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最新人教版高中数学选修2.2.2反证法—资料ppt课件_图文

2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反 证 法 知识结构 合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 归纳推理 类比推理 综合法 直接证明 分析法 反证法 复习 1.直接证明的两种基本证法: 2.这两种基本证法的推证过程和特点: 综合法 分析法 已知条件 结论 综合法和分析法 ????? 结论 ????? 已知条件 由因导果 执果索因 3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路,再由综合法书写过程 思考? (1)如果有5只鸽子飞进两只鸽笼,至少有3只鸽子在 同一只鸽笼,对吗? (2)A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C 则C在撒谎吗?为什么? 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 说A、B都撒谎。 引例1: 将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染, 至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗? 间接证明: 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立 的证明方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 三、基本概念 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的 证明方法称为间接证明 注:反证法是最常见的间接证法 同一法也是一种间接证法 一般地,假设原命题不成立(即假设在原命题的条件下,结论不成 立), 经过正确的推理,最后得出矛盾。因此说明假设错误,从而证 明了原命题成立, 这种证明方法叫做反证法。 反证法的思维方法:正难则反 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法. 反证法 一般地,由证明 p转向证明 ?q 由q的否定 ? r ? ? ? t 而t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾从而判定q的否定 q为真的方法,叫做反证法 为假,推出 归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。 准确地作出反设 (即否定结论 )是非常重要的,下面是一些 常见的结论的否定形式. 原词语 等于 否定词 不等于 不是 不都是 不大于 不小于 存在某个x,不 成立 原词语 任意的 某个 否定词 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个 存在某个x, 成立 是 都是 大于 小于 对所有x,成 立 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 对任何x, 不成立 常见否定用语 是---不是 有---没有 等---不等 成立--不成立 都是--不都是,即至少有一个不是 都有--不都有,即至少有一个没有 都不是-部分或全部是,即至少有一个是 唯一--至少有两个 至少有一个有(是)--全部没有(不是) 至少有一个不-----全部都 反思1: 用反证法证题的一般步骤是什么? (1)假设命题的结论不成立;即假设结论的反面成立 。 (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 。 反思2: 1、用反正法证明时,导出矛盾有那几种可能? (1)与原命题的条件矛盾; (2)与假设矛盾。 (3)与定义、公理、定理、性质矛盾; (4)与客观事实矛盾. 2、你认为反证法的使用情形有那些? (1)难于直接使用已知条件导出结论的命题; (2)唯一性命题; (3)“至多”或“至少”性命题; (4)否定性或肯定性命题。 说明:常用的正面叙述词语及其否定: 正面 词语 否定 等于 大于(>) 小于 (<) 是 都是 不等于 小于或 等于(≤) 至少有一个 大于或 等于(≥) 任意的 不是 不都是 正面 词语 否定 至多有一 个 至少有两 个 所有的 至多有n个 任意两 个 一个也没 有 某个 某些 至少有n+1个 某两个 小结: 1、哪些命题适宜用反证法加以证明? (1)直接证明有困难的一些命题(如有些基本定理的证明 如平行线的传递性的证明) (2)关于唯一性结论的命题 (即结论中有有且只有,有且仅有等关键字眼) (3)以否定性判断作为结论的命题 (4)以至多,至少,不多于等形式陈述的命题 (5)一些不等量命题的证明 即正难则反! 2、常见的逻辑性矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与假设矛盾; (3)与已有定义、公理、定理、事实矛盾。 小结: 3.反证法的证明步骤: ①假设——假设命题的结论不成立,即假设命题结论的否定面成立; ②找矛盾——从假设出发,经过一系列正确的逻辑推理,推出矛 盾(与已知矛盾,与已知定义,公理,定理事实等矛 盾,出现的临时假设矛盾,在证明过程中出现自相矛 盾等等),从而否定假设; ③下结论——由矛盾结果,断定假设不成立,从而肯定原命题的 结论成立。 即分三个步骤:假设—归谬—存真 简单记为:否定结论——推出矛盾——肯定结论, (其中推出矛盾是反证法证明的关键。) 反证法是制造矛盾的专家。 总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论 2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是1)与题设矛 盾,2)与假设矛盾,3)与已知定义、公理、定理矛盾,自 相矛盾等. 推理 合情推理 (归纳、类比) 证明 直接证明 (分析法、综合法) 间接证明 (反证法) 演绎推理 (三段论) 数学—公理化思想 用反证法证明命题的过程用框图表示为: 肯定条件 导 致 反设 不成立 结论 成立 否定结论 逻辑矛盾 否定结论 导致矛盾 反设不成立 反设 原结论成立 存真 归 谬 归纳步骤 反证法的一般步骤 分清条件和结论 先假设命题的结论不成立 从假设出发,经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 牛顿曾经说过:“反证法是数学家 最精当的武器之一” ---德国数学家希尔伯特说, 禁止数学家使用反证法, 就象禁止拳击家使用拳头。 路 边 苦 李 王戎7岁时,与小伙

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