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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(四十三) 7.4垂直关系


课时提升作业(四十三)
垂 直 关 系 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. 在空间中 ,l,m,n,a,b 表示直线 , α 表示平面 , 则下列命题正确的是 ( ) 60 分)

A.若 l∥α ,m⊥l,则 m⊥α B.若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n C.若 a⊥α ,a⊥b,则 b∥α D.若 l⊥α ,l∥a,则 a⊥α 【解析】 选 D.对于 A,m 与α位置关系不确定,故 A 错,对于 B,当 l 与 m,m 与 n 为异面垂直时,m 与 n 可能异面或相交,故 B 错,对于 C,也可能 b α, 故 C 错,对于 D,由线面垂直的定义可知正确. 2.(2015·南昌模拟)若 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的 平面,则下列命题中的真命题是 ( A.若 m β ,α ⊥β ,则 m⊥α B.若α ∩γ =m,β ∩γ =n,m∥n,则α ∥β C.若 m⊥β ,m∥α ,则α ⊥β D.若α ⊥γ ,α ⊥β ,则β ⊥γ 【解析】选 C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一 平面垂直,故 A 为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知 B 为假命题;若 α⊥γ,α⊥β,则β与γ相交,或β∥γ,故 D 为假命题;若 m∥α,则 )

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α中必存在直线 l 与 m 平行,又 m⊥β,所以 l⊥β,故α⊥β,故选 C. 3.设 a,b,c 是三条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的一 个充分条件是 ( A.a⊥c,b⊥c B.α ⊥β ,a α ,b β C.a⊥α ,b∥α D.a⊥α ,b⊥α 【解析】选 C.对于选项 C,在平面α内存在 m∥b,因为 a⊥α,所以 a⊥ m,故 a⊥b;A,B 选项中,直线 a,b 可能是平行直线,相交直线,也可能是 异面直线;D 选项中一定推出 a∥b. 4.如图,在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个 结论不成立的是 ( ) )

A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC 【解析】选 D.因 BC∥DF,DF 平面 PDF,BC?平面 PDF,所以 BC∥平面 PDF,A 成立;易证 BC⊥平面 PAE,BC∥DF,所以结论 B,C 均成立;点 P 在底 面 ABC 内的射影为 △ABC 的中心,不在中位线 DE 上,故结论 D 不成立.
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5.如图所示,AB 是☉O 的直径,VA 垂直于☉O 所在的平面,点 C 是圆周上 不同于 A,B 的任意一点,M,N 分别为 VA,VC 的中点,则下列结论正确的是 ( )

A.MN∥AB B.MN 与 BC 所成的角为 45° C.OC⊥平面 VAC D.平面 VAC⊥平面 VBC 【解题提示】根据题设条件逐个结论验证,作出判断. 【解析】 选 D.对于 A,MN 与 AB 异面,故 A 错,对于 B,可证 BC⊥平面 VAC, 故 BC⊥MN,所以所成的角为 90°,因此 B 错;对于 C,OC 与 AC 不垂直,所 以 OC 不可能垂直平面 VAC,故 C 错;对于 D,由于 BC⊥AC,因为 VA⊥平面 ABC,BC 平 面 ABC, 所 以 VA ⊥ BC, 因 为 AC ∩ VA=A, 所 以 BC ⊥ 平 面

VAC,BC 平面 VBC,所以平面 VAC⊥平面 VBC,故 D 正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·厦门模拟)如图所示,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的是 (填序号).

①平面 ABC⊥平面 ABD;
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②平面 ABC⊥平面 BCD; ③平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE; ④平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE. 【解析】 由 AB=CB,AD=CD,E 为 AC 中点,知 AC⊥DE,AC⊥BE,又 DE∩BE=E, 从而 AC⊥平面 BDE,故③正确. 答案:③ 【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选. 7.(2015· 合肥模拟)设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,给出下 列命题 ①若 l⊥α ,则 l 与α 相交; ②若 m∥α ,n∥α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α ; ③若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α ; ④若 l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则 l∥n. 其中正确命题的序号为 .

【解析】由于垂直是直线与平面相交的特殊情况,故①正确;由于不能 判断 m,n 一定相交,故②不正确;根据平行线的传递性,故 l∥n,又 l⊥α, 故 n⊥α,从而③正确;由 m⊥α,n⊥α知 m∥n,故 l∥n,故④正确. 答案:①③④ 8.设 P 是 60°的二面角α -l-β 内一点,PA⊥α ,PB⊥β ,A,B 分别为垂 足,PA=2,PB=4,则 AB 的长是 .

【解析】如图所示,PA 与 PB 确定平面γ,设平面γ与 l 交于点 E,则 BE ⊥ l,AE⊥ l,所以∠ BEA 即为二面角的平面角 ,所以∠ BEA=60 ° ,从而∠

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BPA=120 ° ,在△ BAP 中 ,由余弦定理 ,得 AB2=PA2+PB2-2PA· PB· cos∠ BPA=4+16+8=28.所以 AB=2 .

答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2013· 北京高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:

(1)PA⊥底面 ABCD. (2)BE∥平面 PAD. (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 【证明】(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,交线为 AD,PA⊥AD,所以 PA⊥平 面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,E 为 CD 中点,CD=2AB, 所以 AB∥DE 且 AB=DE, 所以四边形 ABED 为平行四边形,所以 BE∥AD. 又因为 AD 平面 PAD,BE?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而平面 PAD⊥平面 ABCD,交线 AD,
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所以 BA⊥平面 PAD, 因为 AB∥CD,所以 CD⊥平面 PAD,所以 CD⊥PD 且 CD⊥AD, 又因为在平面 PCD 中,EF∥PD(三角形的中位线),于是 CD⊥FE 因为在平面 ABCD 中,由(2),BE∥AD,于是 CD⊥BE. 因为 FE∩BE=E,FE 平面 BEF,BE 平面 BEF, 所以 CD⊥平面 BEF, 又因为 CD 平面 PCD,所以平面 BEF⊥平面 PCD. 10.(2015 · 厦 门 模 拟 ) 如 图 1, 已 知 ABCD 为 平 行 四 边 形 , ∠ A=60°,AF=2FB,AB=6,点 E 在 CD 上,EF∥BC,BD⊥AD,BD 与 EF 相交于 N. 现将四边形 ADEF 沿 EF 折起,折后如图 2,满足平面 ABCD⊥平面 BCEF. (1)求证:BD⊥EF. (2)求三棱锥 D-NBF 的体积.

【解析】 (1)由 BD⊥AD,EF∥BC,ABCD 为平行四边形,得 BN⊥EF,DN⊥EF, 由 BN 交 DN 于 N, 所以 EF⊥平面 DNB, 所以 EF⊥BD. (2)由 EF⊥BD,EF∥BC,则 BD⊥BC, 因为平面 ABCD⊥平面 BCEF,所以 BD⊥平面 BCEF, 所以 D 到平面 BNF 的距离等于 BD,

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所以 VD-BNF= S△BNF·BD= , 即所求三棱锥的体积为 . 【加固训练】(2015·太原模拟)在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8.现沿 对角线 BD 把△ABD 折起,折起后使∠ADC 的余弦值为 . (1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD. (2)若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 A-MCD 的体积.

【解析】 (1)在菱形 ABCD 中,记 AC,BD 的交点为 O,AD=5,OA=4,所以 OD=3, 翻折后变成三棱锥 A-BCD, 在△ ACD 中 ,AC2=AD2+CD2-2AD · CD · cos ∠ ADC=25+25-2×5× 5× =32,在△AOC 中,OA2+OC2=32=AC2,

所以∠AOC=90°,即 AO⊥OC,又 AO⊥BD,OC∩BD=O,所以 AO⊥平面 BCD, 又 AO 平面 ABD,所以平面 ABD⊥平面 CBD. (2) 因为 M 是 AB 的中点 , 所以 A,B 到平面 MCD 的距离相等 , 所以 VA-MCD=VB-MCD= VA-BCD= S△BCD·AO=8.

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(20 分钟

40 分)

1.(5 分)(2015·蚌埠模拟)在空间内,设 l,m,n 是三条不同的直线,α , β ,γ 是三个不同的平面,则下列命题中为假命题的是 ( A.α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,则 l⊥γ B.l∥α ,l∥β ,α ∩β =m,则 l∥m C.α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥m,则 l∥n D.α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ⊥β 或α ∥β 【解析】选 D.对于 A,因为如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那 么它们的交线垂直于第三个平面,所以该命题是真命题;对于 B,因为如 果要一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线,所 以该命题是真命题;对于 C,因为如果三个平面两两相交,有三条交线, 那么这三条交线交于一点或相互平行,所以该命题是真命题;对于 D,当 两个平面同时垂直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行, 所以 D 是假命题.综上所述,选 D. 【加固训练】(2015·太原模拟)已知α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两 条不同的直线,则下列命题中不正确的是 A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α B.若 m⊥α ,m β ,则α ⊥β C.若 m⊥β ,m⊥α ,则α ∥β D.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n 【解析】 选 D.选项 A 是线面垂直的性质定理;选项 B 是两个平面垂直的 判定定理;选项 C 是两个平面平行的判定方法之一;选项 D 中,若 m∥α, ( ) )

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α∩β=n,则只能得到 m,n 没有公共点,于是 m∥n 或 m,n 异面. 2.(5 分)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列命 题:

①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是 .

【解题提示】根据题设条件逐个验证命题的真伪,从而作出判断. 【解析】连接 BD 交 AC 于 O,连接 DC1 交 D1C 于 O1,连接 OO1,则 OO1∥BC1,

所以 BC1∥平面 AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变,所以三棱锥 P-AD1C 的体积不变. 又 = ,所以①正确.

因为平面 A1C1B∥平面 AD1C,A1P 平面 A1C1B,所以 A1P∥平面 ACD1,②正 确. 由于当点 P 在 B 点时,DB 不垂直于 BC1 即 DP 不垂直 BC1,故③不正确;由
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于 DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以 DB1⊥平面 AD1C.DB1 平面 PDB1, 所以平面 PDB1⊥平面 ACD1,④正确. 答案:①②④ 3.(5 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线 段 AA1 上,当 AF= 时,CF⊥平面 B1DF.

【解析】由题意易知 B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF, 只需 CF⊥DF 即可.令 CF⊥DF,设 AF=x, 则 A1F=3a-x. 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D,得 即 =, = ,

整理得 x2-3ax+2a2=0,解得 x=a 或 x=2a. 答案:a 或 2a 4.(12 分)(2015· 商洛模拟)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分别为 BB1,AC 的中点.

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(1)求证:BF∥平面 A1EC. (2)求证:平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 【证明】(1)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OE,OF,

在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 四边形 ACC1A1 为平行四边形,所以 OA=OC1. 又因为 F 为 AC 中点, 所以 OF∥CC1 且 OF= CC1. 因为 E 为 BB1 中点, 所以 BE∥CC1 且 BE= CC1. 所以 BE∥OF 且 BE=OF,所以四边形 BEOF 是平行四边形,所以 BF∥OE. 又 BF?平面 A1EC,OE 平面 A1EC, 所以 BF∥平面 A1EC. (2)由(1)知 BF∥OE,因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC,所以 OE⊥ AC. 又因为 AA1⊥底面 ABC,而 BF 底面 ABC, 所以 AA1⊥BF.

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由 BF∥OE,得 OE⊥AA1,而 AA1,AC 平面 ACC1A1,且 AA1∩AC=A, 所以 OE⊥平面 ACC1A1, 因为 OE 平面 A1EC, 所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 5.(13 分)(能力挑战题)如图,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形, △ PAD 为 等 腰 三 角 形 , 且 PA ⊥ PD, 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD, 且 AB=1,AD=2,E,F 分别为 PC 和 BD 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAD. (2)证明:平面 PDC⊥平面 PAD. (3)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【解析】(1)如图,连接 AC, 因为四边形 ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, 所以 F 也是 AC 的中点. 又 E 是 PC 的中点,EF∥AP. 因为 EF?平面 PAD,PA 平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD, CD⊥AD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以直线 CD⊥平面 PAD,又 PA 平面 PAD, 所以 PA⊥CD, 又 PA⊥PD,PD,CD 是相交直线,
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所以 PA⊥平面 PCD, 又 PA 平面 PAD,平面 PDC⊥平面 PAD. (3)取 AD 中点为 O,连接 PO,△PAD 为等腰直角三角形,所以 PO⊥AD, 因为平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以,PO⊥平面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高. 由 AD=2 得 PO=1,又 AB=1, 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V= PO·AB·AD= .

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