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度高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末总结课件新人教A版必修1_图文

章末总结

网络建构

知识辨析
判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.分数指数幂 a 可以理解为
m n

2.指数函数的图象一定在x轴的上方.( √ ) 3.y=3· 2x是指数函数.( × ) 4.任何指数式都可以化为对数式.( × ) 5.logaxy=logax+logay(a>0且a≠1).( × ) 6.y=x2与y=log2x互为反函数.( × ) 7.互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.( √ ) 8.幂函数图象可在直角坐标系第四象限出现.( × ) 9.对数函数图象一定在y轴右侧.( √ )

m 个 a 相乘.( × ) n

主题串讲——方法提炼·总结升华
一、指数、对数的运算 【典例1】 计算下列各式:
3 ?9? (1)(2 )0+2-2·|-0.064| - ? ? ; 5 ?4?
1 3
1 2

1 (2)lg22+lg 2·lg 5+lg 5- 2log 3 ·log2 . 8
2

解:(1)原式=1+

1 2 3 2 ×( )- =- . 4 5 2 5

(2)原式=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-3×log22-3=lg 2+lg 5-3×(-3)=1+9=10.

规律方法

(1)指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指

数,根式化为分数指数幂运算.

(2)对数式的运算:①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.②熟练
地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化 简、证明常用的技巧.

二、指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质
【典例 2】 (1)函数 y=1+ log 1 (x-1)的图象一定经过点(
2

)

(A)(1,1)

(B)(1,0)

(C)(2,1)

(D)(2,0)

解析:(1)因为函数 y= log 1 x 恒过定点(1,0),而 y=1+ log 1 (x-1)的图象是由 y= log 1 x 的图
2 2 2

象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到,所以定点(1,0)也是向右平移一个单位, 再向上平移一个单位.定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故函数 y=1+ log 1 (x-1)恒过的
2

定点为(2,1).故选 C.

(2)下列命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②任取 x>0,均有(
1 x 1 x ) >( ) ; 2 3

③在同一坐标系中,y=log2x 与 y= log 1 x 的图象关于 x 轴对称;
2

④A=R,B=R,f:x→y= ⑤y=

1 ,则 f 为 A 到 B 的映射; x ?1

1 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. x

其中正确的命题的序号是

.

解析:(2)①可举偶函数y=x-2,则它的图象与y轴不相交,故①错;
②n>0 时,幂函数 y=xn 在(0,+∞)上递增,则任取 x>0,均有(
1 x 1 x ) >( ) ,故②对; 2 3 ③由于 y= log 1 x=-log2x,则在同一坐标系中,y=log2x 与 y= log 1 x 的图象关于 x 轴对称,
2 2

故③对;

④A=R,B=R,f:x→y=

1 ,但 A 中的-1,B 中无元素对应,故 f 不为 A 到 B 的映射,故④错; x ?1 1 ⑤可举 x1=-1,x2=1,则 y1=-1,y2=1,不满足减函数的性质,故 y= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上 x

不是减函数.故⑤错.故正确的命题的序号是②③.

答案:(1)C (2)②③

规律方法 正确结果.

(1)根据函数解析式判断函数的相关性质,如定义域、值域、

单调性、奇偶性等进行判断 ,也可根据函数性质进行排除干扰项而得到 (2)根据函数解析式特征确定相关的基本初等函数 ,如指数函数、对数函 数、幂函数等,然后确定其平移变化的方向,从而判断函数图象. (3)指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0=1,loga1=0. (4)指数函数与对数函数都具有单调性,当0<a<1时,两者都是递减函数; 当a>1时,两者都是递增函数.

三、比较大小 【典例3】 (1)设a=40.1,b=log30.1,c=0.50.1,则( (A)a>b>c (C)b>a>c (B)a>c>b (D)b>c>a )

解析:(1)因为a=40.1>1,b=log30.1<0, 0<c=0.50.1<1,所以a>c>b.故选B.

(2)已知a=log2 1 ,b=( 1 )-0.1,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( (A)c<b<a (C)b<a<c (A)a<b<c (B)a<c<b (D)b<c<a
3 3

)

(3)设a=log0.50.8,b=log1.10.8,c=1.10.8,则a,b,c的大小关系为(
(B)b<a<c (C)b<c<a (D)a<c<b

)

解析:(2)因为a=log2(

c=2log52=log54∈(0,1),则a<c<b.故选B. (3)因为a=log0.50.8<log0.50.5=1, b=log1.10.8<log1.11=0,c=1.10.8>1.10=1, 所以b<a<c.故选B.

1 1 )<0,b=( )-0.1>1, 3 3

规律方法 桥法等.

(1)比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间搭

(2)当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数 或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.

(3)比较多个数的大小时,先利用“0”“1”作为分界点,然后在各部分内再利
用函数性质比较大小. (4)含参数的问题,要根据参数的取值进行分类讨论.

四、幂函数、指数函数、对数函数的综合 【典例4】(1)若y=lg(x2+mx+1)的定义域为R,则实数m的取值范围是 ;

(2)若函数y=lg(x2+2x+a2)的值域是R,则实数a的取值范围是
解析:(1)把题中条件进行等价转化,即x2+mx+1>0在R上恒成立. 即Δ=m2-4<0,得-2<m<2. (2)y=lg(x2+2x+a2)的值域为R,即x2+2x+a2的值包含一切正数. 即Δ=4-4a2≥0,a2≤1,得-1≤a≤1. 答案:(1)(-2,2) (2)[-1,1]

.

规律方法
所有正数.

对数函数的定义域为R与值域为R是两个不同的问题.定义

域为R,是对数的真数大于0恒成立;而值域为R,则应转化为真数能取遍

【典例5】 已知函数f(x)=log3

(1)求函数y=f(x)的解析式;

1 ? x (m≠1)是奇函数. 1 ? mx

(1)解:由题意得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 都成立, 所以 log3
1? x 1? x 1? x 1? x +log3 =0,即 · =1, 1 ? mx 1 ? mx 1 ? mx 1 ? mx

所以 1-x2=1-m2x2 对定义域中的 x 都成立, 所以 m =1,又 m≠1,所以 m=-1, 所以 f(x)=log3
1? x . 1? x
2

(2)设g(x)= 单调递减;

1? x 1 ? mx

,用函数单调性的定义证明:函数y=g(x)在区间(-1,1)上

(2)证明:g(x)=

1? x , 1? x

设 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2, 则 x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0. 因为 g(x1)-g(x2)= 所以 g(x1)>g(x2), 所以函数 y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减.

?1 ? x1 ??1 ? x2 ?

2 ? x2 ? x1 ?

>0,

(3)解不等式f(t+3)<0.
(3)解:函数 y=f(x)的定义域为(-1,1). 设 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,由(2)得 g(x1)>g(x2)>0, 所以 log3g(x1)>log3g(x2),即 f(x1)>f(x2), 所以 y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减,

1, ??1<t ? 3< 因为 f(t+3)<0=f(0),所以 ? ?t ? 3>0,
解得-3<t<-2.

规律方法

研究指数函数与对数函数及幂函数的综合问题 ,需灵活利用换

元法将复合函数分解为两个简单函数,进而将问题转化为常见函数问题来
处理.但要注意函数定义域的变化.

五、易错题辨析 【典例6】 (1)已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则 (A)1 (B)4 (C)1或4 (D)
1 4

或4

x y

的值为(

)

错解:因为 2lg(x-2y)=lg x+lg y=lg(xy), 所以(x-2y) =xy,即 x -5xy+4y =0, (
x 2 x ) -5( )+4=0, y y x x =1 或 =4,故选 C. y y
2 2 2

所以

错因分析:错解中忽视了对数真数应大于0的条件.

正解:同错解得

x x =1 或 =4. y y

又 x-2y>0 且 x>0,y>0, 所以
x x >2,所以 =4,故选 B. y y
1 )上是减函数,求实数 a 的取值范围. 2

(2)已知函数 f(x)=ln(x2-ax-a)在(-∞,-

错解:法一 因为 f(x)=ln(x2-ax-a)在(-∞,的增函数, 所以函数 u=x2-ax-a 在(-∞,2

1 )上是减函数且 y=ln u 是定义域上 2

1 )上是减函数, 2 a ). 2

又 u=x -ax-a 的单调递减区间是(-∞, 故
a 1 ≥- ,即 a≥-1. 2 2

法二 因为 f(x)=ln(x2-ax-a)在(-∞,数, 所以 u=x2-ax-a 在(-∞,且在(-∞,-

1 )上是减函数且 y=ln u 是定义域上的增函 2

1 )上是减函数, 2

1 )上应满足 u(x)恒大于 0. 2

1 ?a ? ? , ? a ? ?1, ? 1 ? ? 2 所以 ? 2 所以 ? 1 所以-1≤a< . a< . 2 ? ? 1 ? a ? a>0, 2 ? ? ?4 2

错因分析:法一中忽视了对数的真数在(-∞,由于真数在(-∞,-

1 )上最小值应大于 0 的条件.法二中 2

1 1 )上是减函数,因此应满足 u(- )≥0. 2 2

1 ?a ? ? , ? a ? ?1, ? 1 ? ?2 2 正解:同法二知 ? 所以 ? 1 所以-1≤a≤ . a? . 2 ? ? 1 ? a ? a>0, 2 ? ? ?4 2

故实数 a 的取值范围为[-1,

1 ]. 2

真题体验——真题引领·感悟提升
1.(2017· 全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( A (A)A∩B={x|x<0} (C)A∪B={x|x>1} (B)A∪B=R (D)A∩B= ? )

解析:因为3x<1,所以3x<30,所以x<0, 所以B={x|x<0}. 又A={x|x<1},所以A∩B={x|x<0}.故选A.

2.(2017· 全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( D

)

(A)2x<3y<5z
(C)3y<5z<2x

(B)5z<2x<3y
(D)3y<2x<5z

解析:设 2x=3y=5z=k(k>1),两边分别取对数得 xln 2=yln 3=zln 5=ln k, 所以 2xln 2=2ln k,所以 2x= 因为
2ln k 3ln k 5ln k .同理 3y= ,5z= . ln 2 ln 3 ln 5

2 x 2ln 3 ln 9 = = >1,所以 2x>3y, 3 y 3ln 2 ln 8
2 x 2ln 5 ln 25 = = <1,所以 2x<5z,所以 5z>2x>3y.故选 D. 5 z 5ln 2 ln 32

因为

3.(2017· 全国Ⅱ卷)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调增区间是( D
(A)(-∞,-2) (C)(1,+∞) (B)(-∞,1) (D)(4,+∞)

)

解析:定义域满足x2-2x-8>0,所以x>4或x<-2. 令y=ln t,且t=x2-2x-8,

t=x2-2x-8在(4,+∞)上是增函数,在(-∞,-2)上是减函数,
y=ln t在(0,+∞)上单调递增, 所以y=f(x)在(4,+∞)上单调递增.

故选D.

? 1 ? x ? 1, x ? 0, 4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)= ? x 则满足 f(x)+f(x- )>1 的 x 的取值范 2 ? ?2 , x>0,

围是

.
1 1 1 1 )=x+1+x- +1>1,即 x>- ,所以- <x≤0. 2 2 4 4

解析:①当 x≤0 时,f(x)+f(x-

②当 0<x≤

1 1 1 1 1 时,f(x)+f(x- )=2x+x- +1>1,即 2x+x> ,显然成立,所以 0<x≤ . 2 2 2 2 2

1 x? 1 1 1 1 x ③当 x> 时,f(x)+f(x- )=2 + 2 2 >1,也成立,所以 x> .由①②③可得 x>- . 2 2 2 4

答案:(-

1 ,+∞) 4

5.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a= 2 ,b= 3 ,c=2 5 ,则(

4 3

2 3

1 3

A

)

(A)b<a<c (C)b<c<a
3

(B)a<b<c (D)c<a<b
4 3
3 4 3

解析:a =( 2 ) =2 =16,b =( 3 ) =9,c =(2 5 )3=25, 所以 c3>a3>b3, 所以 c>a>b.故选 A.

2 3

3

3

1 3

6.(2016· 全国Ⅰ卷)若a>b>0,0<c<1,则(

B

)

(A)logac<logbc
(C)ac<bc

(B)logca<logcb
(D)ca>cb
1 . 2

解析:由题意令 a=4,b=2,c= A 选项,logac=-

1 ,logbc=-1,logac>logbc,A 错误. 2

B 选项,logca=-2,logcb=-1,logca<logcb,B 正确. 同理 C,D 选项错误,故选 B.

7.(2016· 全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的
定义域和值域相同的是( D
(A)y=x (C)y=2
x

)

(B)y=lg x (D)y=
1 x

解析:y=10lg x的定义域和值域均为(0,+∞),D与之符合.故选D.


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