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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十二) 2.9

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课时提升作业(十二)
函数模型及其应用 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·永州模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销 售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好 地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是 ( A.y=100x C.y=50×2x B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100 ) 60 分)

【解析】 选 C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模 型,代入数据验证即可得,应选 C. 2.(2015· 哈尔滨模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元. 若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为 使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 ( A.60 件 C.100 件 B.80 件 D.120 件 ,仓储费用 )

【解析】选 B.若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是

-1-

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是 ,总的费用是

+ ≥2

=20,当且仅当

= 时取等号,即 x=80.故选 B.

3.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同 ,假定保鲜时间与储藏温度的关系为 指数型函数 y=kax,若牛奶在 0℃的冰箱中,保鲜时间约为 100 h,在 5℃的冰箱中, 保鲜时间约为 80 h,那么在 10℃时保鲜时间约为( A.49 h B.56 h C.64 h ) D.72 h

0 ? 4 ?100 ? ka , 【 解 析 】 选 C. 由 ? 得 k=100,a5= , 所 以 当 10 ℃ 时 , 保 鲜 时 间 为 5 5 ? ?80 ? ka ,

100〃a10=100〃( )2=64(h),故选 C. 4.(2015·天津模拟)国家规定某行业征税如下:年收入在 280 万元及以下的税率 为 p%,超过 280 万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%, 则该公司的年收入是( A.560 万元 C.350 万元 ) B.420 万元 D.320 万元

4 5

【解题提示】设年收入为 x,构建分段函数模型求解. 【解析】选 D.设该公司的年收入为 x,纳税额为 y, 则由题意,得 y= ? ?
? x ? p%, x ? 280万, ? ?280 ? p% ? ? x ? 280? ? ? p ? 2? %, x ? 280万 ,

依题意有,

280 ? p% ? ? x ? 280 ? ? ? p ? 2 ? % x

=(p+0.25)%,解之得 x=320(万元). 【加固训练】(2015·张家界模拟)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断 降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 ,现在价格为 8 100 元的计算机经过 15 年
1 3

-2-

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价格应降为( A. 2 000 元 C. 2 800 元

) B. 2 400 元 D. 3 000 元
1 3

【解析】选 B.设经过 3 个 5 年,产品价格为 y 元,则 y=8 100×(1- )3=2 400. 5.图形 M(如图所示)是由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两个矩形所构成,函数 S=S(a)(a≥0)是图形 M 介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分面积,则函数 S(a)的图象大致是( )

【解析】选 C.依题意,当 0≤a≤1 时,
S?a ? ? a ?2 ? a ? 1 ? 2a ? ? a 2 ? 3a; 2 2

1 +2a; 2 1 5 当 2<a≤3 时,S(a)= +2+a=a+ ; 2 2 1 11 当 a>3 时,S(a)= +2+3= ,于是 2 2

当 1<a≤2 时,S(a)=

-3-

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? 1 2 ?? 2 a ? 3a, 0 ? a ? 1, ? ?2a ? 1 ,1 ? a ? 2, ? 2 S(a)= ? ?a ? 5 , 2 ? a ? 3, ? 2 ?11 ? , a ? 3. ?2

由解析式可知选 C. 【一题多解】本题还可以采用如下方法 选 C.直线 y=a 在[0,1]上平移时 S(a)的变化量越来越小,故可排除选项 A,B.而直 线 y=a 在[1,2]上平移时 S(a)的变化量比在[2,3]上的变化量大,故可排除选项 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·漳州模拟)有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边 靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如 图所示),则围成场地的最大面积为 (围墙厚度不计).

【解题提示】根据题目中条件,建立二次函数模型,采用配方法求最高值即可. 【 解 析 】 设 矩 形 场 地 的 宽 度 为 x m, 则 矩 形 场 地 的 长 为 (200-4x)m, 面 积 S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当 x=25 时,S 取得最大值 2 500,即围成场地的 最大面积为 2 500 m2. 答案:2 500 m2
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7.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为 30 000 元, 旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团中的人数在 30 或 30 以下,飞机票每张收费 1 800 元.若旅游团的人数多于 30 人,则给以优惠,每 多 1 人,机票费每张减少 20 元,但旅游团的人数最多有 75 人,那么旅游团的人数 为 人时,旅行社获得的利润最大.

【解析】设旅游团的人数为 x 人,飞机票为 y 元,利润为 Q 元,依题意, ①当 1≤x≤30 时,y =1 800 元,此时利润 Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此时最 大值是当 x=30 时,Qmax=1 800×30-30 000=24 000(元); ②当 30<x≤75 时,y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润 Q=yx-30 000=-20x2+ 2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000, 所以当 x=60 时,旅行社可获得的最大利润 42 000 元. 综上,当旅游团的人数为 60 人时,旅行社获得的利润最大. 答案:60 8.(2015·潍坊模拟)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西 红柿种植成本 Q(单位:元/100 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 种植成本 Q 60 116 100 84 180 116

根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系. Q=at+b,Q=at2+bc+c,Q=a·bt,Q=a·logbt 利用你选取的函数,求得: (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是
-5-

.

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(2)最低种植成本是

(元/100kg).

【解析】根据表中数据可知函数不单调,所以 Q=at2+bt+c 且开口向上,对称轴
t?? b 60 ? 180 ? ? 120. 2a 2

?3600a ? 60b ? c ? 116, ? 代入数据 ?10000a ? 100b ? c ? 84, ?32400a ? 180b ? c ? 116, ? ? b ? ?2.4, ? 得 ?c ? 224, ?a ? 0.01. ?

所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120. 最低种植成本是 14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80. 答案:(1)120 (2)80 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况 的调查研究中,发现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满 足如图所示的曲线.当 t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一 部分,当 t∈[14,40]时,曲线是函数 y=loga(t-5)+83(a>0 且 a≠1)图象的一部分. 根据专家研究,当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳. (1)试求 p=f(t)的函数关系式. (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由. 【解析】(1)t∈(0,14]时, 设 p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得 c=- ,t∈(0,14]时,p=f(t)= - (t-12)2+82;t∈[14,40]时,将(14,81)代入 y=loga(t-5)+83,得 a= ,
1 4 1 3 1 4

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2 ? 1 ?? 4 ? t ? 12 ? ? 82, t ? ? 0,14? , 所以 p=f(t)= ? ?log 1 ? t ? 5? ? 83, t ? ?14, 40?. ? 3 1 (2)t∈(0,14]时,由- (t-12)2+82≥80, 4

解得 12-2 2 ≤t≤12+2 2 , 所以 t∈[12-2 2 ,14], t∈(14,40]时,由 log 1 (t-5)+83≥80,解得 5<t≤32,
3

所以 t∈(14,32],所以 t∈[12-2 2 ,32], 即老师在 t∈[12-2 2 ,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳. 10.(2015·太原模拟)某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市 场调查,当每套丛书售价定为 x 元时,销售量可达到 15-0.1x 万套.现出版社为配 合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮 动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套) 成反比,比例系数为 10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货 价格.问: (1)每套丛书售价定为 100 元时,书商能获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 【解析】(1)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15-0.1×100=5(万套),此时 每套供货价格为 30+ =32( 元 ), 书商所获得的总利润为 5× (100-32)=340( 万 元). (2)每套丛书售价定为 x 元时,由 解得 0<x<150. 依题意,单套丛书利润
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P=x-(30+

)=x-

-30, ]+120.

所以 P=-[(150-x)+

因为 0<x<150,所以 150-x>0, 由(150-x)+ ≥2 =2×10=20, ,即 x=140 时等号成立,此时,Pmax=-20+120=100.

当且仅当 150-x=

所以每套丛书售价定为 140 元时,单套丛书的利润最大,最大值为 100 元. 【加固训练】围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩 形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围 墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出 口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的 旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数. (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 【解析】(1)设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180 × 2a=225x+360a-360, 由已知 xa=360, 得 a= y= 225x ?
3602 -360(x>2). x
360 , 所以 x

(2)因为 x>2,所以 225x+

3602 3602 =10 800, ? 2 225x ? x x

360 2 360 2 所以 y=225x+ -360≥10 440.当且仅当 225x= 时,等号成立. x x

即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10 440 元. (20 分钟 40 分)
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1.(5 分)已知一容器中有 A,B 两种菌,且在任何时刻 A,B 两种菌的个数乘积为定 值 1010,为了简单起见,科学家用 PA=lg(nA)来记录 A 菌个数的资料,其中 nA 为 A 菌 的个数,则下列判断中正确的个数为( ①PA≥1; ②若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加 1,则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10 个; ③假设科学家将 B 菌个数控制为 5 万个,则此时 5<PA<5.5. A.0 B.1 C.2 D.3 )

【解析】选 B.当 nA=1 时 PA=0,故①错误; 若 PA=1,则 nA=10,若 PA=2,则 nA=100,故②错误; 设 B 菌的个数为 nB=5×104, 所以 nA=
1010 =2×105,所以 PA=lg(nA)=lg 2+5. 4 5 ? 10

又因为 lg 2≈0.3,所以 5<PA<5.5,故③正确. 2.(5 分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与 底边成角为 60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因 素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于 3 米. 记防洪堤横断面的腰长为 x 米,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 的范围为( A.[2,4] B.[3,4]
1 2

)

C.[2,5]

D.[3,5]
x 2

【解析】选 B.根据题意知,9 3 = (AD+BC)h,其中 AD=BC+2× =BC+x,h=

3 x, 2

-9-

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? 3 h? x ? 3, ? 1 18 x 3 ? 2 所以 9 3 = (2BC+x)〃 x,得 BC= - ,由 ? 得 2≤x<6. 2 x 2 2 ?BC ? 18 ? x ? 0 ? ? x 2

所以 y=BC+2x=

18 3x 18 3x + (2≤x<6),由 y= + ≤10.5 解得 3≤x≤4.因为[3,4]? x 2 x 2

[2,6),所以腰长 x 的范围是[3,4].故选 B. 3.(5 分)(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A.
p?q 2

)

B.

? p ? 1?? q ? 1? ? 1
2

C. pq

D. ? p ? 1?? q ? 1? -1

【解析】选 D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为 x, 则由已知,列得(1+x)2=(1+p)(1+q),解得 x= ? p ? 1?? q ? 1? -1. 4.(12 分)(2015·长春模拟)某产品原来的成本为 1 000 元/件,售价为 1 200 元/ 件,年销售量为 1 万件,由于市场和顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升 级,据市场调查,若投入 x 万元,每件产品的成本将降低 x,在售价不变的情况下, 年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升级和销售 ,扣除产品升级资金后 的纯利润为 f(x)(单位:万元). (1)求 f(x)的函数解析式. (2)求 f(x)的最大值,以及 f(x)取得最大值时 x 的值. 【解题提示】(1)求出升级后每件的成本、利润及年销售量 ,则利润的函数解析 式可求. (2)利用基本不等式求出 f(x)的最大值. 【解析】(1)依题意,产品升级后,每件的成本为 1 0003x 3x 元,利润为 200+ 元, 4 4 2 x 3 4

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年销售量为 1- 万件, 纯利润为 f(x)= (200 ? =198.5400 x ? . x 4 3x 2 )(1 ? ) ? x 4 x

2 x

(2)f(x)=198.5等号当且仅当

400 x 400 x ? ≤198.5-2× ? =178.5. x 4 x 4

400 x ? ,即 x=40 时成立. x 4

所以 f(x)取最大值时的 x 的值为 40. 【加固训练】如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大 的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值. 【解析】设 AN 的长为 x(x>2)米, 由
DN AN ? DC AM , 得|AM|=
3x , x?2

所以 S 矩形 AMPN=|AN|〃|AM|= (1)由 S 矩形 AMPN>32,得

3x 2 . x?2

3x 2 >32, x?2

又 x>2,于是 3x2-32x+64>0, 解得 2<x< 或 x>8, 即 AN 长的取值范围为(2,
2

8 3

8 )∪(8,+≦). 3

3x 2 3 ? x ? 2 ? ? 12 ? x ? 2 ? ? 12 (2)S 矩形 AMPN= ? x?2 x?2

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= 3? x ? 2? ?

12 12 12 , ? 12 ? 2 3 ? x ? 2 ? ? ? 12 =24,当且仅当 3(x-2)= x?2 x?2 x?2

即 x=4 时,y=

3x 2 取得最小值 24. x?2

所以当 AN=4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小为 24 平方米. 5.(13 分)(能力挑战题)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调 查研究后 , 发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x) 与时刻 x( 时 ) 的关系为 f(x)= |
2x 2 ? a| ? 2a ? ,x∈[0,24],其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈[0,1],若 2 x ?1 3

用每天 f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M(a). (1)令 t=
2x ,x∈[0,24],求 t 的取值范围. x2 ?1

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合 放射性污染指数是否超标? 【解析】(1)当 x=0 时,t=0; 当 0<x≤24 时,
2x 2 ≤1(当 x=1 时取等号),所以 0<t≤1, ? 2 x ?1 x ? 1 x

综上,t 的取值范围是[0,1]. (2)当 a∈[0,1]时,记 g(t)=|t-a|+2a+ ,
2 ? ? t ? 3a ? , 0 ? t ? a, ? ? 3 则 g(t)= ? ? t ? a ? 2 , a ? t ? 1, ? 3 ?
2 3

因为 g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增, 且 g(0)=3a+ ,g(1)=a+ , g(0)-g(1)=2(a- ).
1 2 2 3 5 3

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1 ? g ?1? , 0 ? a ? , ? 2 故 M(a)= ? ? ?g ? 0 ? , 1 ? a ? 1, ? ? 2 1 ? 5 a ? , 0 ? a ? , ? ? 3 2 即 M(a)= ? ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1. ? 3 2 ?

所以当且仅当 0≤a≤ 时,M(a)≤2. 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤1 时超标. 【加固训练】某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共 支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元, 设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资 额). (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法: ①年平均纯利润达到最大时,以 48 万元出售该厂,②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更合算? 【解析】(1)由题意,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,可知每年 的支出构成一个等差数列,用 g(n)表示前 n 年的总支出, 所以 g(n)=12n+
n ? n ? 1? ×4=2n2+10n(n∈N*), 2
1 3 1 3

1 3

因 为 f(n)= 前 n 年 的 总 收 入 - 前 n 年 的 总 支 出 - 投 资 额 , 所 以 f(n)=50n-(2n2+10n)-72=-2n2+40n-72. 由 f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得 2<n<18. 由 n∈N*知,从第三年开始盈利.
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(2)方案①:年平均纯利润为

f ?n? 36 =40-2(n+ )≤16,当且仅当 n=6 时等号成立. n n

故方案①共获利 6×16+48=144(万元),此时 n=6. 方案②:f(n)=-2(n-10)2+128. 当 n=10 时,f(n)max=128. 故方案②共获利 128+16=144(万元). 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于方案①只需 6 年,而方案②需 10 年,故 选择方案①更合算.

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