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最新广东省广州市高考数学二模(文科)试题及参考答案

试卷类型:A

广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟.

20xx.4

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上.
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式: 锥体的体积公式是V ? 1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.若复数 z 满足 i z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 等于

A. ?2 i

B. 2 i

C. ?2

? 2.已知集合 A ? ?0,1, 2,3?, B ? x x2 ? x ? 0 ? ,则集合 A

D. 2 B 的子集个数为

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

3.命题“对任意 x ?R,都有 x3 ? x2 ”的否定是

A.存在 x0 ?R,使得 x03 ? x02

B.不存在 x0 ?R,使得 x03 ? x02

C.存在 x0 ?R,使得 x03 ? x02

D.对任意 x ? R,都有 x3 ? x2

4. 下列函数中,既是偶函数又在 ?0, ??? 上单调递增的是

A. y ? x

B. y ? ?x2 ?1

C. y ? cos x

D. y ? x ?1

5.有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与1,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3 ,
将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是

A. 1 6

B. 1 3

6.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体

的体积为

A.12 ?

B. 6 ?

C. 4 ?

D. 2 ?

C. 1 2

7.设 Sn 是等差数列?an? 的前 n 项和,公差 d ? 0 ,

若 S11 ? 132, a3 ? ak ? 24 ,则正整数 k 的值为

A. 9 C.11

B.10 D.12

D. 3 8

3
4 正视图

3
2 侧视图

2
俯视图 图1

8.在△ ABC 中, ?ABC ? 60? , AB ? 1, BC ? 3, 则 sin ?BAC 的值为

A. 3 14

B. 3 3 14

C. 21 14

D. 3 21 14

9.设 F1, F2 分别是椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?b

? 0? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C

上,线段 PF1

的中点在 y 轴上,若 ?PF1F2 ? 30? ,则椭圆 C 的离心率为

A. 3 3

B. 3 6

C. 1 3

D. 1 6

10.将正偶数 2, 4, 6,8, 按表1的方式进行

排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若

aij ? 2014 ,则 i ? j 的值为

A. 257 C. 254

B. 256 D. 253

第1行 第2行 第3行 第4行 第5行


第1列
16 32


第2列
2 14 18 30 34


第3列
4 12 20 28 36


第4列
6 10 22 26 38


第5列
8
24
40


表1

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

11.不等式 ? x ?1?? x ? 2? ? 0 的解集为

.

12. 已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,若 DE ? 2EC,CF ? 2FB ,则 AE ? AF 的值



.

?2x ? y ? 2 ? 0,
13.设 x, y 满足约束条件 ??8x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by ?a ? 0,b ? 0? 的最大值
??x ? 0, y ? 0.

为 8 ,则 ab 的最大值为

.

(二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系

xOy

中,直线

?x

? ?

y

? ?

a t

?

t,

(t

为参数

)





?x

? ?

y

? 1? cos? ? sin?

,

(?

为参数

)

相切,切点在第一象限,则实数

a

的值为

.

15.(几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AB 上,且 A E? 1 E B,连接 DE, AC , AC 与 DE 相交于点 F ,若△ AEF 的面积为1 cm 2 ,则 2

△ AFD的面积为

cm 2 .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x? ?

2

cos

? ??

x

?

? 4

? ??



x

?

R

.

(1) 求函数 f ? x? 的最小正周期和值域;

(2)若?

?

? ??

0,

? 2

? ??

,且

f

??

?

?

1 2

,求 sin

2?

的值.

17.(本小题满分 12 分)
某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取 n 名学生的数 学成绩, 制成表 2 所示的频率分布表. (1) 求 a , b , n 的值;
(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生,并在这 6 名学生中随机抽取 2
名与张老师面谈,求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.

组号 分组

频数

第一组 ?90,100?

5

第二组 ?100,110? a

第三组 ?110,120? 30

第四组 ?120,130? 20

第五组 ?130,140? 10

合计

n

频率
0.05 0.35 0.30
b 0.10 1.00

表2

18.(本小题满分 14 分)
如图 2 ,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,EF ∥平面 ABCD ,

EF ?1, FB ? FC, ?BFC ? 90? , AE ? 3 , H 是 BC 的中点.

(1)求证: FH ∥平面 BDE ; (2)求证: AB ?平面 BCF ; (3)求五面体 ABCDEF 的体积.

E D

F C

H

A

图2

B

19.(本小题满分 14 分)
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ? n2 ? pn ? q( p, q ?R ) ,且 a2 , a3, a5 成等比数列. (1)求 p, q 的值;
(2)若数列?bn? 满足 an ? log2 n ? log2 bn ,求数列?bn? 的前 n 项和Tn .

20.(本小题满分 14 分)
已知函数 f ? x? ? ln x ? x2 ? ax , a ? R .
(1)若函数 f ? x? 在其定义域上为增函数,求 a 的取值范围;
(2)当 a ?1时,函数 g ? x? ? f ? x? ? x 在区间?t, ??? ( t ?N * ) 上存在极值,求 t 的最大
x ?1
值.
( 参考数值: 自然对数的底数 e ≈ 2.71828 )

21.(本小题满分 14 分)
已知点 A?2,1? 在抛物线 E : x2 ? ay 上,直线 l1 : y ? kx ?1(k ? R,且 k ? 0) 与抛物线 E
相交于 B,C 两点,直线 AB, AC 分别交直线 l2 : y ? ?1 于点 S,T . (1)求 a 的值; (2)若 ST ? 2 5 ,求直线 l1 的方程; (3)试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若
不是,说明理由.

广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C B A D A C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题.

11. ??1, 2? 12. 9 13. 4 14. 2 ?1 15. 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)

(1)解:∵ f ? x? ?

2

cos

? ??

x

?

? 4

? ??



∴ 函数 f ? x? 的最小正周期为 2? .

……………2 分



x

?

R,

cos

? ??

x

?

? 4

? ??

???1,1?



……………3 分



2

cos

? ??

x

?

? 4

? ??

?

???

2,

2 ?? .

∴ 函数 f ? x? 的值域为 ??? 2, 2 ?? .

(2)解法 1:∵ f ?? ? ? 1 ,
2



2

cos

????

?

? 4

? ??

?

1 2

.

……………4 分 ……………5 分
……………6 分



cos

????

?

? 4

? ??

?

2
.
4

……………7 分



sin 2?

?

?

cos

? ??

? 2

?

2?

? ??

……………9 分

?

1?

2

cos2

????

?

? 4

? ??

2

? ? 1? 2? ???

2? 4 ???

? 3. 4
解法 2:∵ f ?? ? ? 1 ,
2



2

cos

????

?

? 4

? ??

?

1 2

.

……………11 分 ……………12 分 ……………6 分



2

? ??

cos?

cos

? 4

?

sin ?

sin

? 4

? ??

?

1 2

.

……………7 分

∴ cos?

? sin?

?

1
.

2

……………8 分

两边平方得 cos2 ? ? 2cos? sin? ? sin2 ? ? 1 . 4

……………10 分

∴ sin 2? ? 3 . 4

……………12 分

17.(本小题满分 12 分)

(1) 解:依题意,得 5 ? 0.05, a ? 0.35, 20 ? b ,

n

n

n

解得,n ?100 ,a ? 35 ,b ? 0.2.

……………3 分

(2) 解:因为第三、四、五组共有 60 名学生,用分层抽样方法抽取 6 名学生,

则第三、四、五组分别抽取 30 ? 6 ? 3名, 20 ? 6 ? 2 名, 10 ? 6 ? 1名. …………6 分

60

60

60

第三组的 3 名学生记为 a1, a2 , a3 ,第四组的 2 名学生记为 b1, b2 ,第五组的1名学生记为 c1 ,

则从 6 名学生中随机抽取 2 名,共有15 种不同取法,具体如下: ?a1, a2? , ?a1, a3? ,

?a1,b1?,?a1,b2? ,?a1, c1?,?a2 , a3?,?a2 ,b1? ,?a2 ,b2? ,?a2 ,c1? ,

?a3,b1?,?a3,b2? ,?a3, c1?,?b1,b2? ,?b1,c1? ,?b2 , c1? .

……………8 分

其中第三组的 3 名学生 a1, a2, a 3 没有一名学生被抽取的情况共有 3 种,具体如下:

?b1,b2? ,?b1,c1?,?b2 , c1? .
故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为1? 3 ? 0.8 . 15
18.(本小题满分 14 分)

……………10 分 ……………12 分

(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O ,则点 O 是 AC 的中点,连接 OH, EO ,

∵ H 是 BC 的中点,

∴ OH ∥ AB ,OH ? 1 AB ? 1. 2

……………1 分

∵ EF ∥平面 ABCD , EF ? 平面 ABFE ,平面 ABCD 平面 ABFE ? AB ,

∴ EF ∥ AB . ∵ EF ?1,

……………2 分

E

F

∴ OH ∥ EF , OH ? EF . ∴四边形 EOHF 是平行四边形.

D

C

∴ EO ∥ FH , EO ? FH . ……………3 分

∵ EO ? 平面 BDE , FH ? 平面 BDE ,

∴ FH ∥平面 BDE .

……………4 分 A

O M

H B

(2)证法 1:取 AB 的中点 M ,连接 EM ,则 AM ? MB ?1,

由(1)知, EF ∥ MB ,且 EF ? MB ,

∴四边形 EMBF 是平行四边形.

∴ EM ∥ FB , EM ? FB .

……………5 分

在 Rt△ BFC 中, FB2 ? FC2 ? BC2 ? 4 ,又 FB ? FC ,得 FB ? 2 .

∴ EM ? 2 .

……………6 分

在△ AME 中, AE ? 3 , AM ?1, EM ? 2 ,

∴ AM 2 ? EM 2 ? 3 ? AE2 .

∴ AM ? EM . ∴ AM ? FB ,即 AB ? FB . ∵四边形 ABCD是正方形, ∴ AB ? BC . ∵ FB BC ? B , FB ?平面 BCF , BC ? 平面 BCF , ∴ AB ?平面 BCF . 证法 2:在 Rt△ BFC 中, H 为 BC 的中点, ∴ FH ? 1 BC ? 1.
2 在△ AEO 中, AE ? 3, AO ? 1 AC ? 2, EO ? FH ? 1,
2

∴ AO2 ? EO2 ? AE2 .

∴ AO ? EO .

……………5 分

……………7 分
……………8 分 ……………9 分

∵ FH ∥ EO , ∴ AO ? FH .

……………6 分

∵ FH ? BC, BC ? 平面 ABCD, AO ? 平面 ABCD , AO BC ? C , E

F

∴ FH ?平面 ABCD.

∵ AB ? 平面 ABCD,

D

∴ FH ? AB .

……………7 分

∵四边形 ABCD是正方形,

O

∴ AB ? BC .

……………8 分

A

∵ BC ?平面 BCF , FH ? 平面 BCF , BC FH ? H ,

B

∴ AB ?平面 BCF .

……………9 分

(3)解:连接 EC ,

在 Rt△ BFC 中, FH ? 1 BC ? 1, 2

∴ EO ? FH ?1.

由(2)知 AB ?平面 BCF ,且 EF ∥ AB ,

∴ EF ? 平面 BCF .

……………10 分

∵ FH ?平面 ABCD, EO ∥ FH ,

∴ EO ?平面 ABCD.

……………11 分

∴四棱锥

E

?

ABCD 的体积为V1

?

1 3

?

EO ?

S正方形ABCD

?

1 3

?1? 22

?

4 3

.

………12 分

? ? ∴三棱锥 E ? BCF 的体积为V2

?

1 3

?

EF

?

S?BCF

?

1 ?1? 1 ? 32

2 2 ? 1 . ………13 分 3

∴五面体

ABCDEF

的体积为V

? V1

? V2

?

5 3

.

……………14 分

19.(本小题满分 14 分)

C H

(1)解法 1:当 n ?1 时,a1 ? S1 ? 1? p ? q ,

……………1 分

当 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn?1

……………2 分

? n2 ? pn ? q ? ???n ?1?2 ? p ?n ?1? ? q?? ? 2n ?1? p . ………3 分

∵ {an } 是等差数列,

∴1? p ? q ? 2?1?1? p ,得 q ? 0 .

……………4 分

又 a2 ? 3 ? p, a3 ? 5 ? p, a5 ? 9 ? p , ∵ a2 , a3 , a5 成等比数列,
∴ a32 ? a2a5 ,即 ?5 ? p?2 ? ?3? p ??9? p ? ,
解得 p ? ?1.

……………5 分
……………6 分 ……………7 分

解法 2:设等差数列{an}的公差为 d ,



Sn

?

na1

?

n ?n ?1?
2

d

?

d 2

n2

?

? ??

a1

?

d 2

? ??

n

.

∵ Sn ? n2 ? pn ? q ,



d 2

? 1 , a1

?

d 2

?

p

,q

?

0.

∴ d ? 2 , p ? a1 ?1, q ? 0 .

∵ a2 , a3 , a5 成等比数列,

∴ a32 ? a2a5 ,
即 ?a1 ? 4?2 ? ?a1 ? 2??a1 ? 8? .

解得 a1 ? 0 .

∴ p ? ?1.

……………1 分 ……………4 分
……………5 分 ……………6 分 ……………7 分

(2)解法 1:由(1)得 an ? 2n ? 2 .

……………8 分

∵ an ? log2 n ? log2 bn ,

∴ bn ? n ? 2an ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .

……………9 分

? ? ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn?1 ? bn ? 40 ? 2? 41 ? 3? 42 ? ? n ?1 ? 4n?2 ? n? 4n?1,①

……………10 分

4Tn ? 41 ? 2?42 ? 3?43 ? ? ?n ?1?? 4n?1 ? n? 4n ,②

……………11 分

① ? ②得 ?3Tn ? 40 ? 41 ? 42 ?

? 4n?1

? n? 4n

? 1? 4n

? n ? 4n

?

?1? 3n? ? 4n

?1
.

1? 4

3

∴ Tn

?

1 9

???3n ?1?? 4n

?1??

.

……………13 分 ……………14 分

解法 2:由(1)得 an ? 2n ? 2 .

……………8 分

∵ an ? log2 n ? log2 bn ,

∴ bn ? n ? 2an ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .

……………9 分

? ? ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn?1 ? bn ? 40 ? 2? 41 ? 3? 42 ? ? n ?1 ? 4n?2 ? n? 4n?1.
……………10 分

由 x ? x2 ? x3 ? ? xn ? x ? xn?1 ? x ? 1? ,
1? x

……………11 分

两边对 x 取导数得, x0 ? 2x1 ? 3x2 ?

? nxn?1

?

nxn?1 ? ?n ?1? xn ?1? x?2

?1 . …………12 分

令 x ? 4 ,得 40 ? 2? 41 ? 3? 42 ?

∴ Tn

?

1 9

???3n

?1? ? 4n

?1??

.

20.(本小题满分 14 分)

?

?

n

?1?

?

4n?2

?

n

?

4n?1

?

1 9

???3n

?1?

?

4n

?

1??

.

……………14 分

(1)解法 1:函数 f ? x? 的定义域为 ?0, ???,

……………1 分

∵ f ? x? ? ln x ? x2 ? ax , ∴ f ?? x? ? 1 ? 2x ? a .
x
∵ 函数 f ? x? 在 ?0, ???上单调递增,

……………2 分

∴ f ?? x? ? 0 , 即 1 ? 2x ? a ? 0 对 x??0, ??? 都成立.
x
∴ ?a ? 1 ? 2x 对 x ??0, ??? 都成立.
x

……………3 分 ……………4 分

当 x ? 0 时, 1 ? 2x ? 2 1 ? 2x ? 2 2 , 当且仅当 1 ? 2x , 即 x ? 2 时,取等号.

x

x

x

2

……………5 分

∴ ?a ? 2 2 , 即 a ? ?2 2 .

? ∴ a 的取值范围为 ???2 2, ?? .

……………6 分

解法 2:函数 f ? x? 的定义域为 ?0, ???,

……………1 分

∵ f ? x? ? ln x ? x2 ? ax , ∴ f ?? x? ? 1 ? 2x ? a ? 2x2 ? ax ?1 .……………2 分

x

x

方程 2x2 ? ax ?1 ? 0 的判别式 ? ? a2 ? 8 .

……………3 分

① 当 ? ? 0 , 即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, 2x2 ? ax ?1 ? 0 ,
此时, f ?? x? ? 0 对 x??0, ??? 都成立,

故函数 f ? x? 在定义域 ?0, ???上是增函数.

……………4 分

② 当 ? ? 0 , 即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时, 要使函数 f ? x? 在定义域 ?0, ??? 上为

增函数, 只需 2x2 ? ax ?1 ? 0 对 x ??0, ??? 都成立.

?h?0? ? 1 ? 0,

设 h? x? ? 2x2 ? ax ?1,



? ? ???

a 4

? 0,

得a ?0.

故a?2 2.

? 综合①②得 a 的取值范围为 ???2 2, ?? .

(2)解:当 a ?1时,

g?x? ?

f ?x?

ln x ? x2 ? x

ln x

?x?

?x? .

x ?1

x ?1

x ?1

1? 1 ? l nx

g??x? ?

x
? x ?1?2

.

……………5 分 ……………6 分
……………7 分

∵ 函数 g ? x? 在?t, ??? ( t ?N * ) 上存在极值,

∴ 方程 g?? x? ? 0 在?t, ??? ( t ?N * ) 上有解,

即方程1? 1 ? ln x ? 0 在?t, ??? ( t ?N * ) 上有解.
x

……………8 分

令??x? ?1?

1 ? ln x ? x ? 0? ,
x

由于 x ? 0 ,

则???x? ? ?

1 x2

?

1 x

? 0,

∴函数? ? x? 在 ?0, ???上单调递减.

……………9 分

∵? ?3? ? 4 ? ln 3 ? 1 ln e4 ? 1 ln 2.54 ? 0 ,

3

3 27 3 27

……………10 分

? ?4? ? 5 ? ln 4 ? 1 ln e5 ? 1 ln 35 ? 0 ,

4

4 256 4 256

∴函数? ? x? 的零点 x0 ??3, 4? .

∵方程? ? x? ? 0 在?t, ??? (t ? N * ) 上有解, t ?N *
∴t ?3. ∵ t ?N * , ∴ t 的最大值为 3 .

……………11 分 ……………12 分 ……………13 分 ……………14 分

21.(本小题满分 14 分)
(1)解:∵点 A?2,1? 在抛物线 E : x2 ? ay 上, ∴ a ? 4 .
第(2)、(3)问提供以下两种解法:
解法 1:(2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y .

……………1 分

设点 B,C 的坐标分别为 ? x1, y1 ?,? x2, y2 ? ,依题意, x12 ? 4 y1, x22 ? 4 y2 ,



?y ? kx ?1, ??x2 ? 4y,

消去

y



x2

?

4kx

?

4

?

0



解得

x1,2

?

4k

?

4 2

k2

?1

?

2k

?

2

k2 ?1 .

∴ x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? ?4 .

……………2 分

直线 AB 的斜率 kAB

?

y1 ?1 x1 ? 2

?

x12 ?1 4? x1 ? 2

x1 ? 2 4



故直线 AB 的方程为 y ?1 ? x1 ? 2 ? x ? 2? .
4

……………3 分



y

?

?1,得

x

?

2

?

x1

8 ?

2

,∴点

S

的坐标为

? ? ?

2

?

8 x1 ?

2

,

? ?1?
?

.

……………4 分

同理可得点 T

的坐标为

? ? ?

2

?

8 x2 ?

2

,

? ?1?
?

.

……………5 分

∴ ST

?

8 ? 8?

2

?

x1

?

2

?

? ?

2

?

x2

?

2

? ?

?

8? x1 ? x2 ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

?

8? x1 ? x2 ? x1x2 ? 2? x1 ? x2 ? ? 4

?

8? x1 ? x2 ?
8k

?

x1 ? x2 k

.

……………6 分

∵ ST ? 2 5 , ∴ x1 ? x2 ? 2 5 k .
由 x1 ? x2 2 ? ? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ,得 20k 2 ? 16k 2 ?16 ,
解得 k ? 2 , 或 k ? ?2 , ∴直线 l1 的方程为 y ? 2x ?1,或 y ? ?2x ?1.

…………… 7 分 ……………9 分

(3)设线段 ST 的中点坐标为 ? x0, ?1? ,



x0

?

1 2

? ? ?

2

?

8 x1 ? 2

?

2?

8 x2 ?

2

? ? ?

?

2?

4? x1 ? x2 ? 4? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

4?4k ? 4?

4?4k ? 4? 2

? 2?

? 2?

?? .

x1x2 ? 2? x1 ? x2 ? ? 4

8k

k

……………10 分

? ? 而

ST

2

?

? x1 ? x2 ?2
k2

?

?

x1

?

?x2 2
k2

?

4x1x2

16 ?

k2 ?1 k2



……………11 分

? ? ∴以线段 ST

为直径的圆的方程为

? ??

x?

2 k

2
? ??

? ? y ?1?2

?

1 4

ST

2

?

4

k2 ?1 k2

.

? ? 展开得 x2 ? 4 x ? ? y ?1?2 ? 4 k

k2 ?1 k2

?4 k2

? 4.

……………12 分

令 x ? 0 ,得 ? y ?1?2 ? 4 ,解得 y ? 1或 y ? ?3 .

……………13 分

∴以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ?0,1?,?0, ?3? .

……………14 分

解法 2:(2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y .

设直线 AB 的方程为 y ?1 ? k1 ? x ? 2? ,点 B 的坐标为 ? x1, y1 ? ,



? ? ?

y y

?1 ? k1 ? ?1,

?

x

?

2?

,

解得

? ? ? ??

x y

? ?

2? ?1.

2 k1

,

∴点

S

的坐标为

? ? ?

2

?

2 k1

,

? ?1?
?

.



?y ?1

? ?

x

2

?

? k1 4 y,

?

x

?

2?,

消去

y

,得

x2

?

4k1x

?

8k1

?

4

?

0



……………2 分

即 ? x ? 2?? x ? 4k1 ? 2? ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? 4k1 ? 2 .



x1

?

4k1

?

2



y1

?

1 4

x12

?

4k12

?

4k1

?1.

? ? ∴点 B 的坐标为 4k1 ? 2, 4k12 ? 4k1 ?1 .

……………3 分

同理,设直线 AC 的方程为 y ?1 ? k2 ? x ? 2? ,

? ? 则点T

的坐标为

? ? ?

2

?

2 k2

,

? ?1?
?

,点

C

的坐标为

4k2 ? 2, 4k22 ? 4k2 ?1

. …………4 分

∵点 B,C 在直线 l1 : y ? kx ?1上,

? ? ? ? ? ? ∴ k ?

4k22 ? 4k2 ?1 ? 4k12 ? 4k1 ?1
?4k2 ? 2? ? ?4k1 ? 2?

?

? ? k22 ? k12 ? k2 ? k1
k2 ? k1

? k1 ? k2 ?1 .

∴ k1 ? k2 ? k ?1.

……………5 分

又 4k12 ? 4k1 ?1 ? k ?4k1 ? 2? ?1,得 4k12 ? 4k1 ? 4kk1 ? 2k ? 4?k1 ? k2 ?1? k1 ? 2k ,

化简得

k1k2

?

k 2

.

……………6 分

ST

?

? ? ?

2

?

2 k1

? ? ?

?

? ? ?

2

?

2 k2

? ? ?

?

2?k1 ? k2 ?
k1k2



……………7 分

∵ ST ? 2 5 ,

∴ 2?k1 ? k2 ? ? 2 5 .
k1k2
∴ ?k1 ? k2 ?2 ? 5?k1k2 ?2 .
由 ?k1 ? k2 ?2 ? ?k1 ? k2 ?2 ? 4k1k2 ? 5?k1k2 ?2 ? 4k1k2 , 得 ?k ?1?2 ? 5 k 2 ? 2k ,
4 解得 k ? ?2 . ∴直线 l1 的方程为 y ? 2x ?1,或 y ? ?2x ?1.

……………8 分 …………… 9 分

(3)设点 P? x, y? 是以线段 ST 为直径的圆上任意一点,

则 SP ?TP ? 0 ,



? ? ?

x

?

2

?

2 k1

? ? ?

? ? ?

x

?

2

?

2 k2

? ? ?

?

?

y

?1?

?

y

?1?

?

0



整理得, x2 ? 4 x ? 4 ? ? y ?1?2 ? 0 .
k

令 x ? 0 ,得 ? y ?1?2 ? 4 ,解得 y ? 1或 y ? ?3 .

∴ 以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ?0,1?,?0, ?3? .

……………10 分 ……………11 分 ……………12 分 ……………13 分 ……………14 分