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常见递推数列通项公式求法模型


递推数列常见模型与方法
新疆 刘安宁 邮箱 1983496762@qq.com

模型一. an ?1 【方法】:由

? an ? f ?n?
an?1 ? an ? f ?n?


an ? (an ? an?1 ) ? ?an?1 ? an?2 ? ? ?an?2 ? an?3 ? ? ? ? ?a3 ? a2 ? ? ?a2 ? a1 ? ? a1
? f ?n ? 1? ? f ?n ? 2? ? f ?n ? 3? ? ? ? f ?3? ? f ?2? ? f ?1? ? a1
? a1 ? ? f ?k ?
k ?1 n ?1

?n ? 2?
【答案】 an = n
2

例 1.已知 a1

? 1, an?1 ? an ? 2n, 求an .

? n ?1

模型二.

an?1 ? f ?n?an

方法:

an ?

an a a a a ? n ?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 2 ? a1 a n ?1 a n ? 2 a3 a 2 a1

? f ?n ? 1? f ?n ? 2? ? ?? f ?3? f ?2? f ?1?a1
例 2.

a1 ? 1, nan?1 ? 2?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?, 求an
g ?n?an?1 ? g ?n ? 1?an ? q
g ?n?an?1 ? g ?n ? 1?an ? q
令 bn

【答案】 a n

?n

模型三:

?q ? 0?
?q ? 0? ?
an?1 a q ? n ? g ?n ? 1? g ?n ? g ?n ?g ?n ? 1?

方法:

?

an q , f ?n ? ? , g ?n ? g ?n ?g ?n ? 1?

得 bn?1

? bn ? f ?n?

化归为模型一求解.

例 3.已知 a1

? 2, nan ?1 ? ?n ? 1?an ? 2, 求an

【思路】 nan ?1 ?

?n ? 1?an ? 2, ? an?1 ? an ?
n ?1 n

2 n?n ? 1?

【答案】:

4n ? 2

模型四:.

an?1 ? pan ? q

? p, q为常数, 且p ? 1?
递推数列常见模型与方法 第 1 页

方法(一): 由 an?1

? pan ? q ? 得 an?1 ? an ? p?an ? an?1 ? ? ? ? p n?1 ?a2 ? a1 ?
………②

…… ①

an?1 ? pan ? q

1 ? p n?1 由②代入①消去 a n ?1 ,可得 a n ? a1 ? ?a 2 ? a1 ? 1? p
方法(二): 由 an?1

? pan ? q 两边同时加

q 得; p ?1

an?1 ?
所以

? ? q ? q ? ? ? ? ? p n ? a1 ? ? p? an ? ? ? p ?1? p ?1? ? ? ? ? ? q ? q ?? an ? p n?1 ? a1 ? ? ? p ?1 p ?1? ? q ? p ?1
? 1, an?1 ? 3an ? 4 ,求 an
? pan ? g ?n?
【答案】 2 ? 3
n ?1

例 4.已知 a1 模型五: an?1

? p ? 1?

方法:两边同除以

p n?1 得,

a n ?1 a g ?n ? ? n ? n ?1 n ?1 n p p p




bn ?

an g ?n? , f ?n? ? n?1 n p p

bn?1 ? pbn ? f ?n?

化归为模型三求解.

例 5.已知 a1 ? 3, an ?1 ? 3an ? 4 ? 3n ,求 an .
q ? pan

【答案】 ?4n ? 1?3n ?1

模型六: an?1 方法: 令

? p ? 0, an ? 0?
?an ? 为等比数列;当 q ? 1 时,对递推式两边取对数得,
化归为模型四求解. 【答案】 2
3 n?1 ?1 2

当 q ? 1 时,

lg an?1 ? q lg an ? lg p

bn ? lg an 得 bn ?1 ? qbn ? lg p
? 1 an?1 ? 2a
3 n ,求

例 6.已知 a1

an .

型七: Sn ? pan ? g ?n? 方法: 由 Sn

? p ? 1?

? pan ? g ?n? 及 an?1 ? S n?1 ? S n 得 an?1 ? pan?1 ? pan ? g ?n ? 1? ? g ?n?

? an?1 ?

p an ? f ?n? p ?1

? f ?n? ? g ?n ? 1? ? g ?n??
第 2 页

化归为模型五求解.

递推数列常见模型与方法

例 7.已知 S n ? 模型八: an?1

4 1 2 a n ? ? 2 n ?1 ? , 求 an . 3 3 3

【答案】 4

n

? 2n

? pan ? qan?1 ? pq ? 0?
代入递推式,得

方法: (1 )当 p ? q ? 1 时, 将 p ?1 ? q 于是数列

an?1 ? an ? ?q?an ? an?1 ? ,
从而 化归为模型一求解.

?an?1 ? an ?是以 a2 ? a1 为首项 ? q 为公比的等比数列.
n?1

an?1 ? an ? ?? q? ?a2 ? a1 ?,



an?1 ? an ? ?? q? ?a2 ? a1 ?
n?1

(2) 当 p ? q ? 1时,设 an?1 ? ?an

? ? ?an ? an?1 ? 变形得

an?1 ? ?? ? ? ?an ? ??an?1 ……①
比较可得

an?1 ? pan ? qan?1
2

……………②

? ? ? ? p, ?? ? ?q

所以是方程 x

? px ? q ? 0 的二根,

此方程为 an?1 必有: an?1

? pan ? qan?1 的特征方程.
an?1 ? ?an ? ? n?1 ?a2 ? ?a1 ?
……②

? ?an ? ? n?1 ?a2 ? ?a1 ?……①

解此方程组得 an ?

1 ? n ?1 ?a2 ? ?a1 ? ? ? n ?1 ?a2 ? ?a1 ? ? ??

?

?

例 8. ①已知 a1

? 1, a2 ? 2, an?2 ? ?an?1 ? 2an ,求 an .
1 ? an?1 ? an ,求 an . 4
4 ? ?? 2 ??1 n ? 1 【答案】 ; n ?1 2 3
n

②已知 a1 ? 0, a2 ? 1, an?2

模型九:

a n?1 ?

ra n ban ? c
1 ? c 1 b 1 ? ? 再换元令 x n ? r an r an
,得

方法:取倒数得

a n ?1

x n ?1 ?
1 例 9.已知 a1 ? , 2
模型十: an?1

c b x n ? 化归为模型四 an?1 ? pan ? q r r
an?1 ? 3an ,求 an 2an ? 1

求解.

3 n ?1 【答案】. n ?1 3 ?1

?

ban ? c can ? b

?b ? c ?
递推数列常见模型与方法 第 3 页

方法:

?b ? c ??a n ? 1? ? ?a n ?1 ? 1 ? a ? 1 ? b ? c ?? a n ? 1 ? can ? b ? 两边同加 ? 1 得 ? ? n ?1 ? ?b ? c ??a n ? 1? an?1 ? 1 ? ? b ? c ?? an ? 1 ? ? ?? ? ? ? a n ?1 ? 1 ? ? can ? b ?
an ? 1 ? bn ,则 an ? 1
?b?c? bn ?1 ? ? ?bn ?b?c?
化归为等比数列求解.



3a ? 1 例 10.已知 a1 ? 2 , an?1 ? n ,求 an . an ? 3
模型十一. ?

3 ? 2 n ?1 ? 1 【答案】 3 ? 2 n ?1 ? 1

?a n ?1 ? pa n ? qbn ? bn ?1 ? xa n ? yb n

方法:

? x? 2 ? ? y ? p ?? ? q ? 0 设 an?1 ? ?bn?1 ? ? ?an ? ?bn ? 运用待定系数法由方程组 ? 2 ?? ? ? y ? p ?? ? py ? xq ? 0
的两组解确定 ? 和 ? .

例 11.已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足

?an?1 ? 2an ? 6bn a1 ? 2, b1 ? 1, ? ? bn?1 ? an ? 7bn



(1)求数列数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式 an 和 bn (2)求数列 ?nbn ?的前项和 S n

?a n ?1 ? 2bn ?1 ? 4?a n ? 2bn ? ? 4 n ?1 ?a n ? 3 ? 4 n ? 2 ? 5 n ? ?? 【分析】:由已知得(1) ? n ?1 n n ? a n ?1 ? 3bn ?1 ? 5?a n ? 3bn ? ? 5 ? bn ? 5 ? 4 ?
(2)由错位相加法得: S n ? (4n ? 1)5 16
n ?1

?

?3n ? 1?4 n?1 ? 19
9

144

练习题 模型一. an?1 ? an ? f ?n? 1.已知, a1 ? 1,3an?1 ? 3an ? 6n, 求an 2.已知, a1 3.已知, a1 【答案】 an 【答案】 an

? n2 ? n ? 1
? 2n?1 ? 1
2n ? 1 n

? 2, an?1 ? an ? 2n?1 , 求an

? 1, an?1 ? an ?

1 , 求an n?n ? 1?

【答案】 an ?

模型二.

an?1 ? f ?n?an
递推数列常见模型与方法 第 4 页

1.已知,

a1 ? 1, an?1 ? nan ,求 an 。
a1 ? 1, an?1 ? 2 an ,求 an 。
n

【答案】 an ? n!

2.已知,

【答案】 an

?2

n ?n ?1? 2

3.已知, 模型三:

a1 ? 2 , 3 an ?1 ? nan 求 an 。
n

?1? 【答案】 a n ? 2 ? ? ? : ?3?

n ? n ?1? 2

g ?n?an?1 ? g ?n ? 1?an ? q

?q ? 0?
【答案】 an

4.已知 a1 模型四:.

? 2,2n an?1 ? 2n?1 an ? 3, 求an

? 3 ? 2 n ?1 ?

1 2n

an?1 ? pan ? q

? p, q为常数, 且p ? 1?
? 2? 【答案】 an = 11? ? ? ? 3?
n ?1

5.已知, a1

? 2,3an ?1 ? 2an ? 9, 求an

?9
n ?1

6.已知, a1 ? 1, an ?1 ? 模型五:

1 an ? 4, 求an 2

?1? 【答案】 an = 8 ? 7 ? ? ? ?2?

an?1 ? pan ? g ?n?

? p ? 1?
【答案】 an

7.已知, a1

? 1, an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ,求 an .
? 1, an ?1 ? 15an ? 5n ?1 ,求 an .
q ? pan

2? ? ? ? n ? ? ? 3n 3? ?

8.已知, a1 模型六: an?1 9.已知, a1

【答案】 an

1? ?7 ? ? ? 3n ?1 ? ? ? 5n 2? ? 10

? p ? 0, an ? 0?
【答案】 an 【答案】 an

2 ? 1 an?1 ? 2an ,求 an .

? 2( 2

n?1

?1)

10.已知, a1 ? 3 , 3an?1 模型七:

3 ? an ,求 an .

? 3

Sn ? pan ? g ?n?

? p ? 1?

11.已知, Sn 【答案】

? 2an ? 4, bn?1 ? an ? 2bn , b1 ? 2 ,求 a n , bn

an ? 2n?1, bn ? n ? 2n

12. 已知, Sn ? 3an ? 6, bn?1 ? an ? 3bn , b1 ? 3 ,求 a n , bn

递推数列常见模型与方法

第 5 页

【答案】 an ? 2? ? , bn ?

? 3? ? 2?

n

3n?1 5 ? 2n ? 4 2n

?

?
求 an .

13.已知, a1

? 1, an?1 ? 2S n ? n 2 ? n ? 1,

3n 1 ?n? 【答案】 an ? 2 2
模型九:

a n?1 ?

ra n ban ? c
3an ,求 an . 2an ? 1
3n 【答案】: an ? n 3 ?2

14.已知 a1 ? 3, an?1 ?

模型十: an?1

?

ban ? c can ? b

?b ? c ?
3an ? 2 ,求 an 2an ? 3
3 ? 5n ?1 ? 1 【答案】 an ? 3 ? 5n ?1 ? 1

15.已知 a1 ? 2 ,

an?1 ?

递推数列常见模型与方法

第 6 页


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