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第四章试题答案 概率论与数理统计

第四章历年试题 一、单项选择题(本大题共 10 小题, 每小题 2 分,共 20 分) 在每小题列出的四个备选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代 码填写在题后的括号内。错选、多 选或未选均无分。 1.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松 分布,则下列结论中正确的是 ( )

A.E(X)=0.5,D(X)=0.5 B.E(X)=0.5,D(X)=0.25 C.E(X)=2,D(X)=4 D.E(X)=2,D(X)=2 答案:D
1

2.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N (1, , (0, , Z=X-Y, 4) Y~N 1) 令 则 D(Z)= ( A.1 C.5 答案:C B.3 D.6 )

3.已知 D(X)=4,D(Y)=25, Cov(X,Y)=4,则ρ A.0.004 C.0.4 答案:C B.0.04 D.4
XY=(



2

4.设 X,Y 是任意随机变量,C 为常 数, 则下列各式中正确的是 ( A.D(X+Y)=D(X)+D(Y) B.D(X+C)=D(X)+C C.D(X-Y)=D(X)-D(Y) D.D(X-C)=D(X) 答案:D 5.设随机变量 X 的分布函数为 )

x ? 2; ?0, ?x ? 2 ? ? 1, ? x ? 4; ?2 F(x)= ?1, 则 E(X)= x ? 4; ?
( A. 13 ) B. 12
3

C. 32 答案:D

D.3

6.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且

1 X~B(36, 6


1 ) ,Y~B(12, 3 ) ,
) B. 73 D. 26 3

D(X-Y+1)=( A. 43
23 C. 3

答案:C

4

7.设随机变量 X 服从参数为 2 的指 数分布,则下列各项中正确的是 ( )

A.E(X)=0.5,D(X)=0.25 B.E(X)=2,D(X)=2 C.E(X)=0.5,D(X)=0.5 D.E(X)=2,D(X)=4 答案:A 8.设随机变量 X 服从参数为 3 的泊
1 松分布,Y~B(8, 3 ) ,且

X,Y

相互独立, 则 D(X-3Y-4)=( A.-13 C.19 B.15 D.23
5



答案:C 9.已知 D(X)=1,D(Y)=25, ρ
XY=0.4,则

D(X-Y)=( B.22 D.46



A.6 C.30 答案:B

10.设 (

1 X~B(10, 3 ) ,则


E(X)=

1 A. 3
10 C. 3

B.1

D. 10
6

答案:C

32 ) 11.设 X~N(1, ,则下列选项中,
不成立的是( ... A.E(X)=1 C.P(X=1)=0 答案:B 12 . 设 E(X),E(Y),D(X),D(Y) 及 ) B.D(X)=3 D.P(X<1)=0.5

Cov(X,Y) 均 存 在 , 则 D(X-Y)= ( ) B.D(X)-D(Y)

A.D(X)+D(Y)

C.D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) D.D(X)-D(Y)+2Cov(X,Y) 答案:C

7

1 13. 设随机变量 X~B (10, 2 ) Y~ ,
N(2,10) ,又 E(XY)=14,则 X 与 Y 的相关系数 ? XY ? ( A.-0.8 C.0.16 答案:D X X 1 x 14.已知随机变量-2 的分布律为
1 ,且 E(X)=1,则常数 x= 1 P p 4



B.-0.16 D.0.8

4

( A.2 C.6 B.4 D.8



8

答案:B 15. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的 指数分布,则随机变量 X 的期望为 ( ) B.0

A.- 12

1 C. 2
答案:C 16.设随机变量 且

D.2

X 和 Y 相互独立,
, 则 )
N (7 , 27)

X ~ N (3 , 4)


Y ~ N (2 , 9)
Z ? 3X ? Y ~ (
A.
N (7 , 21)

B.

9

C. N (7 , 45) 答案:C

D.

N (11 , 45)

17. 设 X~B(10, ( )

1 3
2 B. 3
D. 10 3

),

D(X ) ? 则 E (X )

1 A. 3
C.1 答案:B

18.已知随机变量 X 的分布函数为

?1 ? e ?2 x x ? 0; ? 其它. 则 X 的均值 F(x)= ? 0
和方差分别为( )
10

A.E(X)=2, D(X)=4 B.E(X)=4, D(x)=2 C.E(X)= 14 ,D(X)= 12

1 D.E(X)= 2
答案:D

1 , D(X)= 4

19.设二维随机变量(X,Y)的分 布律为 X 0 1 Y 0 1

1 3
1 3

1 3
0 )

则 E(XY)=( 答案:0

11

20. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的 泊松分布,则随机变量 X 的方差为 ( A.-2 C. 12 答案:D 21. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从参数为 2 的指数分布,Y~B(6,
1 2 ),则 E(X-Y)=(

) B.0 D.2



5 ? A. 2
C.2 答案:A

B. 12 D.5

12

22.设二维随机变量(X,Y)的协方差

1 Cov(X,Y)= 6 ,且 D(X)=4,D(Y)=9,
则 X 与 Y 的相关系数 ? XY 为 (
1 A. 216



1 B. 36
D.1

C. 16 答案:B

22. .设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且 X~N (1, , (0, , Z=X-Y, 4) Y~N 1) 令 则 E(Z2)= ( A.1 C.5 答案:D B.4 D.6 )

13

二、填空题(本大题共 15 小题,每 空 2 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确 答案。错填、不填均无分。

23.设 X~B(4, =___________。 答案:5

1 2

) ,则 E(X2 )

24.设 E(X)=2,E(Y)=3,E(XY) =7,则 Cov(X,Y)=___________。 答案:1 25. 已知随机变量 X 满足 E (X) =-1, E 2) 则 D (X =2, (X) =___________. 答案:1
14

26.设随机变量 X,Y 的分布列分别 为 X 1 P 2 3 Y -1 0 1
1 2

1 3

1 1 , P 6 2

1 1 4 4

且 X,Y 相互独立,则 E(XY) =___________.

13 ? 答案: 24
27.随机变量 X 的所有可能取值为 0 和 x,且 P{X=0}=0.3,E(X)=1, 则 x=____________.

15

10 答案: 7
28.设随机 变量 X 的分布 律为 则 D(X)=____________. 答案:1 29. 设随机变量 X 服从参数为 3 的指 数 分 布 , 则 =____________. D ( 2X+1 ) X -1 0 1 2 , P 0.1 0.2 0.3 0.4

4 答案: 9
16

30.设二维随机变量(X,Y)~N(μ
1

,μ

2 ? 12 , ? 2 ;ρ 2;

) ,且 X 与 Y 相

互独立,则ρ =____________. 答案:0 31. 设 随 机 变 量 X 具 有 分 布 P ?X ? k ? 答案:3 32.设随机变量 X 在区间(0,1)上服从 均 匀 分 布 ,Y=3X-2, 则 E ( Y )= ___________。
1 = 5 , k ? 1,2,3,4,5, 则 E ( X )=

___________。

1 ? 答案: 2

17

X -1 0 5 33 . 已 知 随 机 变 量0.3 0.2 分 布 律 P 0.5 X 的 为 , 则 P?X ? E (X )? ? _______. 答案:0.8 34.已知 E(X)= ? 1 答案:10 35.设 X1,X2,Y 均为随机变量,已 知 Cov(X1,Y)= ? 1 ,Cov(X2,Y)=3,则 Cov(X1+2X2,Y)=_______. 答案:5 ,D(X)

=3,则 E(3X2-2)=___________.

18

1 19. X~N 设 (0, , (16,2 ) 1) Y~B ,

且 两 随 机变 量相 互独 立, 则 D(2X+Y)= ________________. 答案:8 36. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律 为 Y X 1 2

0

1

1 6
2 6

2 6
1 6

则 E (XY ) ? _______.
19

2 答案: 3

X 37. 设随机变量 X 的分布律 为 ,则 E( X 2 ) =_______. 答案:1 P

-1
1 3

1

2 3

38.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且
D( X ) ? 0 , D(Y ) ? 0 ,则

X 与 Y 的相关系

数 ? XY ? ______.
20

答案:0 39. 设 随 机 变 量 X 具 有 分 布

1 P{X=k}= 5 ,k=1,2,3,4,5,则 D(X)=
___________。 答案:2 40. 若 X~N(3,0.16) , 则 D(X+4)= ___________。 答案:0.16
1? ? ?18, ? 41.设随机变量 X ~ B ? 3 ? ,则

D(X)=_________. 答案:4

21

42.设随机变量 X 的概率密度为
?2 x, 0 ? x ? 1; f ( x) ? ? 其他, 则 E ( X ) ? 0,

=________.

2 答案: 3
43.已知 E(X)=2,E(Y)=2, E(XY)=4,则 X,Y 的协方差 Cov(X,Y)=____________. 答案:0 44. X~N(0, Y=2X-3, D(Y)=设 1), 则 ______. 答案:4 45. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其 分布律分别为
22

则 E(XY)=________. 答案:2 46.设 X,Y 为随机变量,已知协方 差 Cov(X,Y)=3,则 Cov(2X,3Y)=________. 答案:18 46. .设 E(X2 )=0,则 E(X) =______________. 答案:0

23

46. .设随机变量 X 的概率密度为
?2 x, 0 ? x ? 1; ? f ( x) ? ? ? 0, 其他, 则 ?

E ( |X| )

=______.

2 答案: 3
三、计算题(本大题共 2 小题,每小 题 8 分,共 16 分)

24

47. 设随机变量 X 只取非负整数值, 其 概 率 为

ak k ?1 P ?X ? k ? = (1 ? a)
中a

,其

? 2 ? 1 ,试求 E(X)


及 D(X) 。 解
?

ak 2 ?1 ? E( X ) ? ? k ? k (1 ? 1 / 2 ) k ?1 ? k ?1 2 k ?0 (1 ? a) k ?0
1 ? 1 ? ? ? kx k ?1 ? (1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? ?)? ? ? ? ? (1 ? x) 2 ?1? x ? k ?0 1 其中x ? 1 ? 2
?

?

25

所以

E( X ) ?
?

2 ?1 ? 2 ? 2 ?1 2

ak 2 ?1 ? 2 2 2 E( X ) ? ? k ? k (1 ? 1 / 2 ) k ?1 ? 2 k ?0 (1 ? a) k ?1 k ?0

??k x
2 k ?0

?

k ?1

? ? k ? 1)kx (
k ?0

?

k ?1

? ? kxk ?1
k ?0

?

? 1 2 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? 2 3 (1 ? x) (1 ? x) 2 ? 1 ? x ? (1 ? x) 1 其中x ? 1 ? 2

所以
E( X ) ?
2

2 ?1 ? 2( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) 2 2

D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? 0

26

48. 设连续型随机变量 X 的分布函数 为

x ? 0, ?0, ?x F ( x) ? ? 0 ? x ? 8, ?8 x ? 8. ?1, 求: (1)X 的概率密度 f (x) ; (2)

E ( X ), D( X ) ;
D( X ) ? ? P? X ? E ( X ) ? ? 8 ? (3) ?
?1 ? ?( x) ? ? 8 ,0 ? x ? 8 f ( x) ? F 解: (1) ? 0, 其他 ?

(2)? X

~ U (0,8)

27

64 16 ? E ( X ) ? 4, D( X ) ? ? 12 3
D( X ) ? ? P? X ? E ( X ) ? ? 8 ? ?
2? 10 14 ? ? P? X ? 4 ? ? ? P{ ? X ? } 3? 3 3 ?

??

14 3 10 3

1 1 14 10 1 dx ? ( ? ) ? 8 8 3 3 6

49.已知随机变量 X,Y 的相关系数 为 ? XY , U=aX+b, V=cY+d, 其中 若 ac>0. 试求 U,V 的相关系数 ? UV 。 解:

?UV

cov( ,V ) U ac cov(X , Y ) ? ? ? ? XY D(U ) D(V ) a2c2 D( X ) D(Y )
28

50.设(X,Y)服从在区域 D 上的 均匀分布,其中 D 为 x 轴、y 轴 及 x+y=1 所围成, X 与 Y 的协 求 方差 Cov(X,Y). 解:
?2, ( x, y) ? D f ( x, y) ? ? ?0, ( x, y) ? D

E( X ) ? ? ??
1 1? x 0 0

?? ??

?? ??

?

xf ( x, y )dxdy
1 2

?

1 2 xdydx ? ? (2 x ? 2 x )dx ? 0 3
?? ?? ?? ??

E (Y ) ? ? ??
1 1? x 0 0
1

?

yf ( x, y )dxdy

?

2 ydydx
1 3

? ? (1 ? x) 2 dx ?
0

29

E ( XY ) ? ? ??
1 1? x 0 0
1

?? ??

?? ??

?

xyf ( x, y )dxdy

?

2 xydydx
1 12

? ? x(1 ? x) 2 dx ?
0

1 cov( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? ? 36
四、综合题(本大题共 2 小题,每小 题 12 分,共 24 分) 51.设随机变量 X 的概率密度为

?cx 2 , ? 2 ? x ? 2; f(x) ? ? 其他. ? 0
试求: (1)常数 c; (2)E(X) ,D (X)(3)P{|X-E(X)| < D(X)}. ; 解: (1)由 ??? f ( x)dx ? 1.
30

??

cx3 2 16c 3 2 cx dx ? ? ?c ? 得 ?? 2 3 ?2 3 16
2

(2)
3 3 E ( x) ? ? xf ( x)dx ? ? x dx ? 0 ?? ? 2 16
2 ??

E ( X ) ? ? x 2 f ( x)dx
2 ??

??

3 4 12 ?? x dx ? ? 2 16 5
2

12 D( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ? 5
2 2

(3)P{|X-E(X)| < D(X)}
12 12 12 P{ X ? } ? P{? ? X ? } 5 5 5 2 3 =? ? x 2 dx ? 1 ? 2 16

31

52.设二维随机向量(X,Y)的概 率 密 度 为
? xy,0 ? x ? 1,0 ? y ? 2; f ( x, y) ? ? 试 ?0, 其他,

求: (1) (X) E E , (Y) ; D (2) (X) , D(Y)(3)ρ ; 解 :
?? ?? ?? ??
XY.



1
1 2


2

E( X ) ? ?

?

xf ( x, y )dxdy ? ( ? x dx )( ? ydy )
0 0
1 2 2

4 E (Y ) ? ? ? yf ( x, y )dxdy ? ( ? xdx )( ? y dy ) ? ?? ?? 0 0 3
(2)

?? ??

32

1 E ( X ) ? ? ? x f ( x, y )dxdy ? ( ? x dx )( ? ydy ) ? ?? ?? 0 0 2
2 2 1 3 2

?? ??

E(Y ) ? ?
2

?? ??

?? ? ?

?

y f ( x, y)dxdy ? (? xdx)(? y 3 dy) ? 2
2 0 0

1

2

D( X ) ? E( X ) ? [ E( X )]
2

2

1 ? 2? 1 ?? ? ? = 2 ? 3 ? 18

2

D(Y ) ? E(Y ) ? [ E(Y )]
2

2

2 ?4? =2??3? ? 9 ? ?

2


?? ??

3
1 2 2


2

8 E ( XY ) ? ? ? xyf ( x, y )dxdy ? ( ? x dx )( ? y dy ) ? ?? ?? 0 0 9

cov(X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? 0
33

? XY ?

cov(X , Y ) D( X ) D(Y )

?0

53.设随机变量 X 的概率密度为
?x ? , f ( x) ? ? 2 ?0, ? 0 ? x ? 2; 其他.

试求: (1)E(X) ,D(X)(2) ; D(2-3X)(3)P{0<X<1}. ; 解:1) ( X ) ? ??? xf ( x)dx ? ?0 ( E
?? 2

x2 4 dx ? 2 3

E ( X 2 ) ? ? x 2 f ( x)dx ? ?
??
2 2

??

2

0

x3 dx ? 2 2
2

2 ? 4? D( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ? 2 ? ? ? ? 9 ? 3?
34

(2) D(2 ? 3x) ? 9D( X ) ? 2 (3) P{0<X<1}.
??
1 0

x 1 f ( x)dx ? ? dx ? 0 2 4
1


54.设离散型随机变量 X 的分 布律为: X 求 P -1
1 4

令 Y=

X

2


0

1
1 4

1 2

(1)D(X);(2)D(Y);(3)Cov( X,Y ). 解: (1)
2

E ( X ) ? ?1 ?
2

1 1 1 ? 0 ? ? 1? ? 0 4 2 4

1 1 2 1 1 2 E ( X ) ? (?1) ? ? 0 ? ? 1 ? ? 4 2 4 2
35

D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2
(2) Y P
1 E (Y ) ? 2

1 =2

0
1 2

1
1 2

,

1 E (Y ) ? 2
2

,

1 2 2 D(Y ) ? E(Y ) ? [ E(Y )] = 4
Y ? X 2 即 X 与 Y 没有线性关 (3)因为

系故 Cov( X,Y ).=0

36

55.设二维随机变量(X,Y)的分布 律为 Y X 0 1 0 0.1 0.2 1 0.2 α 2 , 0.1 β

且已知 E(Y)=1,试求: (1)常数 α ,β ; (2)E(XY)(3)E(X) ; 解: (1) Y P 0 0.3 2 0.2+ ? 2 0.1+ ?

E ( Y ) =1=0.4+2 2 ? + ? =0.5 又

?

+0.1+

?

,即

0.1+0.2+0.1+0.2+ ? ? ? ? 1 即
37

? ? ? ? 0.4
? ? 0.1,? ? 0.3

(2)

E ( XY ) ? 0 ? 0 ? 0.1 ? 1? 0 ? 0.2 ? 1? 0 ? 0.2 ? 1? 1? 0.1 ? 0 ? 2 ?

(3) X P 0 0.4 E(X)=0.6 56.2008 年北京奥运会即将召开, 某射击队有甲、乙两个射手, 他们的射击技术可用题 29 表 给出。 其中 X 表示甲射击环数, Y 表示乙射击环数,试讨论派 遣哪个射手参赛比较合理? 1 0.6

38

X p

8 0. 4

9 0. 2

1 Y 8 0 0. 0. p 4 1 题 52 表

9 0. 8

1 0 0. 1

解:

E ( X ) ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9

E(Y ) ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.8 ? 10 ? 0.1 ? 9
D( X ) ? (8 ? 9) 2 ? 0.4 ? (9 ? 9) 2 ? 0.2 ? (10 ? 9) 2 ? 0.4 ? 0.8
D(Y ) ? (8 ? 9) 2 ? 0.1 ? (9 ? 9) 2 ? 0.2 ? (10 ? 9) 2 ? 0.1 ? 0.2 ? D( X )

即 甲乙两人的平均水平相同,但是 乙比甲稳定,故选择乙。

39

57. 设离散型随机变量 X 的分布律为 X 0 1 P p1 p2 且已知 E(X)=0.3,试求:
,

(1)p1,p2; (2)

(2)D(-3X+2).

解: (1) E( X ) ? p2 ? 0.3, p1 ? 0.7
D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21

D(?3 X ? 2) ? 9D( X ) ? 9 ? 0.21 ? 1.89

40

58.假定暑假市场上对冰淇淋的需求 量是随机变量 X 盒, 它服从区间 [200,400]上的均匀分布,设每 售出一盒冰淇淋可为小店挣得 1 元,但假如销售不出而屯积于冰 箱,则每盒赔 3 元。问小店应组 织多少货源,才能使平均收益最 大? 解 利润 为
3 200 ? X ? (y ? X ), ? X ? y L?? y, y ? X ? 400 ?

设该小店储备


盒冰淇淋, 显

然有 200 ?

y ? 400 则该小店所获

41

的概率密度为
? 1 ? ,200 ? x ? 400 f ( x) ? ? 200 ? 0, 其他 ?

于是
400 1 1 E ( L) ? ? ( 4 x ? 3 y ) dx ? ? y dx 200 y 200 200 y

1 ? ( ? 2 y 2 ? 1000 y ? 80000 ) 200

d 1 E ( L) ? (?4 y ? 1000 ) dy 200



,得 y ? 250.
42

故当 y ? 250(盒)时,该小店公司 所获平均收益最大. 59.设随机变量 X 的概率密度为

?ax ? b, f ( x) ? ? ? 0,

0 ? x ? 1, 其他,

7 且 E(X)= 12 .求:(1)常数 a,b;

(2)D(X). 解





1



? ?? f ( x )dx ? 1 ? ??? ? ?? 7 ? ???? xf ( x )dx ? 12 ?
? 1 (ax ? b)dx ? 1 1 ? ?0 ? 1 7 ? a ? 1, b ? 2 ??0 x(ax ? b)dx ? 12 ?
43

(2)

1 5 E ( X ) ? ? x ( x ? )dx ? 0 2 12
2 1 2

5 ?7? 11 2 2 D( X ) ? E( X ) ? [ E( X )] ? ? ? ? ? 12 ? 12 ? 144

2

60.设测量距离时产生的随机误差 X~N(0,102)(单位:m),现作三 次独立测量,记 Y 为三次测量中 误差绝对值大于 19.6 的次数, 已 知Φ (1.96)=0.975. (1)求每次测量中误差绝对值大于 19.6 的概率 p; (2)问 Y 服从何种分布,并写出其分 布律; (3)求 E(Y).
44

解: (1)

? 19.6 ? P{ X ? 19.6} ? 2 ? 2?? ? ? 10 ? ? 2 ? 2 ? 0.975 ? 0.05
(2)Y 服从二项分布,

Y ~ B(3,0.05) P{Y ? k} ? C (0.05) (0.95)
k 3 k 3? k

k ? 0,1,2,3
(3)求 E(Y) ? np ? 3 ? 0.05 ? 0.15

45


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