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专题15 三角恒等变换 -2018年全国2卷理科数学高考模拟题分类汇编

专题 15 三角恒等变换 【母题原题 1】 【2018 课标 2 卷理 15 题】已知 【答案】 , ,则 __________. ?π ? 3 【母题原题 2】 【2016 课标 II,理 9】若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin 2? =( 4 ? ? 5 ). A. 7 25 B. 1 5 C. ? 1 5 D. ? 7 25 【答案】D 3 ?π ? 3 2 3 【解析】 因为 cos ? ? ? ? ? , 所以 cos? ? sin ? = 2 ,两边平方 ? cos? ? sin ? ? ? , 5 ?4 ? 5 2 5 得,. 1+sin 2? ? 18 7 ? sin 2? ? .故选 D. 25 25 【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识,考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】 一般以小题的形式考查,主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度,考查方程思想和 运算求解能力 【答题模板】解答本类题目,以 2018 年试题为例,一般考虑如下三步: 第一步:结合目标代数式和同角三角函数关系式分析; 第二步:将两个方程平方相加; 第三步:得结论。 【方法总结】 1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式,知其结构特征仅是第一层面要求,重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵. 如 1±sin2α =(sinα ±cosα ) 有并项的功能, cos2α =cos α -sin α 有升幂的功能, sin2α = 2sinα cosα 有将角由大化小的功能,两角和与差的正切公式,揭示的是同名不同角的正切函数的关系 2 2 2 等. 2.余弦的差角公式是本节公式之源,掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的. 3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明.对于有条件的恒等证明,需要注意的问题有 二:一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异,探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法;二是充 分利用条件,特别是将条件变形整理后使用. 4.熟知一些恒等变换的技巧 (1)公式的正用、逆用及变形用. (2)熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的,如 2α =(α +β )+(α -β ),α =(α +β )-β α 2α α α =(α -β )+β , 是 的半角, 是 的倍角等. 3 3 2 4 (3)在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数“1”的各 π 2 2 种变形,例如:1=tan ,1=sin α +cos α 等. 4 (4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次 降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的. 总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到使角 相同;通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名 );通过对式子变形,达到化简(尽可能整式 化、低次化、有理化);通过幂的升降,达到幂的统一. 1. 【2019 江西都昌县第一中调研】已知 A. 【答案】C 【解析】 ,故选 C. 2. 【2018 福建省莆田第九中学模拟】若 A. 【答案】C 【解析】 B. C. D. 0 ,则 B. C. D. ,则 () ( ) . 故答案为:C. 3.已知 A. 【答案】B B. ,则 C. D. ( ) 4. 【2018 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中模拟】已知 A. 【答案】B B. C. D. ,则 =( ) 【解析】分析:首先根据差角公式将题中所给的式子拆开,化简得到 得 详解:因为 将式子两边平方得 所以 5.若 A. 【答案】C ,故选 B. ,且 B. C. ,则 D. ( ) ,利用正弦的倍角公式求得结果. ,所以 , , ,之后将其平方,求 6. 【江西师大附中 2018 届高三年级测试】已知 A. 【答案】B 【解析】 分析: 根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出 cos (α + ],利用两角差的正弦公式计算求得结果. 详解:∵ ∴ , , )=﹣ ,或 (舍) )cos +cos( )sin B. C. D. 或 ,则 ( ) ) 的值, 再根据 sinα =sin[ (α ) ∈( ,π ) ,∴cos( )+ ]=sin( , ∴sinα =sin[( = = 故选:B. 7. 【湖北省华中师范大学第一附属中学 2018 届高三 5 月押题】已知 A. 【答案】A 【解析】分析:利用余弦的二倍角公式可得 ,转化成正切,然后把 的值代入即可. ,进而利用同角三角基本关系,使其除以 B. C. D. ,则 ( ) 详解:由题意得 . ∵ ∴ 故选 A. 8. A. 【答案】B ,则 B. C. ( ) D. 9. 【2018 安徽省江南十校高三冲刺联考】 为第三象限角, A. 【答案】B 【解析】分析:先由两角和的正切公式求出 详解:由 ,得 B. C. D. ,则 ( ) ,再利用同角三角函数基本关系式进行求解. , 由同角三角函数基本关系式,得 , 解得 又因为 为第三象限角, 所以 则 10. A. 【答案】D 【解析】 【分析】 B. . 的值为 C. D. , 11. 【河北省唐山市 2017—2018 学年度高三年级第三次模拟】已知 A. 【答案】D 【解析】分析:利用“拆角”技巧可得 详解: , B. C. D. ,则 ( ) ,利用两角差的正切公式可得结果. ,故选 D.

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