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2010年全国高中数学联赛一试试题及答案


2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其 他中间档次。

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 函数 f ( x) =

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 [?3, 3 ] .

解:易知 f ( x) 的定义域是 [5,8] ,且 f ( x) 在 [5,8] 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为 [?3, 3 ] . 2. 已知函数 y = ( a cos x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 ?
2

3 ≤ a ≤ 12 . 2

解:令 sin x = t ,则原函数化为 g (t ) = ( ?at + a ? 3)t ,即
2

g (t ) = ?at 3 + (a ? 3)t .


? at 3 + (a ? 3)t ≥ ?3 , ? at (t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ≥ 0 ,

(t ? 1)(? at (t + 1) ? 3) ≥ 0 及 t ? 1 ≤ 0 知

? at (t + 1) ? 3 ≤ 0 即

a(t 2 + t ) ≥ ?3 .

(1)

当 t = 0,?1 时(1)总成立; 对 0 < t ≤ 1,0 < t + t ≤ 2 ;
2

对 ? 1 < t < 0,? 从而可知
2

1 ≤ t2 + t < 0. 4 3 ? ≤ a ≤ 12 . 2

3. 双曲线 x ? y = 1 的右半支与直线 x = 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为
2

整数的点)的个数是 1790 . 解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y = k ( k = 1,2, " ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直

1

线 x = 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为

∑ (99 ? k ) = 99 × 9 ? 45 = 846 .
k =1

9

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为

2 × 846 + 98 = 1790 .
4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 = 3, b1 = 1, a 2 = b2 ,3a 5 = b3 , 且存在常数 α , β 使得对每一个正整数 n 都有 a n = log α bn + β ,则 α + β = 解:设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则
3

3 +3.

3 + d = q,
3(3 + 4d ) = q 2 ,
(1)代入(2)得

(1) (2)

9 + 12d = d 2 + 6d + 9 ,求得 d = 6, q = 9 .
从而有 即 从而 求得

3 + 6(n ? 1) = log α 9 n ?1 + β 对一切正整数 n 都成立,

6n ? 3 = (n ? 1) log α 9 + β 对一切正整数 n 都成立. log α 9 = 6,?3 = ? log α 9 + β ,

α = 3 3, β = 3 , α + β = 3 3 + 3 .
2x

5. 函数 f ( x) = a

+ 3a x ? 2(a > 0, a ≠ 1) 在区间 x ∈ [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上

的最小值是 ?

1 . 4
2

解:令 a = y, 则原函数化为 g ( y ) = y + 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (?
x

3 ,+∞) 上是递增的. 2

当 0 < a < 1 时, y ∈ [ a, a ] ,

?1

g ( y ) max = a ?2 + 3a ?1 ? 2 = 8 ? a ?1 = 2 ? a =
所以 g ( y ) min = ( ) + 3 ×
2

1 , 2

1 2

1 1 ?2= ? ; 2 4



a > 1 时, y ∈ [a ?1 , a] ,
2

g ( y ) max = a 2 + 3a ? 2 = 8 ? a = 2 ,
所以 g ( y ) min = 2

1 + 3 × 2 ?1 ? 2 = ? . 4 1 综上 f ( x) 在 x ∈ [ ?1,1] 上的最小值为 ? . 4
?2

6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是

84 . 119 21 7 = ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12

解:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + " 12 12 12 12 12 84 7 1 . = × = 25 119 12 1? 144
7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 = α ,则

sin α =

10 . 4

解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则 B (1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P (0, 3 ,1) ,从而,

BA1 = (?2,0,2), BP = ( ?1, 3 ,1), B1 A1 = (?2,0,0), B1 P = (?1, 3 ,?1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m = ( x1 , y1 , z1 ) 、 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则

? ?m ? BA1 = ?2 x1 + 2 z1 = 0, ? ? ?m ? BP = ? x1 + 3 y1 + z1 = 0, ? ?n ? B1 A1 = ?2 x 2 = 0, ? ? ?n ? B1 P = ? x 2 + 3 y 2 ? z 2 = 0,
由此可设 m = (1,0,1), n = (0,1, 3 ) ,
B1

z

A1 C1

P A O C B y

JG G JG G 所以 m ? n = m ? n cos α ,
即 3=

2 ? 2 cos α ? cos α =

6 . 4

x

3

所以 sin α =

10 . 4

A1 C1 E B1 O A P

解二:如图, PC = PC1 , PA1 = PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则

OA1 = OB, OA = OB1 , A1 B ⊥ AB1 .
因为 PA = PB1 , 所以 PO ⊥ AB1 ,
从而 AB1 ⊥ 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ⊥ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ∠B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角. 设 AA1 = 2 ,则易求得

C B

PB = PA1 = 5 , A1O = B1O = 2 , PO = 3 .
在直角 ΔPA1O 中, A1O ? PO = A1 P ? OE , 即

2 ? 3 = 5 ? OE ,∴ OE =

6 5

.

又 B1O =

2 ,∴ B1 E = B1O 2 + OE 2 = 2 +

6 4 5 . = 5 5

sin α = sin ∠B1 EO =

B1O 2 10 . = = 4 B1 E 4 5 5

8. 方程 x + y + z = 2010 满足 x ≤ y ≤ z 的正整数解(x,y,z)的个数是 336675 . 解:首先易知 x + y + z = 2010 的正整数解的个数为 C 2009 = 2009 × 1004 .
2

把 x + y + z = 2010 满足 x ≤ y ≤ z 的正整数解分为三类: (1) x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

1 + 3 × 1003 + 6k = 2009 × 1004 ,
4

6k = 2009 × 1004 ? 3 × 1003 ? 1 = 2006 × 1005 ? 2009 + 3 × 2 ? 1 = 2006 × 1005 ? 2004 , k = 1003 × 335 ? 334 = 335671 . 从而满足 x ≤ y ≤ z 的正整数解的个数为 1 + 1003 + 335671 = 336675 .
二、解答题(本题满分 56 分)
3 2 9. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ′( x) ≤ 1 ,

试求 a 的最大值. 解一:

f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c,

? f ′(0) = c, ? 1 3 ? 由 ? f ′( ) = a + b + c, 4 ? 2 ? ? f ′(1) = 3a + 2b + c



(4 分)

1 3a = 2 f ′(0) + 2 f ′(1) ? 4 f ′( ) . 2
所以 3 a = 2 f ′(0) + 2 f ′(1) ? 4 f ′( )

(8 分)

1 2

1 ≤ 2 f ′(0) + 2 f ′(1) + 4 f ′( ) 2
≤8, 8 a≤ . 3
又易知当 f ( x) =

(12 分)

8 8 3 x ? 4 x 2 + x + m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 .(16 分) 3 3

2 解二: f ′( x) = 3ax + 2bx + c .

设 g ( x) = f ′( x) + 1 ,则当 0 ≤ x ≤ 1 时, 0 ≤ g ( x) ≤ 2 . 设 z = 2 x ? 1 ,则 x =

z +1 ,?1 ≤ z ≤ 1 . 2 z + 1 3a 2 3a + 2b 3a h( z ) = g ( )= z + z+ + b + c + 1. 2 4 2 4

(4 分) (8 分)

容易知道当 ? 1 ≤ z ≤ 1 时,0 ≤ h( z ) ≤ 2,0 ≤ h(? z ) ≤ 2 . 从而当 ? 1 ≤ z ≤ 1 时, 0 ≤ 即

h( z ) + h ( ? z ) ≤2 , 2

0≤

3a 2 3a z + + b + c +1 ≤ 2, 4 4

5

3a 3a + b + c +1 ≥ 0 , z2 ≤ 2, 4 4 8 2 由 0 ≤ z ≤ 1知 a ≤ . (12 分) 3 8 8 3 2 又易知当 f ( x) = x ? 4 x + x + m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 .(16 分) 3 3
从而 10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y = 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ≠ x 2 且
2

x1 + x 2 = 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ΔABC 面积的最大值.
解一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则

x0 =

x1 + x 2 y + y2 , = 2, y 0 = 1 2 2

k AB =

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . = = = 22 2 y 2 + y1 y 0 x 2 ? x1 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 = ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x = 5, y = 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .
由(1)知直线 AB 的方程为

(5 分)

y ? y0 =

y 3 ( x ? 2) ,即 x = 0 ( y ? y 0 ) + 2 . y0 3
2

(2)

(2)代入 y = 6 x 得
2 y 2 = 2 y 0 ( y ? y 0 ) + 12 ,即 y 2 ? 2 y 0 y + 2 y 0 ? 12 = 0 .(3)

依题意, y1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ≠ y 2 ,所以
2 2 2 Δ = 4 y0 ? 4(2 y0 ? 12) = ?4 y0 + 48 > 0 ,

y A

? 2 3 < y0 < 2 3 .
AB = ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2
O B

C(5,0)

x

6

= (1 + (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3

= (1 +

2 y0 )[( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9

= (1 + =

2 y0 2 2 )(4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 12)) 9

2 2 2 (9 + y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 . h = CM = (5 ? 2) 2 + (0 ? y 0 ) 2 = 9 + y 0

(10 分)

S ΔABC =
=

1 1 2 2 2 AB ? h = (9 + y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 + y0 2 3

1 1 2 2 2 (9 + y 0 )(24 ? 2 y 0 )(9 + y 0 ) 3 2

2 2 2 + 24 ? 2 y 0 + 9 + y0 1 1 9 + y0 )3 ( ≤ 3 3 2

=

14 7 . 3
2 2

(15 分)

当且仅当 9 + y 0 = 24 ? 2 y 0 ,即 y0 = ± 5 , A(

6 + 35 6 ? 35 , 5 + 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 + 35 6 ? 35 , ?( 5 + 7)), B( , ? 5 + 7) 时等号成立. 3 3 14 7. 3
(20 分)

所以 ΔABC 面积的最大值为

解 二 : 同 解 一 , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 与 x 轴 的 交 点 C 为 定 点 , 且 点 C 坐 标 为 (5,0) . (5 分) 设 x1 = t1 , x 2 = t 2 , t1 > t 2 , t1 + t 2 = 4 ,则
2 2 2 2

5 1 2 S ΔABC = t1 2 2 t2

0

1
(10 分)

6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 2 2 SΔ 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 ABC = ( (5 6t1 + 2
7

3 (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 + 5) 2 2 3 = (4 ? 2t1t 2 )(t1t 2 + 5)(t1t 2 + 5) 2 3 14 ≤ ( )3 , 2 3 14 S ΔABC ≤ 7, 3 =
当且仅当 (t1 ? t 2 ) = t1t 2 + 5 且 t1 + t 2 = 4 ,
2 2 2

(15 分)

即 t1 =

7? 5 6

, t2 = ?

7+ 5 6

, A(

6 + 35 6 ? 35 , 5 + 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 + 35 6 ? 35 , ?( 5 + 7)), B( , ? 5 + 7) 时等号成立. 3 3 14 7. 3
3

所以 ΔABC 面积的最大值是

(20 分)

11.(本小题满分 20 分)证明:方程 2 x + 5 x ? 2 = 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增 正整数数列 {a n } ,使得

2 = r a1 + r a2 + r a3 + " . 5
3 2

证 明 : 令 f ( x) = 2 x + 5 x ? 2 , 则 f ′( x) = 6 x + 5 > 0 , 所 以 f ( x) 是 严 格 递 增 的 . 又

3 1 1 f (0) = ?2 < 0, f ( ) = > 0 ,故 f ( x) 有唯一实数根 r ∈ (0, ) . 4 2 2
所以

(5 分)

2r 3 + 5r ? 2 = 0 ,
2 r = 5 1? r3 = r + r 4 + r 7 + r10 + " .

故数列 a n = 3n ? 2(n = 1,2, ") 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 < a 2 < " < a n < " 和 b1 < b2 < " < bn < " 满足

(10 分)

r a1 + r a2 + r a3 + " = r b1 + r b2 + r b3 + " =
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 + r s2 + r s3 + " = r t1 + r t2 + r t3 + " ,
这里 s1 < s 2 < s 3 < " , t1 < t 2 < t 3 < " ,所有的 si 与 t j 都是不同的. 不妨设 s1 < t1 ,则
8

(15 分)

r s1 < r s1 + r s2 + " = r t1 + r t2 + " ,

1 < r t1 ? s1 + r t2 ? s1 + " ≤ r + r 2 + " =
故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 < 1? r

1 1 1? 2

? 1 = 1 ,矛盾.
(20 分)

9


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