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2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用


课时训练 10 等差数列前 n 项和的性质与应用
一、等差数列前 n 项和性质的应用
1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( A.12 答案:C 2.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 答案:C 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-2 015, A.2 015 答案:B
解析:由等差数列前 n 项和性质可知,数列 是等差数列,设公差为 d,

)

B.18

C.24

D.42 )

B .4

C.3

D.2

2 015 2 015

?

2 013 =2,则 S2 015=( 2 013

)

B.-2 015

C.0

D.1



013 015 015 则 22015 ? 22013 =2d=2,所以 d=1.所以 22015 = 11+2 014d=-2 015+2 014=-1,所以 S2 015=-2 015.









二、等差数列前 n 项和中的最值问题
4.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题中错误的是( A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 答案:C 解析:由等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+2n(n-1)d=2n2+ 1 - 2 n 知,Sn 对应的二次函数有最大值时 d<0.故若 d<0,则 Sn 有最大值,A,B 正确. 又若对任意 n∈N*,Sn>0,则 a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D 正确. 而对于 C 项,令 Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但 S1=-1<0.C 不正确. 5.已知数列{an}为等差数列,若 ( A.21 答案:C 6.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( A.22 答案:C 1 B.21 ) C.20 D.19 ) B.20 C.19 D.18
11 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 的 10 1

)

n 的最大值为

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2 014>0,S2 015<0,则当 n= 答案:1 007 8.已知数列{an},an∈N*,前 n 项和 Sn=8(an+2)2. (1)求证:{an}是等差数列; (2)设 bn=2an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. (1)证明:由已知得 8Sn=(an+2)2, 则 8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2), 两式相减,得 8an=(an+2)2-(an-1+2)2, 即(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 因为 an∈N*,所以 an+an-1>0, 所以 an-an-1=4(n≥2), 故数列{an}是以 4 为公差的等差数列. (2)解:令 n=1,得 S1=a1=8(a1+2)2,解得 a1=2. 由(1)知 an=2+(n-1)×4=4n-2,所以 bn=2an-30=2n-31. 由 bn=2n-31<0,得 n< 2 ,即数列{bn}的前 15 项为负值,n≥16 时 bn>0. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T15 最小,其值为 T15=15×(-29)+
31 1 1 1 1

时,Sn 最大.

15×14 ×2=-225. 2

三、与数列{|an|}前 n 项和有关的问题
9.已知数列{an}的通项公式 an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16 时,n= 答案:8 解析:由 an=5-n,可得 n<5 时,an>0; n=5 时,a5=0; n>5 时,an<0, 而 a1+a2+…+a5=10, .

∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16. ∴20+
2 -9 =16,解得 2

n=8.

10.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 5a3· a1=(2a2+2)2. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解:(1)因为 5a3· a1=(2a2+2)2,所以 d2-3d-4=0,解得 d=-1 或 d=4.故 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,所以由(1)得 d=-1,an=-n+11. 2

则当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-2n2+ 2 n; 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=2n2- 2 n+110. - 2 +
1 2 21 , 2 1 21

1

21

综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= 1

≤ 11, ≥ 12.

21 2 - + 110, 2 2

(建议用时:30 分钟)
1.若等差数列{an}的前 3 项和 S3=9,则 a2 等于( A.3 答案:A 2.设{an}是公差为-2 的等差数列,如果 a1+a4+…+a97=50,那么 a3+a6+a9+…+a99 等于( A.-182 答案:D 3.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( A.S7 答案:C 4.设{an}为等差数列,a1>0,a6+a7>0,a6· a7<0,则使其前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( A.11 答案:B 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=1,S3n-Sn=5,则 S4n=( A.4 答案:C 6.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= 答案:10 7.等差数列前 12 项和为 354,在前 12 项中的偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27,则公差 d= 答案:5 8.等差数列{an}与{bn},它们的前 n 项和分别为 An,Bn,若 = +3 ,则5= 5 答案:3 9.在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 有最大值,并求出它的 最大值. 解:设等差数列{an}的公差为 d,∵a1=20,S10=S15,
4 2-2

) D.6 )

B.4

C.5

B.-78

C.-148

D.-82 )

B.S8

C.S13

D.S15 )

B.12

C.13

D.14 )

B.6

C.10

D.15 .

.

.

∴10a1+

10×9 15×14 d=15a1+ 2 d.解得 2

d=-3. 3

5

解法一:由以上得 an=20- (n-1)=- n+ .由 an≥0 得- n+ ≥0,∴n≤13. 所以数列前 12 项或前 13 项的和最大,其最大值为 S12=S13=12a1+ 2 d=130. 解法二:由以上得 Sn=20n+ 2 =- n2+ n+20n=- n2+ =- (n2-25n)=5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 125 n 6 (-1) 12×11

5 3

5 3

65 3

5 3

65 3

× -3

5

-

25 2 2

+

3 125 . 24

∴当 n=12 或 13 时,Sn 最大,最大值为 S12=S13=130.
10.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前 n 项和. 解:等差数列{an}的公差 d=
17 -1 17-1 -12-(-60) =3, 16

=

∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由 an<0,得 3n-63<0,即 n<21.

∴数列{an}的前 20 项是负数,第 20 项以后的项都为非负数.
设 Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前 n 项和, 当 n≤20 时,Sn'=-Sn=- -60 + 当 n>20 时, Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+ 2 ×3-2× -60 × 20 +
3 123 (-1) 20×19 × 2 (-1) × 2

3 =-2n2+ 2 n;

3

123

3 =2n2- 2 n+1 260.

3

123

- 2 2 + 2 ( ≤ 20), ∴数列{|an|}的前 n 项和为 Sn'= 3 123 2 + 1 260( > 20).
2 2

4


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