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2.1.1指数与指数幂的运算 课件9.30(人教A版必修1)


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数学 必修1

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2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

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自学导引
1.根式

a的n次方根 n>1 (1)一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做____________(
且 n∈N*).当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个____ 正数,负

负数 ,这时 a 的 n 次方根记为 数的 n 次方根是一个 ______ n a ________ ;当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根有两个,可用
n n ± a 根式 ,这里的 n 叫做 符号 ________ 表示,其中 a 叫 ________

根指数 ,a 叫做________ ________ 被开方数.

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n n n n a (2)当 n 为奇数时, a =______;当 n 为偶数时, a =
? ?a,a≥0, |____| a =? ? ?-a,a<0.

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2.分数指数幂

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n m a ________( a>0,m,n∈N*,n>1);

(1) 我 们 规 定 正 数 的 正 分 数 幂 的 意 义 是 : a =

m n

(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意 义相仿;我们规定 a- =________(a>0,m,n∈N*,
m n

n>1).

0 (3)0 的正分数指数幂等于________ ;0 的负分数指数幂
没有意义.

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3.有理指数幂的运算性质 ar+s (1)aras=________( a>0,r,s∈Q);
s (2)(ar)s=________( a>0,r,s∈Q); ar·

(3)(ab)r=________( a>0,b>0,r∈Q). arbr

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自主探究
( a) 与 an形式上类似,它们之间有区别吗? n n n n 【答案】( a) 与 a 这两个式子非常相似,但是差别很
大,我们一定要注意区别. (1)当 n 为大于 1 的奇数时, a对任意 a∈R 都有意义, 它表示 a 在实数范围内唯一的一个 n 次方根,( a)n=a. n n

n

n

n

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当 n 为大于 1 的偶数时,只有当 a≥0 时 a有意义,当 a<0 时无意义, a(a≥0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方 n n 根,另一个是- a,(± a) =a. n n

n

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n n (2)式子 a 对任意 a∈R 都有意义,当 n 为奇数时, a
n

n

=a,当 n 为偶数时, a

n

n

? ?a ?a≥0? =|a|=? ? ?-a ?a<0?

.

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预习测评
1.将 5 写为根式,则正确的是( A. 5 3
2
3 2

) 5

B.

3

5 3 C. 2

D. 53

【答案】D

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a2 2.式子 (a>0)经过计算可得到( 3 2 a· a A. a C. a 5
6

)

B.- a5 D. a5 6

6

【答案】D

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3.当 8<x<10 时, ?x-8?2+ ?x-10?2=________.
【答案】2
4.计算:(0.25)
-0.5

? 1 ?-1 +?27? 3-6250.25=________. ? ?

【答案】0

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要点阐释
1.关于根式( a) 与 an的理解 (1)( a)n=a(n>1,n∈N*,当 n 为奇数时,a∈R; 当 n 为偶数时,a≥0). 若 a<0,n 为偶数,则 a没有意义.如( -2)2≠-2. n n n
n

n

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n
? ?a,n为奇数, n a =? ? ?|a|,n为偶数

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(2)

(n>1,n∈N*).

当 n 为奇数时,∵an=an, ∴a 是 a 的 n 次方根,即 a= an; 当 n 为偶数时,(|a|)n=an≥0, ∴|a|是 a 的 n 次方根, 即 a 如 ?-2?4=2. 4
n n

n

n

n

? ?a,a≥0, =|a|=? ? ?-a,a<0.

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2.整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数r,s,均有 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R)(指数相加律);

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R)(指数相乘律);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中,底数大于0的要求.

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典例剖析
题型一 根式的性质 【例 1】 计算下列各式的值: (1) ?-4? ; (3) ?3-π? ; 3 6
6

3

3

(2) ?-9?2; (4) ?x-2?8;
3

4

8

(5) 3-2 2+ ?1- 2? + ?1- 2?4.

4

思路点拨:本题的求值实际上是求数的方根,可按方根的 运算性质来解.

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3 3

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3

解: (1) ?-4? = -64, 因为(-4) =-64, 所以 -64 =-4,即 ?-4?3=-4; (2) ?-9? = 81= 34=3; (3) ?3-π?6=|3-π|=π-3; (4) ?x-2? 8
8

3

3

3

4 6

2

4

4

? ?x-2 =|x-2|=? ? ?2-x

?x≥2? . ?x<2?

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(5)因为 3-2 2=( 2) -2 2+1=( 2-1) ,所以原 式= ?1- 2? + ?1- 2? + ?1- 2? = |1 - 2| +(1 - 2)+|1- 2|= 2-1+1- 2+ 2-1= 2-1.
2

2

2

3

3

4

4

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1.计算下列各式的值: ① ③ ④ ⑤ 3 3 3 n ?-8?3;② ?3-π?3; ?-8? + ? 3-2? - ?2- 3?3; ?x-π?n(x<π,n∈N*).
3

?-10?2;

4

4

3

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解:① ?-8?3=-8; ② ?-10?2=|-10|=10; ③ ?3-π?3=3-π; ④原式=-8+2- 3-(2- 3)=-8; ⑤ n
? ?π-x n ?x-π? =? ? ? x-π

3

3

?n为偶数,n∈N*?, ?n为奇数,n∈N*?.

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题型二

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根式与分数指数幂的互化

【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式: (1) (2) 1 a 1 3 x? x2?2 5 1 a(a>0); ;

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思路点拨:按指数幂的运算性质化简.

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2.用分数指数幂表示下列各式: 6 (1) a· -a(a<0); 3 (2) ab2? ab?3(a,b>0); 3

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题型三

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分数指数幂的运算

【例 3】 计算下列各式:

思路点拨:利用分数指数幂及运算法则进行根式的化简与 求值.

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方法点评:一般地,进行分数指数幂运算时,化负指数为 正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,这样便于进行 乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的.

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3.计算下列各式:

?1?-2 (3)?4? + ? ?

? 3+ 2 6? ?3 0? -(1.03) · . - ? 2? 3- 2 ? ?

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误区解密

因忽略 n 的奇偶导致 an化简出错

n

【例 4】 计算 ?1+ 2? + ?1- 2?4. 错解: ?1+ 2? + ?1- 2?4=(1+ 2)+(1- 2)=2. 3
3

3

3

4

4

错因分析:因为 4 ?1- 2?4≠1- 2.

4

?1- 2?4 >0 , 而 1 - 2 <0 , 所 以

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正解: ?1+ 2? + ?1- 2?4=(1+ 2)+|1- 2|=1+ 2+ 2-1=2 2.
纠错心得:对于根式 an的化简一定要注意 n 为奇数还 是偶数,因为 an=a(a∈R)成立的条件是 n 为正奇数,如果 n 为正偶数,那么 an=|a|. n n n

3

3

4

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课堂总结
1 .理解好方根的概念,是进行根式的计算和化简的关 键. 2.将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键.

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3.关于分数指数幂的运算常采用的思路: ①指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的,无括

号先进行指数运算(即先乘方、开方),再乘除后加减.负指数
幂化为正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小 数,先要化成分数,底数是带分数的,先要化成假分数,若是 根式,应化为分数指数幂,然后要尽可能用幂的形式表示,便 于用指数运算性质. ②关于常量字母,先化成同底的再运算;对于变量字母, 有时需要对字母进行讨论. ③除式的运算,用分母的“-1”次幂化为乘法运算.


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