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对数函数的概念及其性质教案

对数函数的概念及其性质
课型 新授课

三维目标:
一、知识与技能
1. 掌握对数函数的概念和图象,理解并记忆对数函数的规律; 2. 把握指数函数与对数函数关系的实质.

二、过程与方法
1.培养学生的数学交流能力和与人合作的精神. 2.用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合、 分类讨论等数学思想.

三、情感态度与价值观
1.通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有 机联系,激发学生的学习兴趣. 2.在教学过程中,培养学生观察能力、逻辑思维能力、归纳能力,分 析探究能力和解决实际问题的能力; 培养学生倾听, 接受别人意见 的优良品质,体验数形结合的和谐美。

教学重点:
理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质。 [解决方法] 注重指数函数与对数函数的图象和性质的对比,遵循特 殊到一般的认知规律,利用特殊函数增加感性认识。

教学难点:
⑴底数 a 对对数函数的影响;解决方法:对比分析 ⑵定义域对对数函数的影响; 解决方法:例题剖析

教学用具:
多媒体课件(对数函数的图形变化及性质的动态演示)

三角板(列表总结性质)

学法指导:
对比研究法 、 发现法 、 归纳法、讲练结合法。 学习过程中要注意对数运算是指数运算的逆运算,对数函数与指数函 数之间的关系,理解掌握对数函数的图象和性质,注意 α 的取值对对数函 数的单调性的影响。

教学过程:
设置情境,引入新课
师:前面我们比较系统地学习了指数与对数这两种运算,那么大家回想 b 一下,等式 a =N 可以转化为 logaN=b(a>0 且 a≠1,b∈R,N>0),已知底 数 a 和指数求幂值 N 是指数问题, 而已知底数 a 和幂值 N 求指数 b 就是我 们刚学过的对数问题,并且在指、对数互化中 a、b、N 的范围也是一样的。 下面我们来回想这样一个实例: 某种细胞分裂时,由一个分裂成 2 个,由 2 个分成 4 个……。一个这 样的细胞分裂 x 次以后,得到的细胞个数 y 与分裂次数 x 的函数关系式可 x 表示为 y=2 ,代入分裂次数 x 的值就可以求得细胞个数 y 了,大家还 记得这个函数类型吗? 反过来如果我们知道细胞个数 y,求分裂次数 x,比如一个细胞大约 x 经过多少次分裂达到 32,2000,100000…….呢?我们根据等式 y=2 把分裂次数 x 表示为 x=log2y, 如果用 x 表示自变量,y 表示函数, 那么这个函数应为 y=log2x,这样得到了我们生活中又一类与指数函数有着 密切关系的函数模型—对数函数,下面我们就一起来研究学习这种新函 数。

新课讲授

一、对数函数的概念:
一般地,函数 y=㏒ ax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 表 示自变量,定义域是(0,+∞) 。 思考题: (1)为什么函数的定义域是(0,+∞)? (2)对数函数 y=㏒ ax 与指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义
域,值域之间有什么关系?

例1 : 求 下 列 函 数 的 定 义 域 . ?1? y ? l og3 ?4 ? x ? ?2? y ? l ogx ?4 ? x ?

?1?解 :

? 4 ? x? 0



?定义域:?? ?,4?

x? 4

? x? 0 ? ?2 ?解 : ? ? 4 ? x? 0 ? x?1 ?

? x? 0 ? 得 ? x? 4 ?x ? 1 ? ? 定 义 域: ?0,1? ? ?1,4 ?

总结: (1)对数的真数必须大于零;
(2)对数函数的底数必须大于零且不等于 1.

二、对数函数的图象:
对数函数 y=㏒ ax(a>0 且 a≠1)的图象有哪几种类型呢?师生共同完 成下面研究

在 同 一 坐 标 系 上 画 出列 下函 数 的 图 象 ?1? y ? l og2 x ?2? y ? l og1 x
y
2

y ? log2 x
o . . 1 . . . x

总结:可采用描点作图法,注意强 调三点法作对数函数
1 ,-1) a

y=㏒ax



图象(a,1) , (1,0) ,

y ? log 1

x



2

作完图象再用几何画板 演示对数函数图象随底数 a 变化的过程,然后对照指数函数的性 质,总结归纳对数函数的性质

三.对数函数的基本性质和图象 a>1 0<a<1
图 象

y

y
1

o

x

o

x

y 1

(1)定义域

(0,+∞) R 0<x <1 时,y>0;

性 质

(2)值域 (3)x>1 时,y>0;

x=1 时,y=0; 0<x <1 时,y<0;

x=1 时,y=0; x>1 时,y<0;

( 4)在( 0,+∞)上是 (4)在(0,+∞)上是减 增函数 函数 其中性质(3)可用两句话概括:对数函数都必过(1,0) ;其它部 分都遵循“底真同范围函数值为正,底真异范围函数值为负” 。

例 2:

比较下列两个数的大小:

(1)log23.4 与 log28.5; (2) log0.33.4 与 log0.38.5 解:(1)∵函数 y= log2x 在定义域上单调递增 又∵3.4<8.5 ∴log23.4<log28.5 (2) log0.33.4 >log0.38.5

小结:若底数相同,利用对数函数的增减性比较大小.
探究: loga3.4 与 loga8.5 (a>0 且 a≠1)(分类讨论)

0? a?1 时 a?1 时

l oga 3.4? l oga 8.5 l oga 3.4? l oga 8.5

小结:若底数与 1 的大小关系未明确指定时,要分情况对底数
进行讨论来比较大小. 变式训练: log23.4__>___log3.42 ; log3.42 __>___ log20.8

小结:若底数不相同,可在两个对数中插入一个已知 数(如 1

或 0 等),间接比较大小.

2.填 空. ?1? l og2 3.4

四.巩固练习 1.求 函 数 y?

l og0.5 x的 定 义 域 .
?2?l og0.3 1.8
l og0.3 2.7

l og2 4.7;

?3?l og6 7
课堂小结:

l og7 6;

?4?l og3 ?

l og2 0.8

1.对数函数的概念、图象和性质,底数 a 对单调性的影响 2.求含有对数函数的定义域时,要注意:①真数大于零, ②底数大于零且不等于1. 3.比较两个对数的大小时: (1)若底数相同,利用对数函数的增减性比较大小. (2)若底数与 1 的大小关系未明确指定时,要分情况对底数 进行讨论来比较大小. (3)若底数不相同,可在两个对数中引入一个已知 数(如 1 或 0 等),间接比较大小.

布置作业:1、熟记对数函数的图象和性质
2、P82.习题 2.2
l oga ?1 选做题: 1.解 不 等 式 3 4

T7 , T8

?a? 0且a ? 1?

2.若定义在区间 (-1, 0) 内的函数 f(x)= log 2a ( x ? 1) 满 足 f(x)>0,求实数 a 的值。(2001 年高考题)

板书设计:
对 数 函 数 的 概 念 及 基 本 性 质
1. 对数函数的定义 2. 对数函数的图像 例 1:求函数定义域 例 2:比较大小

3. 对数函数的性质

课后反思:


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