.f1(x)= e 2

B.f2(x)=x2 C.f3(x)=2x D.f4(x)= log 2 x

10 .已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, f(x) 在 [0 ,+∞ ) 上为增函数,且 f ? ? = 0 ,则不等式

?1? ?3?

1 ? ? ) f ? log x ? >0 的解集为( 8 ? ? ? 1? ?1 ? ? 1? A. ? 0, ? B. ? ,1? ∪(2,+∞) C.(2,+∞) D. ? 0, ? ∪(2,+∞) ? 2? ?2 ? ? 2?
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 11.函数 y=2+loga(3x-2)(a>0,且 a≠1)的图象所过定点的坐标是__________.

?2? 12.关于 x 的方程 ? ? =2m-3 有负根,则实数 m 的取值范围是__________. ?9?

X

13.关于 x 的方程 lg x2-lg(x+2)=0 的解集是__________. 14.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%,如果按此速度,设 2013 年的冬季冰雪覆盖面积为 m,从 2013 年起,经过 x 年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式是__________. 15.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=2|x|的定义域为(a,b),值域为[1,2],则 区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为__________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 8 分)已知 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 17.(本小题满分 10 分)已知指数函数 y=g(x)满足 g(2)=4,定义域为 R 的函数 f(x)=

1? x (a>0,且 a≠1). 1? x

?g ? x? ? n 是 2g ? x ? ? m

奇函数. (1)确定 y=g(x)的解析式; (2)求 m,n 的值; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 18.(本小题满分 10 分)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声

音的大小:把声压 P0=2×10 5 帕作为参考声压,把所要测量的声压 P 与参考声压 P0 的比值取 常用对数后乘以 20 得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分 贝(dB).分贝值在 60 以下为无害区,60~110 为过渡区,110 以上为有害区. (1)根据上述材料,列出分贝值 y 与声压 P 的函数关系式; (2)某地声压 P=0.002 帕,试问该地为以上所说的什么区? (3)某晚会中,观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了 90 分贝,试求此时的声压是多少?


19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)满足 f(logax)=

a ? x 2 ? 1? x ? a 2 ? 1?

(其中 a>0,且 a≠1).

(1)求 f(x)的解析式及其定义域; (2)在函数 y=f(x)的图象上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与 x 轴平行,如果存在, 求出这两点;如果不存在,说明理由. 参考答案: 一、选择题 1.解析:由两根之和 α+β= ?

3 , 2

?1? 得? ? ? 4?

? ??

?1? 2 = ? ? = 4 2 = 43 =8. ?4?

?

3

3

答案:A 2.答案:A 3.答案:D 4.解析:log38-2log29=3log32-4log23= 答案:C
x ?1 ? ?3 , x ? 0, 5.解析:f(x+1)= ? 故选 B. 1 ? ?log 3 ? x ? 1? , x ? 0,

3 3 -4log23= -4a. a log 2 3

答案:B 6.解析:由题意,得 f(0)=0,即 1+m=0,所以 m=-1. 所以 f(-log35)=-f(log35)=-(3log35-1)=-4. 答案:A 7.解析:f(-x)= ?
1 1 ? ?log 2 ? ? x ? , ? x ? 0 ? ?log 2 ? ? x ? , x ? 0, =? ? ? ?log2x, ? x ? 0 ?log2x, x ? 0.

当 m>0 时,f(m)<f(-m)? log 2 m<log2m?m>1; 当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)< log 2 (-m)?-1<m<0. 所以 m 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:C 8.解析:由函数 f(x)=(x-a)(x-b)的图象可知,a>1,0<b<1,所以排除选项 A,D;函数 g(x)的图 象是由函数 u(x)=logax 的图象向左平移 b 个单位长度得到的,故选 B. 答案:B 9.解析:可用特殊值法令 x1=2,x2=4 逐一验证. 答案:A 10.解析:不等式 f ? log
1

1

? ?

1 ? x ? >0 等价于 8 ?

1 ? ?1? ? f ? log x ? > f ? ? . 8 ? ?3? ?

因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以 f(x)在(-∞,0]上为减函

? 1 ? 1 log x ? 0, ?log x ? 0, ? 1 ? 8 ? 8 数,则有 ? 或? 解得 0<x< 或 x>2. 2 ?log 1 x ? 1 ?log 1 x ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 8 ? 8 ? 1? 因此,原不等式的解集为 ? 0, ? ∪(2,+∞). ? 2?
答案:D 二、填空题 11.答案:(1,2) 12.解析:方程有负根,即当 x<0 时, ? ? =2m-3 有解,∴ ? ? >1. ∴2m-3>1.∴m>2. 答案:m>2

?2? ?9?

X

?2? ?9?

X

? x 2 ? 0, ? 13.解析:由 ? x ? 2 ? 0, 得 x=2 或 x=-1. ? x 2 ? x ? 2, ?
答案:{-1,2} 14.解析:设每年的冰雪覆盖面积减少率为 a.
1

∵50 年内覆盖面积减少了 5%,∴(1-a)50=1-5%,解得 a=1- 0.95 50 .
1 x x

0.95 50 . ∴从 2013 年起,经过 x 年后,冰雪覆盖面积 y=m[1-(1- 0.95 50 )]x=m· 0.95 50 答案:y=m·
x ? ?2 , x ? 0, 15.解析:y= ? ? x 因为值域为[1,2],则定义域为[-1,0]或[0,1]或[-1,1],则区间[a,b]的长 ? ?2 , x ? 0,

度的最大值为 2,最小值为 1.故最大值与最小值的差为 1. 答案:1 三、解答题 16.解:(1)要使 f(x)有意义,x 的取值必须满足 解得-1<x<1. 故 f(x)的定义域为(-1,1).

?1 ? x ? 0, ?1 ? x ? 0, 1? x >0,即 ? 或? 1? x ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0,

??1 ? x ? 1, 1? x 1? x >0=loga1,得 >1,即 ? 解得 0<x<1. 1? x 1? x ?1 ? x ? 1 ? x. ??1 ? x ? 1, 1? x 1? x 当 0<a<1 时,由 loga >0=loga1,得 0< <1,即 ? 1? x 1? x ?1 ? x ? 1 ? x.
(2)当 a>1 时,由 loga 解得-1<x<0. 故当 a>1 时,所求 x 的取值范围为 0<x<1; 当 0<a<1 时,所求 x 的取值范围为-1<x<0. 17.解:(1)g(x)=2x.

?2 x ? n (2)由(1)知 f(x)= x ?1 . 2 ?m
∵f(x)在 R 上是奇函数,∴f(0)=0,即

n ?1 =0.∴n=1. 2?m

∴f(x)=

1 ? 2x . 2 x ?1 ? m

1 1? 1? 2 2 ,解得 m=2. 又由 f(1)=-f(-1)知 =? 4?m m ?1 1 ? 2x 1 1 (3)由(2)知 f(x)= =- + x ,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. x ?1 2 2 ?1 2?2
1 . 3

又 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), ∴t2-2t>k-2t2,即 3t2-2t-k>0. 由判别式 Δ=4+12k<0 可得 k< ? 18.解:(1)由已知,得 y=20lg


p . P0

p . 2 ?10?5 0.002 (2)当 P=0.002 时,y=20lg =20lg 102=40(分贝). ?5 2 ?10
又 P0=2×10 5,则 y=20lg 由已知条件知 40 分贝小于 60 分贝,所以该地区为无害区. (3) 由题意,得 90 = 20lg

p p - - ,则 = 104.5 ,所以 P = 104.5P0 = 104.5 × 2 × 10 5 = 2 × 10 0.5 ≈ P0 P0

0.63(帕). 19.解:(1)令 logax=t,则 x=at. 因为 x>0,所以 t∈R.

a 2t ? 1 a a a - - 所以 f(t)= t 2 = 2 · t = 2 (at-a t),即 f(x)= 2 (ax-a x)(x∈R). a ?1 a a ?1 a ?1 a a ?1

a ? a 2t ? 1?

?

?

(2)不存在,设 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)-f(x2)=

a ? a x1 ? a x 2 ?? a x1 ? x 2 ? 1?

?a

2

? 1? a x1 ? x 2



因为 ax1+x2+1>0,ax1+x2>0,而不论 a>1 还是 0<a<1,ax1-ax2 与 a2-1 异号, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在 R 上是增函数. 故在函数 y=f(x)的图象上不存在两个不同的点,使过两点的直线与 x 轴平行.


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