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高中数学必修4第二章《平面向量》 单元测试


必修 4 第二章《平面向量》 单元测试
一、选择题 1.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2则OC = ( )

1 1 1 (5e1 ? 3e2 ) B. (5e1 ? 3e2 ) C. (3e2 ? 5e1 ) 2 2 2 1 1 2.化简 [ (2a ? 8b) ? (4a ? 2b)] 的结果是 3 2
A. A. 2a ? b B. 2b ? a C. b ? a

D.

1 (5e2 ? 3e1 ) 2
( )

D. a ? b

3.对于菱形 ABCD,给出下列各式: ① AB ? BC ③ | AB ? CD |?| AD ? BC | 其中正确的个数为 A.1 个 4.在 B.2 个 ② | AB |?| BC | ④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB | C.3 个 D.4 个
2





ABCD 中,设 AB ? a, AD ? b, AC ? c, BD ? d ,则下列等式中不正确的是( ) B. a ? b ? d D. c ? a ? b ( B. | a ? b |?| a ? b | D. | a | ? | b |?| a ? b | )

A. a ? b ? c C. b ? a ? d

5.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | ? | b |?| a ? b | C. | a | ? | b |?| a ? b |

6.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0) , (3,0) , (1,-5) ,则第四个点的坐 标为 ( ) A. (1,5)或(5,-5) B. (1,5)或(-3,-5) C. (5,-5)或(-3,-5) D. (1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 7.下列各组向量中:① e1 ? (?1,2) e2 ? (5,7) ② e1 ? (3,5) e2 ? (6,10) ③ e1 ? (2,?3)

1 3 e2 ? ( ,? ) 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 2 4
A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 8.与向量 d ? (12,5) 平行的单位向量为 A. (





( B. ( ?



12 ,5) 13

12 5 ,? ) 13 13

C. (

12 5 12 5 , ) 或 ( ? ,? ) 13 13 13 13

D. ( ?

12 5 ,? ) 13 13
( )

9.若 | a ? b |? A.10 3

41 ? 20 3 , | a |? 4, | b |? 5 ,则 a与b 的数量积为
B.-10 3 C.10 2 D.10

10.若将向量 a ? (2,1) 围绕原点按逆时针旋转 A. (? 2 ,? 3 2 ) 2 2 C. (?

? 得到向量 b ,则 b 的坐标为( 4
2 3 2 , ) 2 2



B. (

3 2 2 , ) 2 2

D. ( 3 2 , ? 2 )
2 2

11.设 k∈R,下列向量中,与向量 Q ? (1,?1) 一定不平行的向量是 ( ) B. c ? (?k ,?k ) D. e ? (k 2 ? 1, k 2 ? 1)

A. b ? (k , k ) C. d ? (k 2 ? 1, k 2 ? 1)

12.已知 | a |? 10, | b |? 12 ,且 (3a )( b) ? ?36 ,则 a与b 的夹角为 A.60° B.120° 二、填空题 13.非零向量 a, b满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a, b 的夹角为 C.135° D.150°

1 5





.

14.在四边形 ABCD 中,若 AB ? a, AD ? b, 且 | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是 15.已知 a ? (3,2) , b ? (2,?1) ,若 ? a ? b与a ? ?b 平行,则λ = 16.已知 e 为单位向量,| a | =4,a与e 的夹角为 ? ,则 a在e 方向上的投影为 三、解答题 17.已知非零向量 a, b 满足 | a ? b |?| a ? b | ,求证: a ? b . .

2 3

18.已知在△ABC 中, AB ? (2,3) , AC ? (1, k ), 且△ABC 中∠C 为直角,求 k 的值.

19、设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、 B、D 三点共线,求 k 的值.

20. 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? k b ,当当实数 k 为何值
o

时,⑴ c ∥ d

⑵c ? d

21.如图,ABCD 为正方形,P 是对角线 DB 上一点,PECF 为矩形, 求证:①PA=EF; ②PA⊥EF.

22.如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 2 2 2 2 2 求证:PA +PB +PC +PD =8r .

参考答案 一.选择题: 题号 答案 二、填空题: 13. 120°; 14. 矩形 15、 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 A 10 B 11 C 12 B

?1
2

16.

?2

三、解答题: 17.证:?

a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ?b
2 2 2 2

2

?

? ?
2

?

2

? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? ab ? 0
又 ? a, b为非零向量

?a ? b
18.解:? BC

? AC ? AB ? (1, k ) ? (2,3) ? (?1, k ? 3)

? ?C为RT? ? AC ? BC ? AC ? BC ? 0 ? (1, k ) ? (?1, k ? 3) ? 0

? ?1 ? k 2 ? 3k ? 0 ? k ?
19.? BD

3 ? 13 2

? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2

?

?

若 A,B,D 三点共线,则 AB 与BD共线,

? 设 AB ? ? BD
即 2e1

? k e2 ? ? e1 ? 4? e2

由于 e1与e2不共线 可得: 故?

2e1 ? ? e1 k e2 ? ?4? e2

? 2, k ? ?8

20.⑴若 c ∥ d 得 k

?

9 5

⑵若 c ? d 得 k

??

29 14
B:(1,1)

21.解以 D 为原点 DC 为 x 轴正方向建立直角坐标系 则 A(0,1), C:(1,0)

设DP ? r , 则P( ? PA ? (? ? E点为(1,

2 2 r, r) 2 2

2 2 r ,1 ? r) 2 2 2 2 2 2 r ), F : ( r ,0) ? EF ? ( r ? 1,? r) 2 2 2 2

?| PA |? (?

2 2 2 2 r ) ? (1 ? r) 2 2 2 2 2 2 r ) ? (? r) 2 2

?| EF |? (1 ?
故 PA

? EF

而PA? EF ? 0 ? PA ? EF
22.证:? BD

? PD ? PB, AC ? PC ? PA

?| BD |2 ? ( PD ? PB ) 2 ?| PD |2 ?2 PB PD ? | PB |2 | AC |2 ? ( PC ? PA) 2 ?| PC |2 ?2 PC PA? | PA |2
BD, AC为直径, 故 PD ? PB, PA ? PC ? PD ? PB ? PA ? PC ? 0

?| BD |2 ? | AC |2 ?| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2
即 4r
2

? 4r 2 ? PA2 ? PB2 ? PC 2 ? PD2 ? 8r 2


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