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高中数学第2章指数函数对数函数和幂函数2.1指数函数命题与探究素材湘教版必修1

2.1 指数函数 问题探究 问题 1 指数函数的走势是由什么来决定的? 探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结. 应该明确是底数来决定指数函数的走势: (1)当 a>1 时,函数图象在第一象限的值随 a 值的增大而增大,图象越靠近 y 轴.如图 2-1-1 所示. (2)当 0<a<1 时,函数图象在第二象限的值随 a 值的增大而减小,图象越靠近 y 轴.如图 2-1-2 所示. 图 2-1-1 图 2-1-2 x 问题 2 对于指数函数 y=a (a>0 且 a≠1),有人总结出其底数 a 越接近 1,其图象就越接近 直线 y=1,你认为该结论成立吗? 探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出 x x x 函数 y=2 、y=3 和 y=5 的图象,根据图象能看出该结论是正确的. 典题精讲 例 1:计算下列各式: (1) 81? 9 4 2 3 ; 1 (2)(2 3 0 -2 1 ? 0.5 ) +2 ·(2 ) 2 -(0.01) . 5 4 思路分析: 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指 数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数. (1)解法一: 81? 9 2 4 2 3 = 9 ? (9 ) = 9 ? ? 9 ? (9 ) ? 9 2 4 2 3 1 2 4 2 1 3 4 7 3 7 1 3 4 7 12 ?3 . 7 6 解法二: 4 81? 9 3 = 4 81? 1 3 81 ? 4 6 817 ? 4 81? 6 81 ? 24 328 ? 6 37 ? 36 3. 3 0 -2 1 ? 0.5 (2)解:(2 ) +2 ·(2 ) 2 -(0.01) 5 4 1 4 1 2 =1+ ×( ) 2 -( ) 4 9 100 1 1 1 =1+ 1 2 1 16 ? . × 4 3 10 15 x x 例 2:指数函数①f(x)=m ;②g(x)=n 满足不等式 1>n>m>0,则它们的图象是( ) 图 2-1-3 思路解析: 此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲 线. 解法一:由 0<m<n<1 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 C 或 D,进而再判断①②与 n 和 m 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 x=1,①②对应的函数值分别为 m 和 n,由 m<n 可知应选 C. 图 2-1-4 解法二:只要按照题目条件的要求来取 m 和 n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是 正确的选项. 取 m= 1 1 ,n= 的草图(如图 2-1-4 所示),则见 m 在左上方,n 对应的图象在右下方,对应的选 3 2 项是 C. 答案:C 例 3:比较下列各题中两个值的大小: 2 3 -0.1 -0.2 (1)1.7 .5,1.7 ; (2)0.8 ,0.8 . 思路分析: x 此题考查指数函数的单调性.对 y=a ,当 0<a<1 时,函数为减函数;当 a>1 时,函数为增函数. 结合相应图象可顺利解题. 2.5 3 x 解:(1)1.7 与 1.7 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y=1.7 ,图象如图 2-1-6,当 x=2.5 和 3 x 2.5 3 时的函数值.因为 1.7>1,所以函数 y=1.7 在 R 上是增函数,而 2.5<3,所以 1.7 <1.7 . 2 图 2-1-6 图 2-1-7 x (2)0.8 与 0.8 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y=0.8 ,图象如图 2-1-7,当 x=-0.1 和 x -0.2 时的函数值 . 因为 0<0.8<1, 所以函数 y=0.8 在 R 上是减函数 , 而 -0.1>-0.2, 所以 -0.1 -0.2 0.8 <0.8 . 例 4:富兰克林(Benjamin Franklin,1706~1790)是美国著名的科学家、社会活动家,他的业 绩遍及十九个科技领域.“你热爱生命吗?那么别浪费时间,因为时间是组成生命的材料.” 就是这位科学家留下的名言.这位科学家死后只留下了一千英磅的遗产 ,然而他却留下了几 十万英磅的遗嘱,这份有趣的遗嘱内容是这样的: “……一千英磅赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托付 给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年 5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息. 这些钱过了 100 年增加到 131 000 英磅.我希望那时候用 100 000 英磅来建立一所公共建筑 物,剩下的 31 000 英磅拿去继续生息 100 年……” 请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗? 思路分析: 要想判断富兰克林的遗嘱能否实现,需计算 100 年后他留下的 1 000 英磅的本息和.这是一个 指数函数问题. x 解:设经过 x 年后这 1 000 英磅的本息和为 y,则有 y=1 000(1+5%) , 当 x=100 时,计算得 y=131 501.26. 因此,富兰克林的遗嘱能实现. 例 5:某债务市场发行三种债务券,P 种面值为 100 元,一年到期本息和为 103 元;Q 种面值为 50 元,半年到期本息和为 51.4 元;R 种面值为 97 元,一年到期本息和为 100 元,作为购买者, 分析三种债券的收益,从小到大的排列为( ) A.Q,P,R B.P,R,Q C.P,Q,R D.R,P,Q 思路解析: 设这三种面值的半年利率分别为 x、y、z,则按前面说的模型可知 2 2 100(1+x) =103,50(1+y)=51.4,97(1+z) =100. 经计算比较可知 y>z>x. 答案:B -0.1 -0.2 3

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