专题15 三角恒等变换 -2018年全国2卷理科数学高考模拟题分类汇编

专题 15 三角恒等变换 【母题原题 1】 【2018 课标 2 卷理 15 题】已知 【答案】 ， ，则 __________． ?π ? 3 【母题原题 2】 【2016 课标 II，理 9】若 cos ? ? ? ? ? ，则 sin 2? =( 4 ? ? 5 ). A. 7 25 B. 1 5 C. ? 1 5 D. ? 7 25 【答案】D 3 ?π ? 3 2 3 【解析】 因为 cos ? ? ? ? ? ， 所以 cos? ? sin ? = 2 ，两边平方 ? cos? ? sin ? ? ? ， 5 ?4 ? 5 2 5 得，. 1+sin 2? ? 18 7 ? sin 2? ? .故选 D． 25 25 【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】 一般以小题的形式考查，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和 运算求解能力 【答题模板】解答本类题目,以 2018 年试题为例,一般考虑如下三步： 第一步：结合目标代数式和同角三角函数关系式分析； 第二步：将两个方程平方相加； 第三步：得结论。 【方法总结】 1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵． 如 1±sin2α ＝(sinα ±cosα ) 有并项的功能， cos2α ＝cos α －sin α 有升幂的功能， sin2α ＝ 2sinα cosα 有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系 2 2 2 等． 2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的． 3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有 二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充 分利用条件，特别是将条件变形整理后使用． 4．熟知一些恒等变换的技巧 (1)公式的正用、逆用及变形用． (2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如 2α ＝(α ＋β )＋(α －β )，α ＝(α ＋β )－β α 2α α α ＝(α －β )＋β ， 是 的半角， 是 的倍角等． 3 3 2 4 (3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各 π 2 2 种变形，例如：1＝tan ，1＝sin α ＋cos α 等． 4 (4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次 降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的． 总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角 相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名 )；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式 化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一． 1． 【2019 江西都昌县第一中调研】已知 A． 【答案】C 【解析】 ，故选 C. 2． 【2018 福建省莆田第九中学模拟】若 A． 【答案】C 【解析】 B． C． D． 0 ，则 B． C． D． ，则 （） （ ） . 故答案为：C. 3．已知 A． 【答案】B B． ，则 C． D． （ ） 4． 【2018 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中模拟】已知 A． 【答案】B B． C． D． ，则 =（ ) 【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到 得 详解：因为 将式子两边平方得 所以 5．若 A． 【答案】C ，故选 B. ，且 B． C． ，则 D． （ ） ，利用正弦的倍角公式求得结果. ，所以 ， ， ，之后将其平方，求 6． 【江西师大附中 2018 届高三年级测试】已知 A． 【答案】B 【解析】 分析： 根据角的范围利用同角三角函数的基本关系求出 cos （α + ]，利用两角差的正弦公式计算求得结果． 详解：∵ ∴ ， ， ）=﹣ ，或 （舍） ）cos +cos（ ）sin B． C． D． 或 ，则 （ ） ） 的值， 再根据 sinα =sin[ （α ） ∈（ ，π ） ，∴cos（ ）+ ]=sin（ ， ∴sinα =sin[（ = = 故选：B． 7． 【湖北省华中师范大学第一附属中学 2018 届高三 5 月押题】已知 A． 【答案】A 【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得 ，转化成正切，然后把 的值代入即可． ，进而利用同角三角基本关系，使其除以 B． C． D． ，则 （ ） 详解：由题意得 . ∵ ∴ 故选 A. 8． A． 【答案】B ，则 B． C． （ ） D． 9． 【2018 安徽省江南十校高三冲刺联考】 为第三象限角， A． 【答案】B 【解析】分析：先由两角和的正切公式求出 详解：由 ，得 B． C． D． ，则 （ ） ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． ， 由同角三角函数基本关系式，得 ， 解得 又因为 为第三象限角， 所以 则 10． A． 【答案】D 【解析】 【分析】 B． ． 的值为 C． D． ， 11. 【河北省唐山市 2017—2018 学年度高三年级第三次模拟】已知 A． 【答案】D 【解析】分析：利用“拆角”技巧可得 详解： ， B． C． D． ，则 （ ） ，利用两角差的正切公式可得结果. ，故选 D.