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江苏省南京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题

南京师大附中2017—2018学年度第一学期 高一年级期中试卷数学试卷 一、填空题:本大题共14分,每小题3分,共42分. 1.已知集合 A ? {2, m} B ? {2m,2} .若 A ? B ,则实数 m ? __________. 【答案】 0 【解析】由集合相等的性质,有 m ? 2 m , m ? 0 . 2.若幂函数 f ( x) ? x a 的图像过点 (2,4) ,则实数 a ? __________. 【答案】 2 【解析】将点坐标代入 f ( x) ? x a ,∵ 2 2 ? 4 ,∴ a ? 2 . 3.函数 y ? 2 x ? 1 的定义域为__________. ?1 ? 【答案】 ? , ?? ? ?2 ? 1 【解析】 2 x ? 1≥ 0 , x ≥ . 2 4.若集合 A ? {1,2,3} ,则集合 A 的子集个数为__________. 【答案】 8 【解析】记 n 是集合中元素的个数,集合 A 的子集个数为 2n ? 23 ? 8 个. 5.若函数 f ( x) ? x 2 ? ax 是偶函数,则 a ? __________. 【答案】 0 【解析】因为函数 f ( x) ? x 2 ? ax 是偶函数,所以 x 的一次项系数为 0 ,即 a ? 0 . 6.已知 lg2 ? a , lg3 ? b ,则 log3 6 ? __________(用含 a , b 的代数式表示). 【答案】 a?b b lg 6 lg 2 ? lg 3 a ? b ? ? . lg 3 lg 3 b 【解析】由换底公式, log 3 6 ? 7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f (?2) ? __________. 【答案】 ?3 【解析】 f (?2) ? ? f (2) ? ?(2 ? 1) ? ?3 . 8.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ,函数 y ? g ( x) 为一次函数,若 g ( f ( x)) ? 2x2 ? 4x ? 3 ,则 g ( x) ? __________. 【答案】 2 x ? 5 【解析】由题意,函数 y ? g ( x) 为一次函数, 由待定系数法,设 g ( x) ? kx ? b(k ? 0) , g ( f ( x)) ? k ( x2 ? 2x ? 1) ? b , 由对应系数相等,得 k ? 2 , b ? 5 . ?4 x , x ? 1 9.若函数 f ( x) ? ? ,则方程 f ( x) ? 2 所有的实数根的和为__________. ?5 ? x, x ≥1 【答案】 4 2 1 . 2 【解析】( 1 ) 4 x ? 2 , x ? ( 2)5? x ? 2 , x ? 3 . 10.设 a ? log 37 , b ? 21.1 , c ? 0.81.1 ,则 a , b , c 三者的大小关系是__________.(用“ ? ” 连接) 【答案】 c ? a ? b 【解析】∵ 1 ? log3 7 ? 2 , 21.1 ? 2 , 0 ? 0.81.1 ? 1 , ∴c? a ?b. 11.已知函数 f ( x) ? x log 2 x ? 3 的零点为 x0 ,若 x0 ? (n, n ? 1) , n ? Z ,则 n ? __________. 【答案】 2 【解析】由零点定理, f (2) ? 2log2 2 ? 3 ? ?1 , f (3) ? 3log 2 3 ? 3 , f (2) f (3) ? 0 . 12.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 在区间 [a, ??) 是增函数,则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 [?1, ??) 【解析】由绝对值函数的图像可得,区间左端点应该在 ?1 的右边. 13.已知函数 y ? f ( x) 是定义在区间 [ ?3,3] 上的偶函数,它在区间 [0,3] 上的图像是如图所示的 一条线段,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为__________. y 2 O 3 x ? 12 ? 【答案】 ? ?3, ? 7? ? 【解析】由题意,函数 f ( x) 过点 (0,2) , (3,0) , 2 ∴ y ? ? x ? 2. 3 又因为 f ( x) 是偶函数, 关于 y 轴对称,所以 f ( x) ? f (? x) ,即 2 f ( x) ? x . 又作出函数 [ ?3,3] 上的图像,当 x ? [?3,0) 的时候, y ? 2 f ( x) 的图像恒在 y ? x 的上方, 当 x ? [0,3] 的时候,令 2 f ( x) ? x , x ? 12 , 7 ? 12 ? 即当 x ? ? ?3, ? 时,满足 2 f ( x) ? x ,即 f ( x) ? f (? x) ? x . 7 ? ? 14.如图,过原点 O 的直线 AB 与函数 y ? log9 x 的图像交于 A , B 两点,过 A , B 分别作 x 轴 的垂线,与函数 y ? log3 x 的图像分别交于 D ,C 两点.若 BD 平行于 x 轴,则四边形 ABCD 的 面积为__________. y D A O C y=log9x B y=log9x x 3 【答案】 log3 2 2 【解析】因为点 D 和点 B 的纵坐标相等,设点 D 的横坐标为 a ,点 B 的横坐标为 b ,则有 log3 a ? log9 b . ∵ log3 a ? log9 a2 ,∴ b ? a 2 . 又 A(a,log9 a) , B(a 2 ,log9 a 2 ) 在一条过原点的直线上, ∴ a 2 log 9 a 2 ? ? 2 ,∴ a 2

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