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2014届高考数学总复习 第2章 第2讲 函数的单调性与最值课件 理 新人教A版_图文

第2讲

函数的单调性与最值

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1. 理解函数的单调性及其几何意义.

2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3. 会求简单函数的值域,理解最大(小)值及几何意义.

1项必须防 1 范受到区间的限制,例如函数y= 分别在(-∞,0),(0, x +∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(- ∞,0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单 调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要

2种重要形式 f?x1?-f?x2? 1. >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 2. (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1- x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数.

2个必记结论 1. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数

在闭区间上单调时最值一定在端点取到.
2. 开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

4种必会方法 1. 定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.

2. 复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增
函数,不同时为减函数. 3. 导数法:利用导数研究函数的单调性. 4. 图象法:利用图象研究函数的单调性.

课前自主导学

1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量的值x1,x2 定 当x1<x2时,都有 当x1<x2时,都有 义 ________,那么就说函 ________,那么就说函 数f(x)在区间D上是增函 数f(x)在区间D上是减函 数. 数; 上是________或________,则称函数y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪”

将函数的单调增区间(或减区间)连接起来?

(1)函数y= x2-2x的递增区间________. (2)函数f(x)定义在[0,8]上的减函数,且f(2m)>f(m+6), 则m的取值范围是________.

2. 函数的最值 前提 条件 设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I, 都有________;②存 在x0∈I,使得 ________ 则M是y=f(x)的最大 值. ①对于任意的x∈I,都 有________;②存在 x0∈I,使得________. 则M是y=f(x)的最小值.

结论

函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有何特

征?

x-1 (1)f(x)= 的值域是________. x+1 (2)f(x)=x- x-1的值域是________.

1. f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2)

增函数

减函数

想一想:提示:函数的单调区间不能简单的合并,如 1 函数y= 的单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞),而不是(- x ∞,0)∪(0,+∞). 填一填:(1)[2,+∞)

(2)0≤m≤2

?0≤2m≤8 ? 提示:?0≤m+6≤8 ?2m<m+6 ?

,解之得0≤m≤2.

2. f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 想一想:提示:函数的单调性反映在图象上是在某一 区间上是上升的或下降的;而最大(小)值反映在图象上为其 最高(低)点的纵坐标的值. 填一填:(1)(-∞,1)∪(1,+∞)

3 (2)[ 4 ,+∞) 提示:令 x-1 =t≥0,f(t)=t2-t+1, 1 3 当t=2取得最小值4.

核心要点研究

例1 [2012· 广东高考]下列函数中,在区间(0,+∞)上 为增函数的是( A. y=ln(x+2) C.
?1? y=?2?x ? ?

) B. y=- x+1 1 D. y=x+x

[审题视点]

对于简单函数或可化为简单函数的函数,可

借助于图象的直观性来判断函数的单调性.

[解析]

y=lnt和t=x+2在此区间上同为增函数,可知y=

ln(x+2)在(0,+∞)上单调递增,选A. [答案] A

判断(或证明)函数单调性的主要方法有:(1)函数单调性的 定义;(2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合 函数单调性的判断法则;(4)利用函数的导数等.其中(2)(3)一

般用于选择、填空.

[变式探究] [2013· 西安质检]已知函数f(x)的图象向左 平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2 1 -x1)<0恒成立,设a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则a,b,c 2 的大小关系为( A. c>a>b C. a>c>b
答案:D

) B. c>b>a D. b>a>c

解析:由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图 象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象本身关于直线x=1对 1 5 称,所以a=f(- )=f( ).当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2- 2 2 x1)<0恒成立,等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c.故选D.

例2 [2013·吉林模考]求下列函数的单调区间:

(1)y=-x2+2|x|+1;
(2)y=a1-2x-x2(a>0且a≠1). [审题视点] 对于(1)可先将函数化为分段函数,画出函数 的图象,然后结合图象求出单调区间;对于(2)应对a的取值进 行讨论,然后根据复合函数单调性法则求解.

[解]

?-x2+2x+1?x≥0?, ? (1)由于y=? 2 ?-x -2x+1?x<0?, ?

?-?x-1?2+2?x≥0?, ? 即y=? ?-?x+1?2+2?x<0?. ?

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1] 和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).

(2)令g(x)=1-2x-x2=-(x+1)2+2,所以g(x)在(- ∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减. 当a>1时,函数y=a1-2x-x2的增区间是(-∞,-1), 减区间是(-1,+∞); 当0<a<1时,函数y=a1-2x-x2的增区间是(-1,+ ∞),减区间是(-∞,-1).

1.带有绝对值的函数实质上就是分段函数,对于分段函

数的单调性,有两种基本的判断方法:一是在各个段上根据函
数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间,最后对各个 段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数图象,结合 函数的图象、性质进行直观的判断.

2.求复合函数y=f[g(x)]的单调区间的步骤: (1)确定定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x).

(3)分别确定这两个函数的单调区间.
(4)若这两个函数同增或同减,则y=f[g(x)]为增函数;若一 增一减,则y=f[g(x)]为减函数,即“同增异减”.

[变式探究] 函数的区间是( A. (3,6)

已知函数f(x)=log2(x2-2x-3),则使f(x)为减 ) B. (-1,0)

C. (1,2)
答案:D

D. (-3,-1)

解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,结合二次函数的对称 轴x=1,知在对称轴左边函数y=x2 -2x-3是减函数,所以在 区间(-∞,-1)上是减函数,由此可得D项符合.

例3

[2012·上海高考]已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若 外层函数为增函数,内层函数的增区间[a,

f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________. [审题视点] 集.

+∞)为f(x)的递增区间,由题意知[1,+∞)为[a,+∞)的子

[解析]

令t=|x-a|,则t=|x-a|在区间[a,+∞)上单调递

增,而y=et为增函数,所以要使函数f(x)=e|x-a|在[1,+∞)上
单调递增,则有a≤1,所以a的取值范围是(-∞,1]. [答案] (-∞,1]

1 |2x-a| 奇思妙想:本例条件变为“函数 f(x)=( ) 在(-∞, 2 1]上为增函数”,问题不变,该如何求解?

解:依题意知 t=|2x-a|,在(-∞,1]上为减函数, a 又∵t=|2x-a|的递减区间为(-∞, ], 2 a ∴ ≥1,∴a≥2. 2

应用函数的单调性可求解的问题

(1)由x1,x2的大小,可比较f(x1)与f(x2)的大小;
(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系,可得x1与x2的大小关系; (3)求解析式中参数的值或取值范围; (4)求函数的最值; (5)得到图象的升、降情况,画出函数图象的大致形状.

1 1 [变式探究] [2013· 银川模拟]已知函数f(x)= a - x
?1 ? ?1 ? (a>0,x>0),若f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求a的值. ? ? ? ?

解析:根据函数的单调性确定给定区间上的函数值, 构建方程组求a的值.
?1 ? ?1 ? ∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?, ? ? ? ? ?1 ? 又f(x)在?2,2?上单调递增, ? ? ?1? 1 2 ? ?= ,f(2)=2,∴a= . ∴f 2 5 ? ? 2

例4 [2013· 德阳模拟]已知函数y= 1-x + x+3 的最 m 大值为M,最小值为m,则 的值为( M 1 A. 4 2 C. 2 1 B. 2 3 D. 2 )

[审题视点]

(1)研究函数的最值时,应首先确定函数的什

么?(提示:首先确定函数的定义域) (2)函数解析式中含有根式,通常的处理办法是什么?(提

示:对解析式进行平方)
(3)平方后的解析式含有几个根式?被开方式是什么函数? 可用什么方法求其最值?(提示:平方后只含一个根式,被开方 式是二次函数,可通过配方求最值)

[解析]



?1-x≥0 ? ? ?x+3≥0 ?

得函数的定义域是{x|-

3≤x≤1},y2=4+2 1-x· x+3=4+2 -?x+1?2+4,当 x=-1时,y取得最大值M=2 2; m 2 当x=-3或1时,y取得最小值m=2,∴M= 2 . 故选C.

[答案] C

求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低 点,求出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定 三相等”的条件后用基本不等式求出最值; (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后 结合端点值,求出最值; (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函 数,再用相应的方法求最值,换元注意等价性.

[变式探究] [2013· 临沂模拟]已知f(x)=

x2+2x+a x

(x≥1),若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的 取值范围是________.
答案:a>-3

解析:用等价转化、构造函数和分离参数的思想解 题. x2+2x+a 在区间[1,+∞)上,f(x)= >0恒成立? x
?x2+2x+a>0 ? ? ?x≥1 ?

?

?a>-?x2+2x? ? ? ?x≥1 ?

?a大于函数φ(x)=-

(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值.

于是问题转化为求函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最

大值问题.
φ(x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上递减, ∴x=1时,φ(x)最大值为φ(1)=-3. ∴a>-3.

例5 [2013· 衡阳联考]已知函数f(x)对于任意x,y∈R, 2 总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

[审题视点] 目作适当变形.

抽象函数单调性的判断要紧扣定义,结合题

[解] (1)证明:设x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在R上为减函数.

(2)解:∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,

∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).
而f(3)=3f(1)=-2,且f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,又f(- 3)+f(3)=f(-3+3)=0,∴f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.

对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定 义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给 f?x1? 区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或 与1的大小.有时 f?x2? x1 根据需要,需作适当的变形:如x1=x2· 或x1=x2+x1-x2 x2 等.

[变式探究] 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满 x1 足f(x )=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0. 2 (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.

解:(1)令x1=x2>0, 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. x1 (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则 x >1,由于当 2 x>1时,f(x)<0,所以f
?x1? ? ? ?x2?

<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此

f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函 数.

(3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).
?x1? 由f?x ?=f(x1)-f(x2)得, ? 2? ?9? f?3?=f(9)-f(3), ? ?

而f(3)=-1,所以f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

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【选题·热考秀】

[2011·上海高考]已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b
满足ab≠0. (1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.

[规范解答]

(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2).

∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0,
3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数. 当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.

(2)f(x+1)-f(x)=a·x+2b·x>0, 2 3
?3? a ? ?x>- , 当a<0,b>0时, 2 2b ? ? ? a? a ?- ?,此时x取值范围为{x|x>log1.5(- )}; 则x>log1.5 2b 2b ? ? ?3? a ? ?x<- , 当a>0,b<0时, 2 2b ? ? ? a? a ?- ?,此时x取值范围为{x|x<log1.5(- )}. 则x<log1.5 2b 2b ? ?

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角

利用定义判断单调性的步骤是:设元取值;作差(商)变
形;确定符号,得出结论.

No.2 步骤:

角度关键词:模板构建

用定义法判断或证明函数f(x)在给定的区间D上的增减性的

第 一 步 : 取 值 , 即 设 x1 、 x2 是 该 区 间 内 任 意 两 个 值 且
x1<x2; 第二步:作差,即作差f(x1)-f(x2)=a(2x1 -2x2)+b(3x1 - 3x2);

第三步:判号,即判断f(x1)-f(x2)的正负,由于a,b符号不 确定,需要进行分类讨论;

第四步:下结论,即判断f(x)在该区间是增函数还是减函
数; 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范,注 意a、b符号的讨论对结果的影响.

经典演练提能

1. 数的为(

[2012· 陕西高考]下列函数中,既是奇函数又是增函 ) B. y=-x3 D. y=x|x|

A. y=x+1 1 C. y= x

答案:D
解析:选项A中的函数是非奇非偶函数;选 项B中的函数是减函数;选项C中的函数在每 个单调区间上都是减少的,且为奇函数;选项 D中的原函数可化为y= 图象如右图所示. 由图可知该函数既是奇函数又是增函数.故选D.
?x2,x≥0, ? ? ?-x2,x<0, ?

作出其

2. 如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调 递增的,则实数a的取值范围是( 1 A. a>- 4 1 C. - ≤a<0 4 )

1 B. a≥- 4 1 D. - ≤a≤0 4

答案:D
解析:当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增 的,故在(-∞,4)上单调递增; 1 当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=- a ,因为f(x)在(- 1 1 ∞,4)上单调递增,所以a<0,且-a≥4,解得0>a≥-4. 1 综合上述- ≤a≤0. 4

3. [2012·浙江高考]设a>0,b>0,下列说法正确的是( A. 若2a+2a=2b+3b,则a>b B. 若2a+2a=2b+3b,则a<b

)

C. 若2a-2a=2b-3b,则a>b
D. 若2a-2a=2b-3b,则a<b 答案:A 解析:考查函数y=2x+2x为单调递增函数,若2a+2a=2b +2b,则a=b,若2a+2a=2b+3b,∴a>b.

4. [2012·安徽高考]若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是 [3,+∞),则a=________. 答案:-6

a ? ?-2x-a,x<-2 解析:由f(x)= ? ?2x+a,x≥-a 2 ?

,可得函数f(x)的单

a a 调递增区间为[- ,+∞),故3=- ,解得a=-6. 2 2

5.

[2013· 广西柳州月考]定义在R上的奇函数y=f(x)在 x)>0的x的集合为

?1? [0,+∞)上递增,且f ?2? =0,则满足f( ? ?

________.

1 答案:{x|0<x<3,或1<x<3}

1 解析:由奇函数y=f(x)在[0,+∞)上递增,且f( )= 2 0,得函数y=f(x)在(-∞,0)上递增,且f(- f( x)>0,得 1 1 x> 2 或- 2 < 1 2 )=0.由

1 x<0,解得0<x< 3 或1<x<3.

1 所以满足条件的x的取值集合为{x|0<x< ,或1<x<3}. 3


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