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《圆锥曲线的参数方程》教学案


2.3《圆锥曲线的参数方程》教学案 一、教学目标: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识. 二、重难点: 教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法: 启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一)、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程. (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? x ? r cos ? ? y ? r sin ? ( ? 为参数) (2)圆(x ? x0 )2 ? ( y \ y0 )2 ? r 2 参数方程为: ? ? x ? x 0 ? r cos ? ? y ? y 0 ? r sin ? (? 为 参数) 2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程. 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二)、讲解新课: 1.椭圆的参数方程推导: 椭圆 x2 a2 ? y2 b2 ? 1 参数方程 数),参数 ? 的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹 角. 6 5 4 ? x ? a cos ? ( ? 为参 ? ? y ? b sin ? 3 A 2 1 M -8 -6 -4 -2 -1 O L1 2 N 4 6 8 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 2.双曲线的参数方程的推导:双曲线 ( ? 为参数) x2 a 2 ? y2 b 2 ? 1 参数方程 ? x ? a sec ? ? ? y ? b tan ? 2500 2000 Q P 1500 B 1000 500 A -4000 -3000 -2000 -1000 1000 2000 3000 M 4000 5000 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 参数 ? 几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角. 3.抛物线的参数方程:抛物线 y 2 -3500 ? x ? 2 Pt 2 (t为参数),t为 ? 2Px 参数方程 ? ? y ? 2 Pt 以抛物线上一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数. (1)、关于参数几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义. B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式, 它借助于中间变量把曲线上的动点的 两个坐标间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际 上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标. (3)、参数方程求法:(A)建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为 ( x, y ) ;(B)选 取适当的参数;(C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的 函数式;(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的 关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间 t 做参数;与旋转的有关问题 选取角 ? 做参数;或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 4、 椭圆的参数方程常见形式:

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