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高中数学第2章指数函数对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修1

2.2 对数函数 问题探究 问题 1 如何将给出的对数式换成指定底数的对数? 探究:《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数. 对数换底公式:logbN= loga N (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,N>0). loga b 推论:logab= n 1 m n ,loga b = logab. m logb a n 更特别地有 logaa =n. 问题 2 对数函数的运算性质有几条? 探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,则有 (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)loga( n M )=logaM-logaN; N (3)logaM =nlogaM(n∈R). 问题 3 对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函 数的图象再作出其关于直线 y=x 的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导 下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的性质. 探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的 .通过研究对数函 数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与 a 的取值无关的三条性质:(1)定义域都 是 (0,+ ∞ );(2) 值域都为 R;(3) 图象恒过点 (1,0). 与 a 的取值有关的两个特性 :(1)a>1 时 ,y=logax 在 (0,+ ∞ ) 上 是 增 函 数 ;0<a<1 时 ,y=logax 在 (0,+ ∞ ) 上 是 减 函 数.(2)a>1: ? ? x ? 1时, y ? 0, 0<a<1: ?0 ? x ? 1时, y ? 0; ? x ? 1时, y ? 0, ? ?0 ? x ? 1时, y ? 0. 问题 4 比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法? 探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数 值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有: (1)直接法:由函数的单调性直接作答; (2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定; (3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于 1 来确定; (4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较; (5)媒介法:选取适当的 “媒介” 数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大 小. 典题精讲 例 1:比较下列各组中两个值的大小. (1)log31.9,log32; (2)log0.90.1,log0.92; 1 (3)log35,log53; (4)log23,log0.32; (5)logaπ ,loga3.141. 思路分析: 比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以 借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对 数函数图象来比较大小;若底数与 1 的大小关系不确定,要分情况讨论. 解:(1)因为 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数,所以 log31.9<log32. (2)因为 y=log0.9x 在(0,+∞)上是减函数,所以 log0.90.1>log0.92. (3)因为 log35>log33=1=log55>log53,所以 log35>log53. (4)因为 log23>log22=1,log0.32<0,所以 log23>log0.32. (5)当 a>1 时,logaπ >loga3.141; 当 0<a<1 时,logaπ <loga3.141. 例 2:已知 a=lg(1+ 思路分析: 求以 a、b 表示的 lg1.4 的式子,实际上是寻找 lg 1 1 ),b=lg(1+ ),试用 a、b 的式子表示 lg1.4. 7 49 8 50 、lg 和 lg1.4 之间的关系,所 7 49 以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数),便于寻找关系. 1 8 1 50 100 2 )=lg =3lg2-lg7①.b=lg(1+ )=lg =lg -lg7 =2-lg2-2lg7②. 7 7 49 49 2 1 1 由①②得 lg2= (2a-b+2),lg7= (-a-3b+6), 7 7 14 1 ∴lg1.4=lg =lg2+lg7-1= (a-4b+1). 10 7 解:a=lg(1+ 例 3:已知函数 y=lg( x 2 ?1 -x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性. 思路分析: 这是一个常用对数,只要考虑真数大于 0 即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内 的式子大于 0 时自变量的取值. 解:由题意知 x 2 ?1 -x>0,解得 x∈R,即定义域为 R; 又 f(-x)=lg[ ( ? x ) 2 ? 1 -(-x)]=lg( x 2 ?1 +x)=lg 1 x ?1? x 2 =lg( x 2 ?1 -x)-1=-lg( x 2 ?1 -x) =-f(x). ∴y=lg( x 2 ?1 -x)是奇函数. ∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, + ∴我们只需研究 R 上的单调性. + 任取 x1、x2∈R 且 x1<x2, 则 x1 ? 1 < x 2 ? 1 ? 2 2 x1 ? 1 +x1< x2 ? 1 +x2 2 2 2 ? 1 x1 ? 1 ? x1 2 2 > 1 x2 ? 1 ? x2 2 2 , 即有 x1 ? 1 -x1> x 2 ? 1 -x2>0. ∴lg( x1 ? 1 -x1)>lg( x 2 ? 1 -x2),即 f(x1)>f(x2)成立. 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,故 f(x)在 R 上也为减函数. 例 4:(1)函数 y=lg - 2 2 1

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