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【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第26讲 建构数列模型的应用性问题(含详解)

建构数列模型的应用性问题
题型预测 数列作为特殊的函数, 在高中数学中占有相当重要的位置, 涉及实际应用的问题广泛而 多样,如:增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充分应用观察、归纳、猜想的手段, 注意其间的递推关系,建立出等差、等比、或递推数列的模型. 建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向. 范例选讲 例 1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到 2000 年底全县的绿地 已占全县总面积的 30%.从 2001 年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度,则每 年有 16%的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地的 4%又被侵蚀,变成了沙漠. (Ⅰ)在这种政策之下,是否有可能在将来的某一年,全县绿地面积超过 80%? (Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的 60%? 讲解: 本题为实际问题, 首先应该读懂题意, 搞清研究对象, 然后把它转化为数学问题. 不 难看出,这是一道数列型应用问题.因此,我们可以设: 全县面积为 1,记 2000 年底的全县绿地面积占总面积的百分比为 a0 ,经过 n 年后全县 绿地面积占总面积的百分比为 an ,则我们所要回答的问题就是: (Ⅰ)是否存在自然数 n ,使得 an >80% ? (Ⅱ)求使得 an >60%成立的最小的自然数 n . 为了解决这些问题,我们可以根据题意,列出数列 ?an ? 的相邻项之间的函数关系,然后 由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式. 由题可知: a0 ? 30% ?

3 , 10 4 4 an ? 5 25

a n?1 ? ?1 ? 4%?an ? 16%?1 ? a n ? ?
所以,当 n ? 1时, a n ?

4 4 ,两式作差得: an?1 ? 5 25 4 a n?1 ? a n ? ?a n ? a n?1 ? 5

又 a1 ? a0 ? ?

4 ? 4 1 1 ?4 a0 ? ? ? a0 ? ? a0 ? , 25 ? 25 5 10 ?5

1

所以,数列 ?an ? an ?1? 是以 a1 ? a0 ?

1 4 为首项,以 为公比的等比数列. 5 10

所以, an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a1 ? a0 ? ? a0

1 4 (1 ? ( )n ) 5 ? 3 ? 4 ? 1 ? ( 4 )n ? 10 4 10 5 2 5 1? 5 4 由上式可知: 对于任意 n ? N , 均有 a n ? . 即全县绿地面积不可能超过总面积的 80%. 5 3 4 n 2 (Ⅱ)令 a n ? ,得 ( ) ? , 5 5 5 4 n 由指数函数的性质可知:g ? n ? ? ( ) 随 n 的增大而单调递减, 因此, 我们只需从 n ? 0 5 4 n 2 开始验证,直到找到第一个使得 ( ) ? 的自然数 n 即为所求. 5 5 4 n 2 4 n 2 验证可知:当 n ? 0,1, 2,3, 4 时,均有 ( ) ? ,而当 n ? 5 时, ( ) ? 0.32768 ? , 5 5 5 5 4 n 2 由指数函数的单调性可知:当 n ? 5 时,均有 ( ) ? . 5 5
所以, 2000 年底开始, 年后, 2005 年底, 从 5 即 全县绿地面积才开始超过总面积的 60%. 点评: (Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定 n 的值. 例 2.某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房.他选择 10 年期贷款,偿还贷款的方 式为:分 10 次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还,若 10 年期贷款的年利率 为 4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息) ,问每年应还多少 元(精确到 1 元)? 讲解:作为解决这个问题的第一步,我们首先需要明确的是:如果不考虑其它因素, 同等款额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说:现在的 10 元钱,其价值应该大于 1 年 后的 10 元钱.原因在于:现在的 10 元钱,在 1 年的时间内要产生利息. 在此基础上,这个问题,有两种思考的方法: 法 1.如果注意到按照贷款的规定,在贷款全部还清时,10 万元贷款的价值,与这个 人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全 部付清时)去计算. 10 万元,在 10 年后(即贷款全部付清时)的价值为 10 ?1 ? 4% ? 元.
5 10

设每年还款 x 元.则第 1 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x ?1 ? 4% ? ;
9

第 2 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x ?1 ? 4% ? ;
8

……; 第 10 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x 元.于是: 105×(1+4%)10= x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+…+x
2

由等比数列求和公式可得: 10 ?1.04 =
5 10

1.0410 -1 ? x .其中 1.04-1

1.0410 =(1+0.04)10 =1+10 ? 0.04+45 ? 0.042 +120 ? 0.043 +210 ? 0.044 +? ? 1.4802
所以, x ?

105 ?1.4802 ? 0.04 =12330 0.4802

法 2.从另一个角度思考,我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少 钱. 仍然设每年还款 x 元.则第一年还款后,欠银行的余额为: ?10 ?1 ? 4% ? ? x ? 元; ? ?
5

如果设第 k 年还款后,欠银行的余额为 ak 元,则 ak ? ak ?1 ?1 ? 4% ? ? x . 不难得出: a10 =105×(1+4%)10-x(1+4%)9-x(1+4%)8-x(1+4%)7-…-x 另一方面,按道理,第 10 次还款后,这个人已经把贷款全部还清了,故有 a10 ? 0 .由 此布列方程,得到同样的结果. 点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决问题的关键在于:1.分清单利、复利 (即等差与等比) ;2.寻找好的切入点(如本题的两种不同的思考方法) ,恰当转化. 例 3.将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种,要使得相邻的边的颜色 互不相同,有多少种不同的涂色方法? 讲解:本题从表面上看是排列组合的问题,与数列没有关系,但直接考虑并不简单,为 此,我们考虑更一般的问题(即对于 n 边形的涂色问题) ,并建构如下递推数列的模型: 设 n 边形(各边依次为 a1 , a2 , …, an )满足条件的涂色方法有 bn 种.考虑 n+1 边形的涂 法: 从边 a1 开始考虑,对于 a1 ,有 3 种涂法;对于边 a2 ,由于要不同于边 a1 ,故有 2 种涂 法;……;对于 an ,有 2 种涂法;最后考虑边 an ?1 ,如果不考虑这条边是否与边 a1 同色, 则也应该有 2 种涂法,故涂法种数为 3 ? 2 .
n

上述涂色的方法中,包括两种,第一种是边 an ?1 与边 a1 的颜色不同,这种涂色方法恰好 符合题意,其总数应该为 bn ?1 ;第二种是边 an ?1 与边 a1 的颜色相同,对于这一种涂色方法, 如果我们把边 an ?1 与边 a1 看作是同一条边,则其涂色方法也满足题目中对于 n 边形的要求, 故涂色方法总数应该为 bn .由此,不难得出:

bn ?1 ? bn ? 3 ? 2n .
3

所以, bn ?1 ? bn ?1 ? 3 ? 2

n ?1

.另一方面,显然有 b3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6 .所以,

b2 k ?1 ? ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ? ? ? b2 k ?1 ? b2 k ?3 ? ? ? ? ? b5 ? b3 ? ? b3 ? 3 ? 22 k ?1 ? 3 ? 22 k ?3 ? ? ? 3 ? 23 ? 3 ? 2 ? 22 k ?1 ? 2
b2 k ? 3 ? 22 k ? b2 k ?1 ? 22 k ? 2 , ? k ? N , 且k ? 2 ?
显然, b4 ? 18 . 点评:本题的难点在于递推数列模型的建立.一般来说,数列型应用题的特点是:与 n 有关.

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