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2016年专项练习题集-不等式恒成立问题



2016 年专项练习题集-不等式恒成立问题

三级知识点:不等式恒成立问题 介绍:不等式恒成立问题以含参不等式“恒成立”为载体,镶嵌函数、方程、不等式等内容, 综合性强,能力要求高,为历年高考试题的热点。

选择题 1.不等式 mx 2 ? 2mx ? 3 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. ? 3 ? m ? 0 B. ?3 ? m ? 0 C. ? 3 ? m ? 0 D. ?3 ? m ? 0 【分值】5 【答案】D 【易错点】容易忽略 m ? 0 的情形。 【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题。 【解题思路】对 m 的分类讨论, (1) m ? 0 , (2)当 m ? 0 时,结合二次函数图象,二次函 数应该开口向下,判别式小于等于零,列出满足的条件求解. 【解析】 当 m ? 0 时不等式化为 ?3 ? 0 恒成立; 当 m ? 0 时需满足 ? 综上可知实数 a 的取值范围是 ?3 ? m ? 0 . )

?m ? 0 , 所以 ?3 ? m ? 0 , ? ? 0 ?

2.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ( ?1,3) ,若对于任意 x ? [?1, 2] ,不

等式 f ( x) ? m ? 10 恒成立, m 的取值范围是( A. [?14, ?10] B. (??, ?10] C. (??, ?14] D. [?14,14] 【分值】5 【答案】C



【易错点】不会求出 a,b 的值,不会转化恒成立问题。 【考查方向】本题主要考查了函数的解析式,考查恒成立问题,解题的关键是利用好不等式 的解集与方程解之间的关系,将恒成立问题转化为函数的最值加以解决. 【解题思路】 (1)根据不等式的解集与方程解之间的关系可知 ax 2 ? bx ? 3 ? 0 的两根为 ?1 ,

3 ,从而可求 a , b 的值,进而可求 f ? x ? 的解析式;(2)要使对于任意 x ?[?1, 2] ,不等式
f ( x) ? m ? 10 恒成立,只需 f ( x) ?10

?

?min ? m 即可,从而可求 m 的范围.

【解析】不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ( ?1,3) ,所以 ?1 和 3 是方程 ax 2 ? bx ? 3 ? 0 的两个根,由
2 韦 达 定 理 得 a ? 1,b ? ? 2 . 所 以 f ( x) ? x ? 2 x ? 3, 所 以 f ( x) ? m? 1 0恒 成 立 等 价 于

x 2 ? 2 x ? 13 ? m 恒成立,由 x2 ? 2 x ?13 ? ( x ?1)2 ?14 ? ?14 ,所以 m ? ?14 .选 C.

3.对任意的实数 x ,不等式 x ? 3 ? x ? a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. 0 ? a ? 3 C. a ? 3 D. a ? ?3



【分值】5 【答案】D 【易错点】不会去掉绝对值,函数的最值。 【考查方向】本题主要考查了含参数的绝对值不等式的恒成立问题。 【解题思路】令 f ( x) ? x ? 3 ? x ,依题意,只需求得 f ( x)min 即可求得 a 的取值范围.
?3, x ? 3 【解析】令 f ( x) ? x ? 3 ? x ? ? ,则 f ( x)min ? 3 ,所以 a ? f ( x)min ? 3 ,即 a ? 3 , ?2 x ? 3, x ? 3

故选 C.

2 4.若不等式 x ? tx ? 9 ? 0 对于任意 x ? (0, ??) 都成立,则 t 的最大值是(



A.0 B.-6 C.6 D.9 【分值】5 【答案】C 【易错点】不会将变量 t 分离出来。 【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题以及分类变量法。 【解题思路】首先根据不等式将 t 分离出来,即 t ? x ?

9 对任意 x ? (0, ??) 都成立,即 x

9? ? t ??x? ? . x ?min ?
2 【 解 析 】 不 等 式 x ? tx ? 9 ? 0 对 于 任 意 x ? ( 0,? ? )都 成 立 等 价 于 t ? x ?

9 对任意 x

x ? (0, ??) 都成立.因为 x ?

9 9 ? 2 x ? ? 6 ,所以只需 t ? 6 即可.故 C 正确. x x

5.若关于 x 的不等式 x2 ? (a ? 2) x ?1 ? 2a ? 0 对任意的 a ? [?2, 2] 均成立,则 x 的取值范 围是( )

A. (??,1) ? (3, ??) B. (??, ? 5) ? ( 5, ??) C. (??, ? 5) ? (3, ??) D. (? 5,3) 【分值】5 【答案】C 【易错点】不知道讲原不等式转化为关于 a 的一次函数。 【考查方向】 本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题, 将恒成立问题转化为函数的最值 加以解决. 【解题思路】可将 a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于 a 的一次函数大 于 0 恒成立的问题. 解:原不等式转化为 a( x ? 2) ? x ? 2 x ?1 ? 0 在 a ? [?2, 2] 时恒成立,
2 2 设 f (a) ? a( x ? 2) ? x ? 2x ?1 ,则 f ( a ) 在[-2,2]上恒大于 0,故有:
2 ? ? f (?2) ? 0 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 ? x ? 3或x ? 1 即 解得: ? ? 2 ? ? ? ? f (2) ? 0 ?x ? 5 ? 0 ? x ? 5或x ? ? 5

所以 x ? 3或x ? ? 5 ,故选 C.

填空 6.若函数 f ( x) ? sin x ? a cos x ? 3 的图象始终在直线 y ? 1 的上方,则 a 的取值范围是 _______. 【分值】5 【答案】 (? 3, 3) 【易错点】 不会利用辅助角公式对 f ( x) ? sin x ? a cos x ? 3 进行变形, 不会将 f ( x ) 在 y ? 1 的上方转化成 f ( x) ? 1 恒成立。 【考查方向】三角恒等变换和不等式恒成立问题。 【解题思路】问题转化为 f ( x) ? 1 恒成立,利用三角恒等变形以及三角函数的最值建立不 等式,求出 a 的范围。 【解析】由 f ( x ) 的图象始终在 y ? 1 的上方,即 f ( x) ? 1 恒成立,

f ( x) ? sin x ? a cos x ? 3 ? a 2 ? 1sin( x ? ? ) ? 3 ? 1 ,即 a 2 ? 1sin( x ? ? ) ? ?2 恒成立,
即 sin( x ? ? ) ?

?2 a ?1
2

恒成立,所以 ?1 ?

?2 a2 ? 1

,解得 ? 3 ? a ? 3 .

2 7.若关于 x 的不等式 x ? mx ? m ? 1 恒成立,则实数 m =



【分值】5 【答案】2 【易错点】判别式容易容易出现 ? ? 0 。 【考查方向】二次不等式恒成立问题。 【解题思路】将不等式右边项移到左边,利用判别式 ? ? 0 ,求出 m 的值.

【 解 析 】 原 不 等 式 可 变 为 x2 ? mx ? m ? 1 ? 0 , ? ? 0 , ?m2 ? 4 ? m ?1? ? 0 ,

? ? m ? 2 ? ? 0 ,? m ? 2 .
2

8.已知 a ? 1 ,若关于 x 不等式 loga x ? 是 【分值】5 【答案】 ?4, ??? . .

1 在区间 ? 0, 2? 上恒成立,则实数 a 的取值范围 x

【易错点】不会转化原不等式,不会利用数形结合处理本题。 【考查方向】本题主要考查了反比例函数及其单调性、不等式恒成立问题,同时考查了数形 结合的思想。 【解题思路】由题意可转化为不等式 log a x ? 间 ? 0, 2 ? 上,函数 y ?

1 在区间 ? 0, 2 ? 上恒成立,由图象可知,在区 x

1 的图象在函数 y ? log a x 的图象的上方,从而可得解. x

?a ? 1 1 ? 【解析】依题意 log a x ? ,则必有则必有 ? 1 ,解得 a ? 4 ,所以实数 a 的取值 x log a 2 ? ? ? 2
范围 ?4, ??? .

综合题

9. 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 ax ? x 2 ? 1 ( x ? R) 其中 a ? 0 , 若在区间 [? , 2] 上, f ( x) ? 0 恒 3 2

成立,求 a 的取值范围. 【分值】6 【答案】

2 3 ? a ? 18 3

【易错点】导数的计算与分类讨论。 【考查方向】导数与不等式恒成立问题。 【解题思路】 对 f ( x) ?

1 3 1 3 2 ax ? x 2 ? 1 进行求导, 判断利用导数求出 f ( x) ? ax ? x ? 1 的 3 3

极值点,利用极值点与端点值的函数值大于 0 ,解不等式,得到 a 的取值范围。

2 【解析】 f ?( x) ? ax ? 2 x ? ax( x ? ) ,由于 a ? 0 ,所以

2 a

2 ? 0 ,对 a 进行讨论: a

(1)若 0 ? a ? 1 ,

2 ? 2 ,于是当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 。 a

1 ? f (? ) ? 0 ?a ? 18 ? ? ? 2 由? ,即 ? 9 ,由 0 ? a ? 1 ,故无解。 a? ? f (2) ? 0 ? 8 ? ? ? a
(2)若 a ? 1 , 当

2 2 ? 2 ,于是当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 时, f ' ( x) ? 0 , a a

2 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 。 a

1 ? ?a ? 18 2 3 ? f (? ) ? 0 ? 由? ,即 ? 2 4 ,解得 ? a ? 18 。 2 3 a ? ? ? ? f (2) ? 0 3 ?
综合(1) (2)得

2 3 ? a ? 18 。 3

2 10.已知不等式 ax ? 3x ? a ? 1 ? 0 对于所有的实数 x 不等式恒成立,求 a 的取值范围.

【分值】6

【答案】 a ?

1? 5 2

【易错点】讨论时容易忽略 a

? 0 的情形。

【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题。 【解题思路】当 a

? 0 时,经检验不满足条件;
? a?0 ,解出 a 的范 ?9 ? 4a(a ? 1) ? 0

解得 a ? 0 时,设 f ( x) ? ax2 ? 3x ? a ?1 ,则由题意可得 ? 围即可. 【解析】当 a

? 0 时, 3x ? 1 ? 0 ,即当 x ? 1 时不等式不恒成立,不满足条件; 3
? a?0 , ?9 ? 4a(a ? 1) ? 0

当 a ? 0 时,设 f ( x) ? ax2 ? 3x ? a ?1 ,由于 f ( x) ? 0 恒成立,则有 ?

解得 a ?

1? 5 。 2


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