当前位置:首页 >> 数学 >>

亦论高中数学定义教学之策略


亦论中学数学定义教学之策略
温岭市第八中学 张美云
【摘要】 数学定义是数学知识体系中最基本的元素, : 是数学研究对象的高度抽象和概 括,它反映了数学对象的本质属性,是重要的数学知识之一。又是学习其它概念、性质的根 源,是解决数学问题的前提。为此,笔者结合平时教学,试从多个角度阐述新课程理念下的 高中数学定义教学的策略。 【关键词】 :数学定义 理解 思维 应用

长期以来,由于受应试教育的影响,不少教师在教学中重解题、轻概念,尤其忽视对数 学定义的教学。 有些教师仅仅把数学定义看作一个名词而已, 认为数学定义就是对定义作解 释,片面地要求学生记忆。往往忽略了一些定义操作性特点,像对数、函数、圆锥曲线等定 义,虽是一种数学概念,其实蕴含了处理问题的思想方法。如果认为定义教过了,也就完成 了它的历史使命,接下来便是赶紧解题、反复解题,那么极容易造成学生对概念含糊不清、 一知半解,更谈不上对定义的理解、领悟,从而严重影响了学生对后续知识的理解和掌握, 阻碍了学生认知结构完善和思维能力的提高。 从教学实践来看一些学生数学之所以差, 概念 不清往往是最直接的原因。特别是一些普通高中的学生,数学品质本身就不太好,又刚从初 中升入高中, 还没为从初中数学的相对直观过渡到高中数学的逐步抽象作好准备。 如果教师 再不加以引导、强调,就会出现以上误区。为此本文对新课程理念下的高中数学定义教学, 进行了以下几个方面的探索。 一、体现数学定义引入自然性的策略 体现数学定义引入自然性的 自然性 每一个定义的产生都有丰富的知识背景, 舍弃这些知识背景, 直接抛给学生一连串的概 念,是传统教学模式中司空见惯的作法,这种做法常常使学生感到茫然。展示定义背景,体 会新定义产生自然性、必要性,培养学生思维的主动性。思维的主动性,表现为学生对学习 充满热情,以学习数学为乐趣,在获得知识时有一种惬意的满足感。 数学定义的引入是定义教学的第一步,也是形成概念的基础。在定义引入时,教师可根 据概念类型,优化设计。 1、从数学本身的内在需要引入 、
2 ;已 例如:我们在初中学了乘方、开方运算,已知底数、指数能求幂,如( ± 3) =9,

知指数、 幂可求出底数, ± 如

x 9 = ± 3。 (1) 那么 如果已知底数和幂, 能否求出指数?如 3 =9, x

x 等于多少?(x=2) (2)若 3 =7 呢?x 又是多少?会求吗?如何表示?这就是本节我们要 学习的“对数的定义”…… 从数学本身内在的需要出发引入新概念, 也是引入数学定义的常用方法之一。 可以充分 展示学习新定义的必要性,有助于产生认知需求,是激发学习兴趣的有效途径。 2、体现定义引入的生活化 、

1

苏霍姆林斯基说过,兴趣是最好的老师。而教育学和心理学的研究表明,当学习的材料 与学生已有的知识和生活经验相联系时,学生对学习才会有兴趣。 中学数学中的许多定义都来源于现实生活, 例如函数概念的学习, 可以从出租车的车费 与行驶路程、等候时间、起步价之间关系谈起。又如微积分概念是以极限为基础,学生学习 极限的主要困难是对无限的认识, 是学生原知结构中缺乏对有限与无限、 潜无穷与实无穷对 立统一规律的认识,缺乏“从有限中找到无限,从暂时中找到永久,并且使之确定起来的” 运动辨证思想。 针对这一教学上的重点和难点, 我们在内容的组织和教学上应安排大量感性 背景材料,借用计算机辅助教学,从正、反面的实例引入。如背景材料: (1)我国古代《庄 子·天下篇》中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的朴素极限思想。 (2)刘徽的“割圆术” 中的极限思想: 刘徽用圆的内接正多边形周长的极限是圆周长的思想来证明圆面积公式: 割 之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。 (3)变速运动物体 的瞬时速度……通过大量生动的现实素材,让学生从中体验和感受极限的思想,引入课题。 这样,会使学生在获得数学知识的同时,认识到数学原本就来自我们身边的现实世界,并不 是高不可攀,从而主动、积极地参与学习。 3、寻求新旧定义之间的联系引入 、寻求新旧定义之间的联系引入 认知心理学家戴维.奥苏贝尔认为,学生能否获得新知识,主要取决于学生个体的认知 结构中是否已有了相关的概念。 从教学的角度看, 研究认知结构的目的在于识别和控制影响 “有意义接受知识”的变量。特别要关注,在学生认知结构中: (1)与新教材建立联系的有 关概念是否可利用;(2)这些概念与要学习的新概念之间的区别程度如何,即要防止新、旧 概念的混淆,使新概念能够作为独立的实体保存下来; (3)在认知结构中起固定点作用的概 念是否稳定、清晰。 数学中有许多定义都有着密切的联系,例如等比数列和等差数列;面、面所成角与线面 所成角,两异面直线所成角;椭圆、双曲线、抛物线定义等等。这种联系形成了教学内容体 系的框架结构,先前概念往往是后续概念的基础,从而形成了数学概念的体系,这种特性要 求学生在数学学习时,必须做到循序渐进。我们在教学中引导学生善于寻找、分析、归纳, 用类比的方法引入定义。类比不仅是思维的一种重要形式,也是引入新概念的重要方法。 二、让学生体验数学定义形成过程的策略 让学生体验数学定义形成过程的 体验数学定义形成过程 通过定义的引入,学生对定义的认识往往还停留在比较朦胧的阶段。所以,我们必须还 要注重概念的形成过程,对概念的本质属性进行彻底剖析,并用定义将其揭示出来。在这个 过程中,我们要让学生进行充分的自主活动,使他们有机会经历定义产生的过程,了解定义 产生的条件,把握定义形成的规律,达到加深学生对定义的理解。下面以椭圆定义形成为例 设计思路: (1)以神舟七号载人飞船运行的轨道为情景引入椭圆的直观图形。 (多媒体展示) , (2)学生实验操作画椭圆:同桌两人合作,在纸上确定一点,一人把绳的一端固定在定

2

点处,另一人把铅笔固定在绳的另一端,绕定点一周画出轨迹图形。 师问:轨迹是什么图形? 生答:轨迹是圆。

(3)在纸上确定两点,一人把绳的两端固定在两点上(绳长大于两点的距离) ,另一人 将铅笔尖套在绳子里并拉紧绳子,使笔尖顺势移动一周画出轨迹图形。 师问:轨迹是什么图形? 接着教师多媒体演示 设计思想: 以神舟七号载人飞船发射成功为载体进行爱国主义教育; 以动手做实验为学 生归纳椭圆定义做准备, 贴近生活, 调动了学生学习数学的积极性, 培养了学生的归纳能力。 师: 同学们把圆的作图过程和圆的定义作比较, 如何从圆的作图过程抽象出圆的定义? 生:在圆的作图过程中,笔尖是动点,笔尖到定点的距离都等于绳长,是一个定值。圆 的定义是:到定点的距离等于定长的点的轨迹。 师:类似地,请同学们根据刚才椭圆的作图过程给椭圆下定义。 学生通过刚才动手操作、亲身体会,结合观察、分析、类比、讨论、抽象、归纳,一系 列的探究过程(老师可酌情加以引导、帮助) 。 生:到两个定点的距离和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 师:很好,但同学们思考一下,在椭圆的作图过程中为什么要求绳长比两点的距离长? 再重复椭圆的作图过程, 如果绳长等于或小于两定点的距离, 情况又如何?是否还是一个椭 圆?(让学生再次动手操作,相互讨论) 生:绳长等于两定点的距离时,点的轨迹是线段;绳长比两定点的距离短时,无轨迹。 由此得出,在椭圆的定义中必须加上定长大于两定点的距离的条件。 师 生 一 起 逐 步 完 善 椭 圆 的 定 义 : 平 面 内 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 和 等 于 常 数 2a(2a> F1 F2 )的点的轨迹叫作椭圆。(强调:不能忽视括号里的条件) 生答:轨迹是椭圆

如果把引入阶段看作是形成概念的毛坯, 那么接下来便是去粗存精、 由表及里的思维加 工阶段,其主要任务是通过抽象化、形式化来掌握概念的内涵,廓清概念的外延。学生通过 自己参与形成和表述定义的过程,培养了抽象概括能力,加深了对定义的辨析、理解,而不 是纯粹的死记硬背。美国心理学家布鲁纳就说过: “探索是数学的生命线。 ” 三、运用题组教学深化定义理解的策略 用题组教学深化定义理解的 定义理解 在数学教学中, 学生对定义的理解与接受需要一个领会与消化过程, 有些定义比较抽象, 学生一时难以理解。 教师可充分挖掘定义的内涵和外延, 设计配套题组, 将概念依托与题目, 从抽象转为具体,从反复识记转向可操作性的题目解答;使学生通过观察、思考、题目的变 式,逐步理解定义的内涵,认识定义的“原型”,帮助学生突破难点。 例如,在讲解了反函数定义后,教师可以用以下题组让学生练习与思考: 例 1、 (1)函数 y=5x+1(x ∈ R)的反函数是 (2)函数 y= ; ;若 x ∈ R 呢?

x 2 (x>0)的反函数是

3

(3)若函数 f(x)= x +2ax+2a-1(x ≥ 1)存在反函数,则实数 a 的取值范围是
2



(4)函数 f(x)= x +1/ x -1(x ≥ 0)的反函数 f
2 2 x

?1

(x)的定义域为



(5)已知函数 f(x)= a +b 的图象过点(1,4) ,它的反函数图象过点(2,0)求 f(x). 反函数概念是函数这一章的难点之一, 我们通过以上题组使学生明确以下几个问题: 1) ( 什么函数存在反函数(存在反函数的条件)(2)一个函数和它的反函数有什么关系; ; (3) 如何求一个函数的反函数。 此环节操作成功与否,将直接影响学生对数学定义的巩固,以及解题能力的形成。 四、注重数学定义是后续概念及性质衍生根源的策略 注重数学定义是后续概念及性质衍生根源的 根源 定义和公理都是前人经验的概括、总结,不需证明。数学就是在定义和公理基础上,通过 推理、论证,演绎出的一整套由概念、定理组成的逻辑体系。例如由三角函数定义衍生出: (1)三角函数值在各个象限的符号, (2)三角函数线, (3)同角三角函数的基本关系式, (4)三角函数的诱导公式, (5)三角函数的图象和性质等。有些学生不善于把知识客串起 来,却把学过的定义搁置、孤立在一边,总觉概念、公式太多,记不住,当然不会综合、灵

y ,是一个“比值” ,强调的是 r “对边与斜边的比值” 。当然,这里的 y 严格地说是“点的纵坐标” ,所以 y∈ R ,又 r>0,
活应用。其实,正弦函数的定义映射出它的解析式 y=sin α = 那么由分式的特点,以上的概念、性质、公式就会油然而生,不会再感到生硬、林乱、枯燥、 繁多。 可见, 三角函数的定义在三角函数教学中, 可谓重中之重, 是整个三角部分的奠基石, 它贯穿于与三角有关的各部分内容,并起着关键作用。 “磨刀不误砍柴工”,重视定义教学,挖掘定义的内涵与外延,充分利用定义是后续概 念、性质生成之源。当学生在应用性质出现障碍时,可追溯到生成性质的定义,重新推理得 到,避免出现思路的断点,真可谓是“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村” , “ 。进行一系列概 念的有效教学,是我们平时教学中不可忽略的一面,常常会起到事半而功倍的效果。 五、突出问题解决中回归定义的策略 突出问题解决中回归定义的策略 问题解决中回归定义 定义揭示的是事物的本质属性,同时也是一种思维过程,如“两异面直线所成角”“线 、 面所成角” ,这类定义本身就蕴含着,如何求“……”的操作方法,即思路。作为定义它可 以互逆运用,它自身就是一个性质(不需证明,学生反而容易忽略) 。好多数学问题都可以 用定义法来解决,若能灵活应用定义进行求解,往往能迎刃而解,或可以避免繁杂的运算, 使解题过程得以优化。

x2 y2 例 2、已知 F1 、 F2 是双曲线 2 - 2 =1(a>0,b >0)的左右焦点,A 是双曲线的右顶点, a b P 在双曲线的右支上(P 点不在 x 轴上) ? F1 P F2 的内切圆与 x 轴切于 E 点,则 E 点的位 ,
置在( ) (A)A 点的左侧 (C)A 点处 (B)A 点的右侧 (D)不能确定

解 : 如 图 1 , 设 圆 O 和 P F1 、 P F2 分 别 切 于 点 M 、 N 。 利 用 切 线 长 定 理 可 知

4

F1 M

图 F1E

=

F1 E

,

F2 N
- F2 N =(

=

F2 E

,

PM

=

PN

. -

- F2 E

= F1 M

F1 M +
y

MP )-( F2 N +

PN )= PF1

PF2

=2a ,故 E 点在双曲线的右支上,又Q E 点在 x 轴上,∴ E 和 A 重合。选 C.

P M N

x
F1 O A E F2

在教学中,教师最容易犯的错误,就是低估完整教授定义所要花费的时间(即使是最简 单的概念) ,忽视数学定义在数学解题中的应用。我们应深刻地认识到,如果学生对数学概 念的理解是错误的,或不够全面,那么学生在解决问题时,赖以思维的对象就是错误的,这 直接影响着思维能力的发展,就会表现出思路闭塞、逻辑紊乱的低能。俗话说:一切回归自 然。那么在数学思维和问题解决中:也可以说,一切回归定义。 六、引导学生感悟数学定义中独特美的策略 引导学生感悟数学定义中独特美 感悟数学定义 数学定义是构成数学内容体系的最基本元素, 是学生进行数学思维的细胞。 数学定义的 名称, 用来描述定义的文字意简深邃, 符号精美绝伦……无不闪现数学大师们思想深处那汩 汩不息的美感之源所散发出的激情与脉动,无不感受到其简约的表述之下所蕴涵的深远意 境。徐利治教授曾说过: “作为科学语言的数学,具有一般语言文学与艺术所共有的美的特 点,……”这是一种自然、独特、和谐、冷而严肃的美。如果有人感到某个定义不自然,是 强加于人的,那么只要想一下他的背景,它的形成过程,它的应用,以及它与其它概念的联 系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味。 这就是数学的美——形式的美、内容的美,思维的美……每个学生对这种美的感受不一样, 教师要适时地进行引导,让学生在细细品味这美的同时,享受学数学的乐趣。 由于定义教学在整个教学过程中起着举足轻重的作用, 我们应重视数学定义的教学。 这 种重视并不是盲目、孤立的识记,而是类比、联系地学,既要看到它的具体背景,不使概念 “空洞” ,又要在具体例子中想到它蕴含的一般概念,以使事物有“灵魂” 。 【参考文献】 : (1) 季素月 《给数学教师的 101 条建议》 南京师范大学出版社 2005 (2)雷玲 《中学数学名师教学艺术》 华东师范大学出版社 2007.12 (3)(美)理查德·I·阿兰兹(Richard I· Arends) 《学会教学》 华东师范大学出版社 (4)钱珮玲 邵光华 《数学思想方法与中学数学》 北京师范大学出版社 (5)施良方 崔允漷 《教学理论:课堂教学的原理、策略与研究》 华东师范大学出版社

5

6


相关文章:
提升高中数学概念教学有效性的策略研究_图文.doc
提升高中数学概念教学有效性的策略研究 优化概念教学...x 1 1 生:当自变量 x 取一对相反数时, y 亦...试论高中数学课堂教学有... 4页 免费 高中数学...
“APOS理论”指导下的高中数学概念教学.doc
“APOS理论”指导下的高中数学概念教学_学科竞赛_...关键词:APOS 理论;教学策略;案例;反思 概念是思维...? ) ,因此,无论从 图像上,还是从定义上, y ?...
提升高中数学概念教学有效性的策略研究.doc
高中数学概念教学有效性的策略研究 摘要:概念的教学...x 1 1 生:当自变量
试论高中数学有效课堂教学策略.doc
论高中数学有效课堂教学策略 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 试论高中数学有效课堂教学策略 作者:江海洋 来源:《理科考试研究 高中》2013 年第 11...
提升高中数学概念教学有效性的策略研究 (2).doc
高中数学概念教学有效性的策略研究 摘要:概念的教学..., f (3) 与 f
浅论高中数学的有效备课策略.doc
浅论高中数学的有效备课策略_教学案例/设计_教学研究...亦 步亦趋地跟从教材,使自己变成“传声筒”和“...试论高中数学有效的课堂... 18人阅读 2页 ...
论优化高中数学教学的策略_论文.pdf
论优化高中数学教学策略 - 兴趣培养是学好数学的关健 乐冬华 方 乐明 437
新课改下高中数学课堂教学策略分析论文.doc
新课改下高中数学课堂教学策略分析 【摘要】新课程改革下,高中数学教学的内容和...数学教学不只是要学生知道基本的数学概念和结 论,而且应该知道概念和结论产生的...
高中数学概念教学路径探析_论文.pdf
高中数学概念教学路径探析_数学_高中教育_教育专区。, 0 ,寸 夺 争 争 争 ...学概念 蕴含 着丰富的数学思想,是处理与分析问题所要借助 的一 种策略,也是...
论在高中数学教学中数学文化渗透的策略.doc
论在高中数学教学中数学文化渗透的策略 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 论在高中数学教学中数学文化渗透的策略 作者:杨彪 来源:《中学课程辅导 教师...
高中数学阅读教学的策略探究_论文.pdf
教学篇经验交流 高中数学阅读教学策略探究 张芳 ...离不开阅读, 数学教学亦是如此。数学文字 的教学。...浅谈高中数学的探究式教... 5人阅读 1页 0...
b6浙江省宁波市高中数学教学论文 学生数学自主性学习培....doc
自主性学习培养的策略 (2)_初二数学_数学_初中教育...如立体几何开篇,为尽快建构学生的空间概念,发给每位...浅谈初中数学教学中培养... 6页 2下载券 浅谈在...
仅供参考的校本课题.doc
课堂教学模式的实践策略 21.浅谈数学直觉思维及培养 ...布置数学家庭作业才能提高教学质量 33.亦喜亦 CAI...在生物学中建构概念教学策略研究 32.利用三整合...
浅谈高中数学教学中的类比_论文.pdf
浅谈高中数学教学中的类比_专业资料。《普通高中数学课程标准(实验)》明确要求“能
高中数学教学论文 初高中数学衔接中的问题分析和对策探....doc
策略与同仁们汇报一下. 一、从困惑中发现必须要衔接 开展过新课程标准实验教学...的概念,几何中大大减少定理的数量 圆 其它 表 5.与以前知识、高中教师原有...
浅谈高中数学复习课的教学策略_论文.pdf
浅谈高中数学复习课的教学策略_数学_高中教育_教育专区。? 96? 高教 论坛 浅谈高 中数学 复 习课 的教 学策略 汤加付 ( 淮安市范集 中学, 江苏 淮安 22...
提升高中数学教学有效性的策略探析_论文.pdf
提升高中数学教学有效性的策略探析 - 【数学教学研究】 提升高中数学教学有效性的策略探析 朱铁军 吉林 长春 (吉大附中实验学校, 130021) 数学是一门基础性学科,在...
高中数学教学策略探讨_论文.pdf
高中数学教学策略探讨_教学案例/设计_教学研究_教育...然而高 中数 学教学不可 一切 只为 高考 . 亦...浅谈高中数学的探究式教... 4人阅读 1页 0...
高中数学教师教学计划(共七篇).doc
高中数学教师教学计划(共七篇) - 凡是预则立,不预则废。教学亦是如此。... 凡是预则立,不预则废。教学亦是如此。 高中数学教师工作计划(共七篇)篇一 本学期...
新课标下高中数学概念图教学的实践与探索_论文.pdf
- 之间联系的一种教学策略,在高中数学章节复习 课的教学中能发挥较好的作用。 ...高中数学概念教学亦是如此,使严 密、 抽象的数学概念更容易被理解。 认知...
更多相关标签: