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数学:2.1.1《指数与指数幂的运算》教案


指数与指数幂的运算
一:教学目标 (一)知识目标 (1)理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。 (2)理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 (二)能力目标 (1)学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力. (2)让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. (3)训练学生思维的灵活性 (三)德育目标 (1)激发学生自主学习的兴趣 (2)养成良好的学习习惯 二:教学的重,难点及教学设计 (一)教学重点 重点是 次方根的概念及其取值规律。 (二)教学难点 分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 (三)教学设计要点 1.情景设计 引入国民生产总值的计算问题和生物体内 C 的变化规律问题,设置出问题情 景,通过将实际问题转化为数学模型,激发学生的学习动机,让学生更积极地去 接受新知识,由此引入新课。 2.教学内容的处理 (1)复习引入整数指数的基本知识。 (2)补充一组理解指数幂运算练习(用幻灯片展示) (3)在分数指数部分多一些练习,强化学生对分数指数的理解。 3.教学方法 独立探索,合作交流与教师引导相结合 三:教具准备 幻灯片,粉笔,投影仪等 四:教学过程 (一)创设问题情景引入新课(预计 5 分钟) 1:问题情景 据国务院发展研究中心 2000 年发表的《未来 20 年我国发展前景分析》判断, 未来 20 年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到 7.3%,那么,在 2001~2020 年,各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍 2:学生根据已有的经验和知识独立探究,教师巡视,进行个别指导 3:老师在黑板上列出第一年到第四年,引导学生观察,比较,概括,并找同 学说明自己的想法。 4:引入新课。 揭示课题:指数与指数幂的运算 (二)复习整数指数幂

-1-

指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中 曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来, 是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义。 .然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定

义,分别写出



,同时追问这里

的由

来。最后用幻灯片打出整数指数幂的意义和性质

1.整数指数幂:an=a· a· a· · · a (n∈N+) a0=1(a≠0); a-n=1/an(a≠0, n∈N+)

2.整数指数幂有下面运算性质:
(1)a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Z ) (2)a m ? a n ? a m?n (m, n ? Z ) (3)(a m )n ? a mn (m, n ? Z ) (4)(a ? b)n ? a n ? bn (n ? Z )

a n an (5)( ) ? n ( n ? Z ) b b
(三)层层递进,探索新知(预计 25 分钟) 1:由简单的根式入手,讲解并探索 N 次方根的形式 2:让学生留意正负号的区别。 的 次方根的取值规律: 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的,所以应对 分奇

先让学生看到 偶情况讨论

当 为奇数时,再问学生 的 次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出 对 的正负的讨论,从而明确分类讨论的标准,按 的正负分为三种情况. Ⅰ当 为奇数时 的 的 的 次方根为一个正数; 次方根为一个负数; 次方根为零.
-2-

a>0 时 , a<0 时 , a=0 时 ,

当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明 由学生总结归纳 Ⅱ当 为偶数时 的 的 的 次方根为两个互为相反数的数; 次方根不存在; 次方根为零.

为偶数时的结论,再

a>0 时 , a<0 时 , a=0 时 ,

对于这个规律的总结,还可以先看 的正负,再分 理解. 注意点:0 的任何次方根都是0 3:基本练习,加深对概念的理解(幻灯片展示) 求下列各式的值

的奇偶,换个角度加深

(1) 3 -8 (3) 4 (3 -π)4

(2) (-10)2 (4) (a - b)2 (a ? b)

评讲练习,强化对根式运算的应用与理解 4:分数指数幂 让学生思考:当根式有意义时,根式能否写成指数幂的形式?如:
5

a ?a
10

2

? a

10 5

4

c5 ? c

5 4

3

(a>0,b>0,c>0) 让学生探索并得到更广泛的情况:
m n

a12 ? a 4

? a

12 3

a ? n a m a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1
即得到正数的正分数指数幂的形式。 正数的负分数指数幂的意义是:
? m n

?

?
?

a

?

1 a
m n

?a ? 0, m, n ? N

*

, 且n ? 1

联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用 r s r+s (1)a a =a (a>0,r,s∈Q) r s rs (2)(a ) =a (a>0,r,s∈Q) r r r (3)(ab) =a b (a>0,b>0, r,∈Q)
-3-

课堂练习:判断题(幻灯片展示)

?1? ?

? ? 3? ? ?2 ?
5

?2

5

? ?2 ?2

( ); ? 2 ?

4

(-2) 4 ? ?2
13

( ); ( );

4

4

( ); ? 4 ? 13 ? ?5 ? ? ?5 ( ); ? 6 ? 4 ? ?b ? ? b 2
8

? 5? 2n b2n ? b ? 7 ? ( n a )n

( );
( )

( ); ?8 ? n a n

找八名同学上前面作答,其他同学在下面做 讲评练习,强调学生易错的地方 (四)小结(预计 15 分钟) 引导学生按下面的思路进行小结 1:这堂课的主要内容是什么? 2:做指数运算时有什么需要注意的地方? 这节课我们学习了指数幂的定义,性质以及一些运算。在学习中,我们应当 逐步深入,领悟从整数到根式再到分数的导出过程,理解由特殊到一般的研究方 法,在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。 (五)布置作业

-4-


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