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吉林省白山市第一中学2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


吉林省白山市第一中学高三第二次模拟考试

理科数学试卷
一、选择题 1.在复平面内,复数 A.第一象限

1 ? i 2012 ? i 对应的点位于复平面的 1? i
C.第三象限 D.第四象限

( )

B.第二象限

2 2 N 2. 已知集合 M ? x x ? 4 , ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , 则集合 M ? N ?

?

?

?

?





A. {x | x ? ?2} C. {x | ?1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 3} D. {x | 2 ? x ? 3} )

3 . 命 题 “ 若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ” 的 逆 否 命 题 是 ( A.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 B.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0或b ? 0 C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0 4.函数 y ? D.若 a ? 0或b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0 ( )

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

5.命题甲:p 是 q 的充分条件;命题乙:p 是 q 的充分必要条件,则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)

则该几何体的体积(单位:m3)为 A.

( D.



7 2

B.

9 2

C.

7 3

9 4

7.阅读程序框图,若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条 件是 ( ) A.i>5 B.i>6 C.i>7 D.i>8

8.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则该棱锥的体积为 ( ) A.3

B.6

C.9

D.18

9.已知等差数列 {an } , a1 ? 15, S5 ? 55 ,则过点 P(3, a2 ) , Q(4, a4 ) 的直线的斜率 为 A. 4
2

( B.

) C. ? 4 D. ?

1 4

1 4

10.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物 线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 A.5 B.4 C.3 D.2

| AF | 的值等于 | BF |





11.已知函数 f ( x) ? 2mx2 ? x ? 1 在区间 ? ?2, 2 ? 恰有一个零点,则 m 的取值范围是 ( ) A. ? ? , ? 8 8

? 3 1? ? ?

B. ? ? , ? ? ?

3 1 ? 8 8?

? C. ? ? , ? ? 3 1 ? 8 8?

D. ? ? , ? ? 8 8?

1 3

?

?

12.图中的阴影部分由底为 1 ,高为 1 的等腰三角 形及高为 2 和 3 的两矩形所构成.设函数 S ? S ( a ) ( a ≥ 0 ) 是 3 中阴影部分介于平行 线 y ? 0 及 y ? a 之间的那一部分的面积, 则函数 S ( a ) 的图象大致为 ( )

2

S(a)

S(a)

S(a)

S(a)

O

1

2

3 a

O

1

2

3 a

O

1

2

3

a

A

B

O

1

2

3

a

C

D

二、填空题 13.设 n ?

?

?

2 0

1 4cos xdx, 则二项式( x ? ) n 的展开式的常数项是________ x

? y ? 2, ? 14.若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 5 ? 0, 则 z ? | x ? 2 y ? 10 | 的最小值是________. ? x ? y ? 4 ? 0, ?

15.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15° 的看台的某一列的正前 方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 30° 和 ,且第一排和 最后一排的距离为 10 6 米(如图所示) ,旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌 长度约为 50 秒,升旗手应以_________(米/秒)的速度匀速升旗.

( 第 15 题 图)

16.有下列命题: ① f (x) 存在导函数,则 f ' (2 x) ? [ f (2 x)]'; 若
4 4 ② 若函数 h( x) ? cos x ? sin x, 则h' (

?
12

) ? 1;

) ! ③ 若函数 g ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 2009 x ? 2010 ,则 g ' (2010 ? 2009; )( )
3 2 ④ 若三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 则 " a ? b ? c ? 0" 是“ f (x) 有极值点”的

充要条件. 其中真命题的序号是_________.

三、解答题 17.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,m ? (b,2a ? c), n ? (cosB, cosC ) , 且 m // n. (1)求角 B 的大小; ( 2 ) 设

f ( x) ?

? o x ? c ? s (

? ? , 求f ( x)在区间[0, ] 上的最大值和最小值.
2
18.甲、乙两人同时参加奥运志愿者的选拔赛,已知在备选的 10 道题中,甲能答对其 中的 6 题,乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试, 至少答对 2 题才能入选. (1)求甲答对试题数 ? 的分布列及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率. 19. 本小题满分 16 分) ( 、 已知 a, 是实数, b 函数 f ( x) ? x 3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx,

B 2

? ?)x 且 i n 的 ( 最 小 正 , 周 期 为 s f x 0 ) ( )

f ?(x )

和 g ?(x ) 是 f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和

g (x) 在区间 I 上单调性一致
(1)设 a ? 0 ,若函数 f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范 围; (2) a ? 0, 且 a ? b , 设 若函数 f (x) 和 g (x) 在以 a, 为端点的开区间上单调性一致, b 求|a-b|的最大值。 20.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形 (尺寸如图所示) (1)求证:AE//平面 DCF; (2)当 AB 的长为

9 , ?CEF ? 90? 时,求二面角 A—EF—C 的大小. 2

4

21.已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? , 左、右焦点分别为 F1、F2, 2 2 a b

点 P(2, 3 ) ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别 为 ? , ? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,AB 是⊙ 的直径, O G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙ 的割线,过点 O G 作 AB 的垂线,交 AC 的延长线于点 E,交 AD 的延 长线于点 F,过 G 作⊙ 的切线,切点为 H . O 求证: )C,D,F,E 四点共圆; (Ⅰ (Ⅱ )GH2=GE· GF. A D O C B H

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F

E

G

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 P ( x, y ) 在曲线 C: ?

? x ? 1 ? cos? , (? 为参数, ? y ? sin ?
4

? ? ?R ) 上运动. Ox 为极轴建立极坐标系, 以 直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ? ) ? 0 .
(Ⅰ )写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求 ?ABM 面 积的 最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ )已知 x, y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2
3 3 3 (Ⅱ )已知 a , b, c 都是正实数,求证: a ? b ? c ?

1 2 (a ? b 2 ? c 2 )(a ? b ? c) . 3



参考答案 1. A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.C 13.6 14.3 15.0.6 16. (3) 17. (1) B ? (0, ? ),? B ?

?
3

.

(2) f ( x)取得最大值 3; f ( x)取得最小值 ? 18. (1) E? ? 0 ?

3 2

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5 44 . (2)甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为 45 19. (1) b ? 2 1 (2) a ? b max ? 3
20. (1)AE//平面 DCF

A 60 (2) ?AHB ? 60?, 所以二面角 ? EF ? C的大小为 ?.
21. (1)

(2)直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) 22.证明略 23. )曲线 C 的标准方程: ( x ? 1) ? y ?1. ;直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ? 0. (Ⅰ
2 2

(Ⅱ )

2 ?1 2

24.证明略
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