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二-圆锥曲线的参数方程


导入新课
前几节课我们学习了圆 x ? y ? 1 x ? cos ? 的参数方程是 那么,对于椭圆 y ? sin ?
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 ,它的参数方程用什么来表示呢? 2 a b

过程与方法
1.掌握用参数方程的思想方法来认识问题.

情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.

从几何变换的角度看,通过伸缩变换
x? ? 1 x a 1 y? ? y b

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 可以变成 a b

2 2 ? ? x ? y ? 1 ,利用圆的参数方程 圆

x ? ? cos ? y? ? sin ?可以得到椭圆的参数方程为: x ? a cos ?

y ? b sin ?

?为离心角

1.如图,以原点O为圆心,

分别以a,b(a>b >0)为半径,作两个同心圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作

OA ? OX ,垂足为N.过点B作
BM ? AN ,垂足为M,求当半径

y
A

B
O

M

OA绕点O旋转时,点M的
轨迹的参数方程.

N

x

? 是以Ox 解:设点M的坐标为(x,y),
为始边,OA为终边的正角,取 ? 为参数. 那么,
x ? ON ?| OA | cos ? , y ? NM ?| OB | sin ?

即所求点M的轨迹参数方程为.
? x ? a cos ? (?为参数) ? ? y ? b sin ?

这是中心在原点O,焦点在X轴上的椭圆

x2 2.求椭圆 ? y 2 ? 1上的点P到直线 4

x ? y ? 4 ? 0 的最大距离及此时P点的坐标.
解:由已知,可得椭圆的参数方程为 ∵椭圆上的点 P (2cos ? ,sin ? )(0 ? ? ? ? )
? x ? 2cos ? , (0 ? ? ? ? ) ? ? y ? sin?

到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离

?

| 5 sin(? ? ? ) ? 4 | 5

.其中sin ? ?
2

2 5

,cos ? ?

1 5

.

当 sin(? ? ? ) ? 1时, 即? ? ? ? ?

? d max ?

5?4 5

, 2 5 ,

此时 cos ? ? ? sin ? ? ? 1

4 5 5 sin ? ? cos ? ? ,? P ( ? , ). 5 5 5

课堂练习
2 2 x ? 8 y ? 8上求一点P,使P 1.在椭圆

到直线l : x ? y ? 4 ? 0 的距离最小.

22 2 , 此时cos? ? cos(? ? ? )cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? ? 13 sin ? ? sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? . 3 8 1 P的坐标为( ? 3 , 3 )

P(2 2 cos? ,sin? ) 解:由已知得, | 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 则点P到直线的距离为: d? 2 2 1 2 其中cos ? ? 3 ,sin ? ? 3 . 2 cos( ? ? ? ) ? ? 1 当 时, d取最小值

导入新课
类似于探究椭圆参数方程的方法我们
来探究双曲线

x y - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程. 2 a b

2

2

过程与方法
1.掌握用参数方程的思想方法来认识问题.

情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.

如图,以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径

分别作同心圆C1,C2.
设A为圆C1上任意

y B′ A

一点,作直线OA,
过点A作圆C1的

?M
A′ x

切线 AA′ 与X轴交于
点 A′ ,过圆C2与

O B

x轴的交点B作切线 BB′ 与直线OA交于点 B′ .

′ , B分别作 过点 A′ y轴,x轴的平行线
A′ M , B′ M 交于点M.

设OX为始边, OA为终边的角为

y
A
B′

? ,点M的坐
标为(x,y),那么

?M
A′

o

B

x

点 A′ 的坐标为(x,0)
点 B′ 的坐标为(b,y).

因为点A在圆上,所以点A的坐标为
??? ? (a cos ? , a sin ? )所以 OA ? (a cos? , a sin? ),

???? AA? ? ( x ? a cos? , ?a sin? )
??? ? ???? 因为 OA ? AA?

y

B′

A
o B

?M

??? ? ???? 所以 OA ? AA? ? 0
从而 a cos ? ( x ? a cos ? ) ? (a sin? )2 ? 0

A′

x

解得

因为点B′ 在角? 的终边上,
y 所以 tan ? ? b , y ? b tan ?

1 x ? a? ? a sec ? cos ?

所以点M的参数方程为: x ? a sec ? y ? b tan ? ?为离心角

这是中心在原点,焦点在X轴上的双曲线, 通常规定参数 ? 的范围是 ? 3? ? ?[0, 2? ? 且 ? ? ,? ?
2 2

x y 1.设M为双曲线 2 ? 2 ? 1(a , b ? o) a b 上任意一点,O为原点,
过M作双曲线两渐近线的平行线,
分别与两渐近线交于A,B两点,

2

2

y o

A
B

?M

求平行四边形MAOB的面积,
由此得出什么结论?

x

解:双曲线的渐近线方程为 b y ? ? x a 设M为双曲线右支上一点,

y
A
M

其坐标为(a sec ? , b tan ? ) ,

o
B

?

x

其直线MA的方程为 b y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ) a b 将 y ? x代入此方程,解得点A的横坐标为,
a a x A ? (sec ? ? tan ? ) 2

同理可得,点B的横坐标为
a xB ? (sec ? ? tan ? ) 2 b 设 ?AOX ? ? 则 tan ? ?
a

y
A
M

因此平行四边形MAOB的面积为
x x S ?| OA | ? | OB | sin 2? ? A ? B ? sin 2? cos ? cos ? a 2 (sec 2 ? ? tan 2 ? ) ? ? sin 2? 2 4cos ? ab ? 2

o
B

?

x

因此,平行四边形的面积恒为定值, 与点M在双曲线上的位置无关.

课堂练习
2 2 x y 1.设双曲线 (a>0,b>0) ? ? 1 a2 b2 的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的

离心率等于( C )
A、 3 B、2 C、 5 D、 6

x2 y2 2.求证:双曲线 2 ? 2 ? 1 a b
上任一点P到两渐近线距离之积为定值
A P O B X

解:设P(asec?,btg ?) 两渐近线方程为:bx+ay = 0, 则
d1d 2 ? ab ? sec ? ? tg? ? a ?b
2 2

?

ab ? sec ? ? tg? ? a 2 ? b2

a 2b2 = 2 2 a ?b

(定值)

导入新课
前面曾经得到以时刻t作参数的抛物线的参数方程:
x ? 100t



1) 2 y ? 500 ? gt 2

100 ) ( t 为参数 (0 ? t ? g

想想对于一般的抛物线,建立怎样相应的 参数方程呢?

如图,设抛物线的普通方程 y=2px , P点表示焦点到 准线的距离,设M(x,y)为抛物 线除顶点外的一点,以射线 OM为终边的角记为? 由三角函数 定义可得: x ? tan ? y 2p 解得, x ? tan ?
2

y

M(x,y)

0

x

y?

2p tan ?

这就是抛物线的参数方程.

1 , t ? ( ??,0) ? (0, ??) 令t ? , tan ? 则有,抛物线y2=2px的参数方程为
x ? 2 pt 2 y ? 2 pt



t 为参数)

当t=0,此参数方程表示抛物线的顶点(0, 0),因此,当

t ? (??, ??)
此参数方程表示整条抛物线,参数t

表示抛物线上除顶点外的任意一点

与原点连线的斜率的倒数.

1.如图, A,B是抛物 y ? 2 px( p ? 0)
2

y

A
0

上异于顶点的两动点,
且OA ? OB,OM ? AB

M x

并与AB相交于点M,
求点M的轨迹方程.

B

解:根据条件,设点M,A,B 的坐标分别为 ( x, y),(2 pt 2 ,2 pt ),(2 pt 2 ,2 pt ), 1 1 2 2
???? ? ??? ? OM ? ( x, y), OA ? (2 pt12 ,2 pt1 )

(t1 ? t2 , t1 ? t2 ? 0)

y

A
0

??? ? 则 OB ? (2 pt 2 , 2 pt ), 2 2 ??? ? AB ? (2 p(t22 ? t12 ),2 p(t2 ? t1 ))
2 2 (2 pt t ) ? (2 p ) t1t2 ? 0 即 1 2

M x

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因为 OA ? OB所以 OA ? OB

B

所以 t1 ? t2 ? ?1

高考链接
(2009年全国)
x2 1.已知椭圆C : ? y 2 ? 1的右焦点为 F , 2 右准线为 l ,点 A ? l,线段 AF 交C于点



??? ? ??? ? FA ? 3FB
2

???? ? ,则| AF | =(

A)

A、

B、2 D、3

C、 3

解:过点B作BM ? l 于M,并设右准线 l 与 X轴的交点为N,易知FN=1.由题意,
??? ? ??? ? 2 | BM |? FA ? 3FB 故

得:

3

.又由椭圆的第二定义,

2 2 2 | BF |? ? ? 2 3 3

?| AF |? 2 ,故选A

(2009年全国) 2.设双曲线
x2 y2 ? 2 ?( 1 a>0,b>0)的渐近 2 a b

线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率 等于( C ) A、 3 B、2 C、 5 D、 6

解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y ' | x ? x0 ? 2 x0 .由题意有
y0 ? 2 x0又 y0 x0

? x02 ? 1

解得,x 2 ? 1,? b ? 2, e ? 1 ? ( b )2 ? 5 0
a a

.

(2009年全国理) 3.已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 2 C : y ? 8 x 相交于A,B两点,F为C 与抛物线 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | 则 k ? ( D)
1 A、 3

B、 2 3

2 C、 3

D、2
3

2

2009年(理工农医类)(北京卷)
x2 y2 4.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 a b

右准线方程为 (Ⅰ)求双曲线的方程;
2 2 O : x ? y ? 2 上动点 (Ⅱ)设直线 l 是圆

x?

3 3

P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, A, B , l 与双曲线交于不同的两点

证明的 ?AOB 大小为定值.

解:(Ⅰ)由题意,得,
a ? 1, c ? 3 解得,

? a2 ? ? ? c ? ?c ? ? ?a

3 3 3

∴ b2 ? c 2, ? a 2 ? 2 ∴所求双曲线的方程为

2 y x2 ? ?1 2

2 2 P x , y x y ? 0 ? ?? ? x ? y ?2 (Ⅱ)点 在圆 上, 0 0 0 0

圆在点 P ? x0 , y0 ?处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 x ? x0 ? ? y0

化简得 x0 x ? y0 y ? 2 y2 由? 2 ?1 ?x ?
2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

2 2 及 x0 ? y0 ? 2 2 2 2 得, 3 x ? 4 x ? 4 x x ? 8 ? 2 x ? 0 ? 0 0 ?0 ∵切线 l 与双曲线C交于不同的两点A、B, 2 且, 0 ? x0 ?2 2 2 2 2 ? ? 16 x ? 4 3 x ? 4 8 ? 2 x ? 0 ?? ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 且 0 0?? 0

设A、B两点的坐标分别为? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 2 则, 4 x0 8 ? 2 x0
x1 ? x2 ? 3x ? 4
2 0

, x1 x2 ?

2 3 x0 ?4

??? ? ??? ? OA ? OB ? ??? ? 又 cos ?AOB ? ??? | OA | ? | OB |

??? ? ??? ? 1 且 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 (2 ? x0 x1 )(2 ? x0 x2 ) y0 1 2 ? ? ? x1 x2 ? 4 ? 2 x x ? x ? x 0? 1 2? 0 x1 x 2 ? 2 ? 2 ? x0 2 2 2 2 ? ? x 8 ? 2 x 8 ? 2 x0 8 x0 1 0? 0? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3 x0 ? 4 2 ? x0 ? 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4 ? ? ?

8 ? 2x 2x ? 8 ? 2 ? ?0 3 x0 ? 4 3 x ? 4
2 0 2 0 2 0

所以?AOB 的大小为90°

(2009年全国)

y
A

M P

4.如图,已知抛物线

D X

E : y 2 ? x 与圆
M :( x ? 4)2 ? y2 ? r 2 (r ? 0)相交于 A、B、C、D四个点 (I)求r的取值范围;
(II)当四边形的 ABCD面积

o
B C

最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.

2 解:(I)将抛物线 E : y ? x与圆的方程 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 联立,消 去y 2 ,整理得 x 2 ? 7 x ? 16 ? r 2 ? 0 .......(1)

抛物线E : y 2 ? x 与圆
M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0)相交于A、B、C、D

四个点的充要条件是:方程(1) 有两个不相等的正根即可.由此得,
? ? ? ( ?7)2 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 7 ? 0 ? 2 x x ? 16 ? r ?0 ? 1 2

15 2 ? r ? 16 解得 ,又 4

r ?0

所以

r ?(

15 , 4) 2

(II)设E与M的四个交点的坐标分别为: 、 、 、 A( x1 , x1 ) B( x1 , ? x1 ) C ( x2 , ? x2 ) D( x2 , x2 )

则直线AC,BD的方程分别为
y ? x1 ? ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? ( x ? x1 ), y ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? ( x ? x1 )

解得点P的坐标为 ( x1 x2 , 0)

设t ?

x1 x2由 t ? 16 ? r 2及(I)知

1 S ? ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2
S 2 ? [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 )

7 0 ? t ? 由于四边形为等腰梯形,因而其面积 2

将x1 ? x2 ? 7, x1 x2 ? t 代入上式,令f ( t ) ? S 2得 7 2 f (t ) ? (7 ? 2t ) ? (7 ? 2t )(0 ? t ? ) 2

f ' (t ) ? ?2(7 ? 2t ) ? (6t ? 7)

7 7 令 f (t ) ? 0,解得 t ? , t ? ? (舍去) 6 2
'

当0 ? t ?

7 6

时,f ' (t ) ? 0;

7 t ? f ' (t ) ? 0 ; 时, 6

7 7 ?t? ' f (t ) ? 0; 时, 6 2

7 故当且仅当 t ? 时, f ( t ) 有最大值, 6

即四边形ABCD的面积最大,故所求的

7 点P的坐标为 ( , 0) 6

3.证明:设等轴双曲线的普通方程为

x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0),则它的参数方程为 a x ? ? ( 为参数) cos ?
y ? a tan ?

a , a tan ? ) 是双曲线上任意一点, 设 M( cos ?
a a a2 | ? a tan ? | | ? a tan ? | | 2 ? a 2 tan 2 ? | 2 a (常数) cos ? cos ? cos ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 1 ?1 1 ?1

则点M到两渐渐线y=x及y=-x的距离之积为


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