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高三数学培优补差辅导专题讲座-正弦定理、余弦定理及其应用


正弦定理, 正弦定理,余弦定理及其应用
考试要求:掌握正弦定理,余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.

正,余弦定理的五大命题热点
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已知条件 中的边,角关系转化为角的关系或边的关系.在近年高考中主要有以下五大命题热点:

一,求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线 (高线,角平分线,中线)及周长等基本问题. 例 1 ABC 中, A =

π
3

,BC=3,则 ABC 的周长为( )

A. 4 3 sin B +



π

+3 3

B. 4 3 sin B +



π

+3 6

C. 6 sin B +



π

+3 3

D. 6 sin B +



π

+3 6

分析:由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 b+c,则周长为 3+b+c 而得到结果. 解:由正弦定理得:

b c b+c b+c = = = , π sin B sin C sin B + sin C 2π sin sin B + sin( B) 3 3 2π π 得 b+c= 2 3 [sinB+sin( -B)]= 6sin( B + ) .故三角形的周长为:3+b+c= 3 6 3 =

π 6 sin B + + 3 ,故选(D). 6
评注:由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时,即 B= 故排除(A),(B),(C).而选(D). 例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中,已知 AB =

π
6

,周长应为 3 3 +3,

4 6 6 , cos B = ,AC 边上的中 3 6

线 BD= 5 ,求 sinA 的值. 分析:本题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA. 解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE =
2 2

1 2 6 AB = ,设 BE=x 2 3
2

新疆 王新敞
奎屯

在ΔBDE 中利用余弦定理可得: BD = BE + ED 2 BE ED cos BED ,

5 = x2 +

8 2 6 6 7 + 2× × x ,解得 x = 1 , x = (舍去) 3 3 6 3
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2 2 2 故 BC=2,从而 AC = AB +BC 2AB BC B = cos

2 21 30 28 ,即 AC = 又 sin B = , 3 3 6
新疆 王新敞
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2 21 2 70 故 = 3 , sin A = sin A 14 30 6

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二,判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形 判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式, 的形状. 的形状.
例 3 在 ABC 中,已知 2 sin A cos B = sin C ,那么 ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解法 1:由 2 sin A cos B = sin C =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0,得 sin(A-B)=0,得 A=B.故选(B). 解法 2:由题意,得 cosB=

sin C c a2 + c2 b2 = ,再由余弦定理,得 cosB= . 2sin A 2a 2ac

a2 + c2 b2 c 2 2 ∴ = ,即 a =b ,得 a=b,故选(B). 2ac 2a
评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法 1),⑵统一 化为边,再判断(如解法 2).

三, 解决与面积有关问题 主要是利用正,余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 主要是利用正,余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.
例 4 在 ABC 中,若 ∠A = 120 , AB = 5 , BC = 7 , 则 ABC 的面积 S=_________
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分析:本题只需由余弦定理,求出边 AC,再运用面积公式 S=

1 ABACsinA 即可解决. 2

解:由余弦定理,得 cosA=

AB 2 + AC 2 BC 2 25 + AC 2 49 1 = = ,解得 AC=3. 2 AB AC 10 AC 2

∴ S=

1 15 3 1 1 3 2 ABACsinA= .∴ ABACsinA= ACh,得 h=AB sinA= , 2 4 2 2 2

故选(A).

四,求值问题
例 5 在 ABC 中, ∠A,∠B,∠C 所对的边长分别为 a,b,c ,

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设 a,b,c 满足条件 b + c bc = a 和
2 2 2

c 1 = + 3 ,求 ∠A 和 tan B 的值. b 2

分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正,余弦定理. 解:由余弦定理 cos A =

b2 + c2 a2 1 = ,因此, ∠A = 60° 2bc 2
1 c sin C sin(120° B ) + 3= = = 2 b sin B sin B

在△ABC 中,∠C=180° -∠A-∠B=120° -∠B. 由已知条件,应用正弦定理

=

sin 120° cos B cos 120° sin B 3 1 1 = cot B + , 解得 cot B = 2, 从而 tan B = . sin B 2 2 2

五,正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量,航海,几何等 方面都要用到解三角形的知识,例析如下: (一.)测量问题 例 1 如图 1 所示, 为了测河的宽度, 在一 C 岸边选定 A,B 两点,望对岸标记物 C,测得 ∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河 的宽度. 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边上的高,而在河的一边,已测出 AB 长, B A D ∠CAB,∠CBA,这个三角形可确定. 图1 解析:由正弦定理得

AC AB = ,∴AC=AB=120m, sin ∠CBA sin ∠ACB 1 1 又∵ S△ ABC = AB AC sin ∠CAB = AB CD ,解得 CD=60m. 2 2
点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于"不过河求河宽问题". (二.)遇险问题 例 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15°北的方向, 此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进, 30 分钟后又测得灯塔在它的东 30°北.若此灯塔周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东 航行有无触礁的危险? 解析: 如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15°北的方向上;舰艇航行半小时后到 北 达 B 点,测得 S 在东 30°北的方向上. 在 △ABC 中,可知 AB=30×0.5=15, 东 30° 西 15° A C B ∠ABS=150°,∠ASB=15°,由正弦定理得 南 BS=AB=15,过点 S 作 SC⊥直线 AB,垂足 图2 为 C,则 SC=15sin30°=7.5. 这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里,而灯塔周围 10 海里内有暗礁,故继续航行有触 礁的危险. 点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分清已知
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与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件在图形中 标出; (3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理 求解. (三.)追击问题 例 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 北 方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航 A 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? 45° 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇. B 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 设∠ABC=α,∠BAC=β. 15° ∴α=180°-45°-15°=120°.根据余弦定理

AC 2 = AB 2 + BC 2 2 AB BC cos α ,

C 图3

( 28t )

2

1 2 = 81 + ( 20t ) 2 × 9 × 20t × ( ) , 2

3 9 128t 2 60t 27 = 0 , (4t-3) (32t+9)=0,解得 t= ,t= (舍) 4 32 3 3 ∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile. 4 4

BC sin α 根据正弦定理,得 sin β = = AC
β=arcsin

15 ×

3 2 = 5 3 ,又∵α=120°,∴β 为锐角, 21 14

5 3 5 3 7 2 2 5 3 π ,又 < < ,∴arcsin < , 14 14 14 2 14 4

∴甲船沿南偏东

π
4

-arcsin

5 3 3 的方向用 h 可以追上乙船. 14 4

点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC,AB 边已知,另两边未知, 但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间 t 有关. 这样根据余弦定理,可列出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值.

五,交汇问题
是指正余弦定理与其它知识的交汇, 如与不等式, 数列, 立体几何(特别是求角与距离), 解析几何,实际问题等知识交汇. 例 6 △ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, 已知 a, c 成等比数列,cos B = b, (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA BC =

3 . 4

3 ,求 a+c 的值. 2

分析:本题是正,余弦定理与向量,等比数列等知识的交汇,关键是用好正弦定理,余弦定 理等.

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解: (Ⅰ)由 cos B =

3 3 7 , 得 sin B = 1 ( ) 2 = , 4 4 4
sin 2 B = sin A sin C .

由 b2=ac 及正弦定理得 则 cot A + cot C =

1 1 cos A cos C sin C cos A + cos C sin A + = + = tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin( A + C ) sin B 1 4 = = = = 7. 2 2 sin B sin B sin B 7 3 3 3 2 (Ⅱ)由 BA BC = ,得 cacosB= ,由ㄋ B= ,可得 ac=2,即 b =2. 2 2 4
由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB, 得 a2+c2=b2+2accosB=5. (a + c) 2 = a 2 + c 2 + 2ac = 5 + 4 = 9,

a+c =3

易错题解析
例题 1 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a 2 < b 2 + c 2 ,求 A 的取值范围. 错解:∵ a 2 < b 2 + c 2 ,∴b 2 + c 2 a 2 > 0 .则

cos A =

b2 + c2 a 2 > 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数 2bc

且 cos90° = 0,∴A < 90° 又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°. 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用.题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形 的普通一条边,造成解题错误. 正解:由上面的解法,可得 A<90°. 又∵a 为最大边,∴A>60°.因此得 A 的取值范围是(60°,90°) . 例题 2 在△ABC 中,若

a 2 tan A = ,试判断△ABC 的形状. b 2 tan B

错解:由正弦定理,得

sin 2 A tan A = sin 2 B tan B

sin 2 A sin A cos B 即 = ,∵ sin A > 0, sin B > 0 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A = sin B cos B,即 sin 2 A = sin 2 B .
∴2A=2B,即 A=B.故△ABC 是等腰三角形.
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辨析:由 sin 2 A = sin 2 B ,得 2A=2B.这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函 数的性质,三角变换生疏. 正解:同上得 sin 2 A = sin 2 B ,∴2A= 2 kπ + 2 B 或 2 A = 2 kπ + π 2 B ( k ∈ Z ) . ∵ 0 < A < π, 0 < b < π,∴k = 0,则A = B 或 A = 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 例题 3 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC = 错解:∵A=60°,b=1, S △ABC = ∴ 3=

π
2

B.

3 ,求

a +b+c 的值. sin A + sin B + sin C

3 ,又 S △ABC =

1 bc sin A , 2

1 c sin 60° ,解得 c=4. 2
b 2 + c 2 2bc cos A = 1 + 16 8 cos 60° = 13 6 3 , sin B = . 39 2 39 13 + 1 + 4 . 3 3 6 + + 2 2 39 39

由余弦定理,得 a =

又由正弦定理,得 sin C =



a +b+c = sin A + sin B + sin C

辨析:如此复杂的算式,计算困难.其原因是公式不熟,方法不当造成的. 正解:由已知可得 c = 4 ,a =

13 .由正弦定理,得

2R =

a +b+c 2 39 a 13 2 39 = = .∴ = 2R = . sin A + sin B + sin C 3 sin A sin 60° 3

例题 4 在△ABC 中, c =

6 + 2 ,C=30°,求 a+b 的最大值.

错解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A. 由正弦定理,得

a b 6+ 2 = = sin A sin(150° A) sin 30°

∴a = 2( 6 + 2 ) sin A , b = 2( 6 + 2 ) sin(150° A)
又∵ sin A ≤ 1, sin(150° A) ≤ 1

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∴ a + b ≤ 2( 6 +

2 ) + 2( 6 + 2 ) = 4 ( 6 + 2 ) . 2) .

故 a + b 的最大值为 4( 6 +

辨析:错因是未弄清 A 与 150°-A 之间的关系.这里 A 与 150°-A 是相互制约的,不是 相互独立的两个量, sinA 与 sin(150°-A)不能同时取最大值 1, 因此所得的结果也是 错误的. 正解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A. 由正弦定理,得

a b 6+ 2 = = sin A sin(150° A) sin 30° 2 )[sin A + sin(150° A)]

因此 a + b = 2( 6 +

= 2( 6 + 2) sin 75° A 75° cos( ) 6+ 2 cos( A 75° ) 4 = (8 + 4 3) cos( A 75°≤ 8 + 4 3 ) = 4( 6 + 2)
∴a+b 的最大值为 8 + 4 3 . 例题 5 在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A. 错解:由余弦定理,得 c = a + b 2ab cos15°
2 2 2

= 4 + 8 2×2×2 2×
∴c =

6+ 2 = 84 3 4

6 2.
a sin C 1 = c 2
0 0

又由正弦定理,得 sin A =
0 0

而 0 < A < 180 ,∴A=30 或A = 150 . 辨析:由题意 b > a ,∴ B > A .因此 A=150°是不可能的.错因是没有认真审题,未利 用隐含条件.在解题时,要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析 问题,避免错误发生. 正解:同上 c =

6 2 , sin A =

1 ,∵b > a , 2

∴B > A,且00 < A < 1800,∴A = 300 .
例题 6 在△ABC 中, α cos A = b cos B ,判断△ABC 的形状.
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错解:在△ABC 中,∵ a cos A = b cos B ,由正弦定理 得 2 R sin A cos A = 2 R sin B cos B ∴ sin 2 A = sin 2 B,∴ 2 A = 2 B且 2 A + 2 B = 180° ∴A=B 且 A+B=90° 故△ABC 为等腰直角三角形. 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词"或""且"的意义,导致结论错误. , 正解:在△ABC 中,∵ a cos A = b cos B ,由正弦定理, 得 2 R sin A cos A = 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A = sin 2 B . ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 例题 7 若 a,b,c 是三角形的三边长,证明长为 a , b , c 的三条线段能构成锐角三 角形. 错解:不妨设 0 < a ≤ b ≤ c ,只要考虑最大边的对角θ为锐角即可.

cosθ =

( a )2 + ( b)2 ( c)2 a + b c = . 2 a b 2 ab

由于 a,b,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有 a + b > c ,即 cosθ > 0 . ∴长为 a , b , c 的三条线段能构成锐角三角形. 辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长 线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件. 正解:由错解可得 cosθ > 0 又∵ a + b

c=

( a + b c )( a + b + c ) a+ b+ c

=

( a + b )2 c = a+ b+ c

a+bc 2 ab + >0 a+ b+ c a+ b+ c

即长为 a , b , c 的三条线段能构成锐角三角形.

高考试题展示
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1, 06 湖北卷)若 ABC 的内角 A 满足 sin 2 A = ( 湖北卷)

2 ,则 sin A + cos A = 3

A.

15 3

B.

15 3

C.

5 3

D.

5 3

解:由 sin2A=2sinAcosA>0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA>0, 又 (sin A + cos A) = 1 + sin 2 A =
2

5 ,故选 A 3

2, 06 安徽卷)如果 A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2 B2C2 的三个内角的正弦值, ( 安徽卷) 则 A. A1 B1C1 和 A2 B2C2 都是锐角三角形 B. A1 B1C1 和 A2 B2C2 都是钝角三角形 C. A1 B1C1 是钝角三角形, A2 B2C2 是锐角三角形 D. A1 B1C1 是锐角三角形, A2 B2C2 是钝角三角形 解: A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 A1 B1C1 是锐角三角形,若 A2 B2C2 是锐角

π π sin A2 = cos A1 = sin( 2 A1 ) A2 = 2 A1 π π π 三角形,由 sin B2 = cos B1 = sin( B1 ) ,得 B2 = B1 ,那么, A2 + B2 + C2 = , 2 2 2 π π C2 = 2 C1 sin C2 = cos C1 = sin( 2 C1 ) 所以 A2 B2C2 是钝角三角形.故选 D.
3, 06 辽宁卷) △ ABC 的三内角 A, B , C 所对边的长分别为 a , b, c 设向量 ( 辽宁卷

p = ( a + c, b) , q = (b a, c a ) ,若 p // q ,则角 C 的大小为
(A)

π 6

(B)

π 3

(C)

π 2

(D)

2π 3

2 2 2 【 解 析 】 p // q ( a + c )(c a ) = b (b a ) b + a c = ab , 利 用 余 弦 定 理 可 得

2cos C = 1 ,即 cos C =

1 π C = ,故选择答案 B. 2 3

【点评】 本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数, 同时着重考 查了同学们的运算能力. 4, 06 辽宁卷)已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( ) ( 辽宁卷 A.

3 2

B. 3

C.

15 8

D.

15 7

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15 A 2× 2tan A 15 15 = 15 ,选 D 2 = ,故 tan A = 解:依题意,结合图形可得 tan = A 2 15 7 15 2 1 tan2 1 ( ) 2 15
5, 06 全国卷 I) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列, ( 且 c = 2a ,则 cos B = A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

解: ABC 中,a,b,c 成等比数列,且 c = 2a ,则 b= 2 a,

cos B =

a 2 + c 2 b 2 a 2 + 4a 2 2a 2 3 = = ,选 B. 2ac 4a 2 4
π
3
,a= 3 ,b=1,则 c=

6,06 山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A= 06 山东卷) (A) 1 (B)2 (C) 3 —1

(D) 3

解:由正弦定理得 sinB=

1 ,又 a>b,所以 A>B,故 B=30°,所以 C=90°,故 c=2,选 B 2
2

7, 06 四川卷)设 a , b, c 分别是 ABC 的三个内角 A, B , C 所对的边,则 a = b ( b + c ) 是 ( 四川卷)

A = 2B 的
(A)充要条件 (C)必要而充分条件 (B)充分而不必要条件 (D)既不充分又不必要条件
2

解析: 解析:设 a , b, c 分别是 ABC 的三个内角 A, B , C 所对的边,若 a = b ( b + c ) , 则 sin 2 A = sin B (sin B + sin C ) ,则 ∴

1 cos 2a 1 cos 2 B = + sin B sin C , 2 2

1 (cos 2 B cos 2 A) = sin B sin C , sin( B + A) sin( A B ) = sin B sin C , 2

又 sin( A + B ) = sin C ,∴ sin( A B ) = sin B ,∴ A B = B , A = 2 B , 若△ABC 中, A = 2 B ,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到 a = b ( b + c ) ,
2

所以 a = b ( b + c ) 是 A = 2 B 的充要条件,选 A.
2

若 则 8, 06 北京卷) ABC 中, sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8 , ∠B 的大小是___________. ( 北京卷) 在 解: sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8 a:b:c=5:7:8 设 a=5k,b=7k,c=8k, 由余弦定理可解得 ∠B 的大小为

π

3

.

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9, 06 湖北卷) ABC 中, ( 湖北卷) 在 已知 a =

3 3 3 , b=4, A=30°, sinB= 则 4 2

.

解:由正弦定理易得结论 sinB=

3 . 2

10, 06 江苏卷)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= ( 江苏卷) 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得,

AC BC = 解得 AC = 4 6 sin 45 sin 60

【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理 11, 06 全国 II)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 ( ) BC 上的中线 AD 的长为 . 解析: 由 ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= π 可得 ∠B = AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 AD =

π
3

3.

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等. 12, 06 上海春)在△ ABC 中,已知 BC = 8, AC = 5 ,三角形面积为 12, ( 上海春) 则 cos 2C = . 解:由三角形面积公式,得

1 3 BC CA sin C = 20sin C = 12 ,即 sin C = . 2 5 7 7 从而应填 . 25 25

于是 cos 2C = 1 2 sin C =
2

13, 06 湖南卷)如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= α ,∠ABC= β . ( 湖南卷) A (1)证明 sin α + cos 2 β = 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 β 的值. 解:(1).如图 3,∵ α = β B α

π
2

(π 2 β ) = 2 β

π

图3

D

C

,∴ sin α = sin(2 β ) = cos 2 β , 2 2

π

即 sin α + cos 2 β = 0 . (2) .在 ABC 中,由正弦定理得

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DC AC DC 3DC = , = .∴ sin β = 3 sin α sin α sin(π β ) sin α sin β
由(1)得 sin α = cos 2 β ,∴ sin β = 3 cos 2 β = 3(1 2sin 2 β ),

即 2 3 sin 2 β sin β 3 = 0.解得 sin β =

3 3 . 或 sin β = 2 3

∵0 < β <

π
2

,∴ sin β =

3 π , β = . 2 3

14, 06 江西卷)在锐角 △ ABC 中,角 A B,C 所对的边分别为 a,b,c , ( 江西卷) , 已知 sin A = (1)求 tan 2

2 2 , 3

B+C A + sin 2 的值; 2 2

(2)若 a = 2 , S△ ABC =

2 ,求 b 的值.
2 2 1 ,所以 cosA= ,则 3 3

解: (1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=π, sin A =

B+C B+C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = B+C 2 2 cos 2 2 2 1- cos B+C) 1 ( 1+ cos A 1 7 = + ( - cos A)= 1 + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3 sin 2
(2) 因为S△ ABC= 2,又S△ ABC= bc sin A= bc 将 a=2, cosA= 解得 b= 3 15, 06 江西卷)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形, ( 江西卷) M,N 分别是边 AB,AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G, 设 ∠MGA=α(
A

1 2

1 2

2 2 ,则 bc=3. 3

1 3 4 2 , c= 代入余弦定理: =b +c -2bc cos A 中得 b -6b +9=0 a2 2 2 3 b

π 2π ) ≤α ≤ 3 3
M

(1) 试将△AGM,△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示 为 α 的函数 B

α
D

N

C

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(2)求 y=

1 1 + 2 的最大值与最小值 2 S1 S2

解: (1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心, 所以 AG=

2 3 3 π × = ,∠MAG= , 3 2 3 6

由正弦定理

GM sin

π
6

=

GA

sin π-α- ) ( 6

π

得 GM=

3

6sin α+ ) ( 6

π

则 S 1=

1 sin α sin α GMGAsinα= ,同理可求得 S2= π π 2 12sin α+ ) 12sin α- ) ( ( 6 6

(2) y=

144 π π 1 1 2 2 =72(3+cot2α) , + 2 = 2 〔sin (α+ )+sin (α- )〕 2 sin α 6 6 S1 S2
≤α ≤

因为

π
3

当α=

π
2

2π π 2π ,所以当α= 或α= 时,y 取得最大值 ymax=240 3 3 3

时,y 取得最小值 ymin=216

16, 06 全国卷 I)ABC 的三个内角为 A,B,C , ( 求当 A 为何值时,cos A + 2 cos 取得最大值,并求出这个最大值. π A B+C B+C A .解: 由 A+B+C=π, 得 = - , 所以有 cos =sin . 2 2 2 2 2 B+C A A A A 1 3 cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ 2 2 2 2 2 2 2 当 sin π A 1 B+C 3 = , 即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 2 2 3 2 2

B+C 2

17, 06全国 )在 ABC中,∠B = 45°, AC = 10, cos C = ( 全国 全国II) (1) BC = ? (2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度. 解: (1)由 cos C =

2 5 ,求 5

2 5 5 得 sin C = 5 5 2 3 10 (cos C + sin C ) = 2 10

sin A = sin(180 45 C ) =

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由正弦定理知 BC =

AC 10 3 10 sin A = =3 2 sin B 2 10 2

(2) AB =

AC 10 5 1 sin C = = 2 , BD = AB = 1 sin B 2 2 5 2
2 = 13 2

由余弦定理知 CD = BD 2 + BC 2 2 BD BC cos B = 1 + 18 2 1 3 2 18, 06 四川卷)已知 A, B , C 是三角形 ABC 三内角, ( 四川卷) 向量 m = 1, 3 , n = ( cos A, sin A ) ,且 m n = 1 (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若

(

)

1 + sin 2 B = 3 ,求 tan B cos 2 B sin 2 B

解:本小题主要考察三角函数概念,同角三角函数的关系,两角和与差的三角函数的公式 以及倍角公式,考察应用,分析和计算能力. (Ⅰ)∵ m n = 1 ∴ 1, 3 ( cos A, sin A ) = 1

(

)

即 3 sin A cos A = 1

3 1 2 sin A cos A = 1 , 2 2
∵0 < A <π,

π 1 sin A = 6 2
∴ A

π

6 6 6 6 3 1 + 2sin B cos B (Ⅱ)由题知 = 3 ,整理得 sin 2 B sin B cos B 2 cos 2 B = 0 2 2 cos B sin B
∴ cos B ≠ 0 ∴ tan 2 B tan B 2 = 0 ∴ tan B = 2 或 tan B = 1 而 tan B = 1 使 cos 2 B sin 2 B = 0 ,舍去 ∴ tan C = tan π ( A + B ) = tan ( A + B ) = ∴ tan B = 2

< A

π

<

5π 6

π

=

π

∴A=

π

2+ 3 8+5 3 tan A + tan B = = 1 tan A tan B 11 1 2 3

19, 06 天津卷)如图,在 ABC 中, AC = 2 , BC = 1 , cos C = ( 天津卷) (1)求 AB 的值; (2)求 sin (2 A + C ) 的值. 本小题考查同角三角函数关系,两角和公式,倍角公式, 正弦定理,余弦定理等基础知识,考察基本运算能力及分析解
第 - 14 - 页 共 23 页

3 . 4

决问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解: 由余弦定理,

AB 2 = AC 2 + BC 2 2 AC .BC.cos C = 4 + 1 2 × 2 × 1×
那么, AB = (Ⅱ)解:由 cos C =

3 = 2. 4

2.

3 7 ,且 0 < C < π , 得 sin C = 1 cos 2 C = . 4 4
AB BC BC sin C 14 . = , 解得 sin A = = sin C sin A AB 8 5 2 5 7 .由倍角公式 sin 2 A = sin 2 A cos A = , 8 16 9 , 16 3 7 . 8

由正弦定理,

所以, cos A =

且 cos 2 A = 1 2sin 2 A =

故 sin ( 2 A + C ) = sin 2 A cos C + cos 2 A sin C = 20, (07 重庆理 5)在 ABC 中, AB = A. 3 3 : 【答案】 A 答案】 B. 2 C.2

3 , A = 45 0 , C = 75 0 , 则 BC =( )
D. 3 + 3

0 0 : 【分析】 ∵ AB = 3, A = 45 , C = 75 , 由正弦定理得: 分析】

a c BC AB = , = = sin A sin C sin 45 sin 75

3 , 6+ 2 4

∴ BC = 3 3.
21, (07 北京文 12 理 11)在 △ ABC 中,若 tan A = 解析:在 △ ABC 中,若 tan A =

1 , C = 150 , BC = 1 ,则 AB = 3

1 1 , C = 150 ,∴ A 为锐角, sin A = , BC = 1 , 3 10

则根据正弦定理 AB =

BC sin C 10 = . . sin A 2

22, 湖南理 12) △ ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , a = 1 , (07 在 角 若 b= 7 ,

c = 3 ,则 B =

.
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【答案】

5π 6

【解析】由正弦定理得 cos B =

1+ 3 7 3 5π = , ,所以 B = . 2 6 2 × 1× 3

23, (07 湖南文 12) 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 若 a = 1, c = 3, C =

π

3

,则 A=

.

3 π a c a sin C 1 【解析】由正弦定理得 = sin A = = 2 = ,所以 A= 6 sin A sin C c 3 2
24, (07 重庆文 13)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= : 【答案】 3 答案】 :由余弦定理得: AC = 1 + 2 2 × 1× 2 × cos 60 = 3.∴ AC = 【分析】 分析】
2 2 2

.

3.

( 24, 07 北京文理 13)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果 小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小 的锐角为 θ ,那么 cos 2θ 的值等于 . 解析:图中小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,∴ 每一个直角三角形的面积是 6,

a 2 + b 2 = 25 设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b,则 1 , ab = 6 2
∴ 两条直角边的长分别为 3,4,

4 7 ,cos2θ=2cos2θ-1= . 5 25 1 3 25, 07 福建理 17)在 △ ABC 中, tan A = , tan B = . ( 4 5
设直角三角形中较小的锐角为 θ ,cosθ= (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 本小题主要考查两角和差公式, 用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运 算能力,满分 12 分.

1 3 + 解: (Ⅰ)∵ C = π ( A + B ) ,∴ tan C = tan( A + B ) = 4 5 = 1 . 1 3 1 × 4 5

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又∵ 0 < C < π ,∴ C = (Ⅱ)∵ C =

3 π. 4

3 π ,∴ AB 边最大,即 AB = 17 . 4

又∵ tan A < tan B,A,B ∈ 0, ,∴ 角 A 最小, BC 边为最小边.



π 2

sin A 1 = , tan A = π 由 cos A 4 且 A ∈ 0, , 2 sin 2 A + cos 2 A = 1,
得 sin A =

17 AB BC sin A .由 = 得: BC = AB i = 2. 17 sin C sin A sin C

所以,最小边 BC =

2.

26, (07 广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, , B (0, , C (c, . 4) 0) 0) (1)若 c = 5 ,求 sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 解析: (1) AB = (3, 4) , AC = (c 3, 4) ,若 c=5, 则 AC = (2, 4) , ∴ cos ∠A = cos < AC , AB >=
6 + 16 = 1

5× 2 5 5 3c + 9 + 16 < 0 25 25 2)若∠A 为钝角,则 解得 c > ,∴c 的取值范围是 ( , +∞ ) ; c≠0 3 3

,∴sin∠A=

2 5 ; 5

27, (07 海南宁夏理 17)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内 的两个测点 C 与 D . 现测得 ∠BCD = α,∠BDC = β,CD = s , 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB . 解:在 △BCD 中, ∠CBD = π α β . 由正弦定理得 所以 BC =

BC CD = . sin ∠BDC sin ∠CBD

CD sin ∠BDC s sin β = . sin ∠CBD sin(α + β )

在 Rt△ ABC 中,

AB = BC tan ∠ACB =

s tan θ sin β . sin(α + β )

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28, (07 湖北理 16)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的

夹角为 θ . (I) θ 的取值范围; II) 求 ( 求函数 f (θ ) = 2sin 2

π + θ 3 cos 2θ 的最大值与最小值. 4

本小题主要考查平面向量数量积的计算, 解三角形, 三角公式, 三角函数的性质等基本知识, 考查推理和运算能力. 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c , , 则由

1 π π bc sin θ = 3 , 0 ≤ bc cos θ ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot θ ≤1 ,∴θ ∈ , . 2 4 2

(Ⅱ) f (θ ) = 2sin 2

π π + θ 3 cos 2θ = 1 cos + 2θ 3 cos 2θ 4 2

π = (1 + sin 2θ ) 3 cos 2θ = sin 2θ 3 cos 2θ + 1 = 2 sin 2θ + 1 . 3 π π 2π π π π ∵θ ∈ , , 2θ ∈ , ,∴ 2 ≤ 2sin 2θ + 1 ≤ 3 . 3 6 3 3 4 2
即当 θ =

5π π 时, f (θ ) max = 3 ;当 θ = 时, f (θ ) min = 2 . 12 4

29, (07 全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,

a = 2b sin A .
(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A + sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a = 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B = 由 △ ABC 为锐角三角形得 B =

1 , 2

π . 6
π π A = cos A + sin + A 6 6

(Ⅱ) cos A + sin C = cos A + sin π



1 3 π = cos A + cos A + sin A = 3 sin A + . 2 2 3
由 △ ABC 为锐角三角形知,

π π π π π π A> B, B= = . 2 2 2 2 6 3

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2π π π 1 3 π < A + < ,所以 sin A + < . 3 3 6 2 3 2
由此有

3 π 3 < 3 sin A + < × 3, 2 3 2
3 3 2 ,. 2
π ,边 BC = 2 3 .设内角 B = x , 3

所以, cos A + sin C 的取值范围为

30, (07 全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 A = 周长为 y . (1)求函数 y = f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A + B + C = π ,由 A = 应用正弦定理,知 AC =

π 2π ,B > 0,C > 0 得 0 < B < . 3 3

BC 2 3 sin B = sin x = 4sin x , π sin A sin 3
BC 2π sin C = 4 sin x. sin A 3

AB =

因为 y = AB + BC + AC , 所以 y = 4sin x + 4 sin

2π 2π x + 2 30 < x < , 3 3 3 1 cos x + sin x + 2 3 2 2

(2)因为 y = 4 sin x +



π π 5π π = 4 3 sin x + + 2 3 < x + < , 6 6 6 6
所以,当 x +

π π π = ,即 x = 时, y 取得最大值 6 3 . 6 2 3

31, (07 山东理 20)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向 匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两 船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向

第 - 19 - 页 共 23 页

的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解法一:如图,连结 A1 B1 ,由已知 A2 B2 = 10 2 ,

20 A1 A2 = 30 2 × = 10 2 , 60



120 A 2

∴ A1 A2 = A2 B1 ,
又 ∠A1 A2 B2 = 180 120 = 60 ,

B2 B1


105

A1



∴△ A1 A2 B2 是等边三角形,

∴ A1 B2 = A1 A2 = 10 2 ,
由已知, A1 B1 = 20 , ∠B1 A1 B2 = 105 60 = 45 , 在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,

B1 B22 = A1 B12 + A1 B22 2 A1 B2 i A1 B2 icos 45 = 20 2 + (10 2) 2 2 × 20 × 10 2 ×

2 = 200 . 2

∴ B1 B2 = 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为

10 2 × 60 = 30 2 (海里/小时) . 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 解法二:如图,连结 A2 B1 , 由已知 A1 B2 = 20 , A1 A2 = 30 2 ×

20 = 10 2 , ∠B1 A1 A2 = 105 , 60

cos105 = cos(45 + 60 ) = cos 45 cos 60 sin 45 sin 60

=

2(1 3) , 4



120 A 2

sin105 = sin(45 + 60 ) = sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60 2(1 + 3) = . 4
在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理,

B2 B1


105 A 1


第 - 20 - 页 共 23 页

A2 B12 = A2 B22 + A1 A22 2 A1 B1 i A1 A2 icos105

= (10 2)2 + 202 2 × 10 2 × 20 ×

2(1 3) = 100(4 + 2 3) . 4

∴ A1 B1 = 10(1 + 3) .
由正弦定理 sin ∠A1 A2 B1 =

A1 B1 20 2(1 + 3) 2 isin ∠B1 A1 A2 = i = , A2 B2 4 2 10(1 + 3) 2(1 + 3) . 4

∴∠A1 A2 B1 = 45 ,即∠B1 A2 B1 = 60 45 = 15 , cos15 = sin105 =
在 △B1 A1 B2 中,由已知 A1 B2 = 10 2 ,由余弦定理,

B1 B22 = A1 B12 + A2 B22 + 2 A2 B1 i A2 B2 icos15
= 10 2 (1 + 3) 2 + (10 2)2 2 × 10(1 + 3) × 10 2 × 2(1 + 3) = 200 . 4

∴ B1 B2 = 10 2 ,
乙船的速度的大小为

10 2 × 60 = 30 2 海里/小时. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

tan 32, (07 山东文 17)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C = 3 7 .
(1)求 cos C ; (2)若 CB iCA =

5 ,且 a + b = 9 ,求 c . 2 sin C 解: (1)∵ tan C = 3 7, ∴ =3 7 cos C
1 . 8 1 ∵ tan C > 0 ,∴ C 是锐角. ∴ cos C = . 8 5 5 (2)∵ CB iCA = , ∴ ab cos C = , ∴ ab = 20 . 2 2
又∵ sin C + cos C = 1
2 2

解得 cos C = ±

又∵ a + b = 9 ∴ a + 2ab + b = 81 .
2 2

∴ a 2 + b 2 = 41 .

∴ c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C = 36 . ∴ c = 6 .
第 - 21 - 页 共 23 页

33, (07 上海理 17)在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. 若 a = 2,

C=

π B 2 5 , cos = ,求 △ ABC 的面积 S . 4 2 5

4 3 解: 由题意,得 cos B = , B 为锐角, sin B = , 5 5

3π 7 2 sin A = sin( π B C ) = sin B= , 4 10
由正弦定理得 c =

10 1 1 10 4 8 , ∴ S = acisin B = × 2 × × = . 2 2 7 5 7 7
4 . 5

34, (07 天津文 17)在 △ ABC 中,已知 AC = 2 , BC = 3 , cos A = (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin 2 B +



π 的值. 6

本小题考查同角三角函数的基本关系式,两角和公式,倍角公式,正弦定理等的知识,考查 基本运算能力.满分 12 分.

3 4 (Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin A = 1 cos A = 1 = , 5 5
2

2

BC AC AC 2 3 2 = .所以 sin B = sin A = × = . sin A sin B BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A = ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5
由正弦定理,

21 2 cos B = 1 sin B = 1 = , 5 5
2

2

cos 2 B = 2 cos 2 B 1 = 2 ×

21 17 1 = , 5 25

2 21 4 21 sin 2 B = 2sin B cos B = 2 × × = . 5 5 15 3 17 1 12 7 + 17 π π π 4 21 × + × = . sin 2 B + = sin 2 B cos + cos 2 B sin = 25 2 25 2 50 6 6 6
(07 浙江理 18)已知 △ ABC 的周长为 2 + 1 ,且 sin A + sin B = 35, (I)求边 AB 的长;

2 sin C .

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(II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 解: (I)由题意及正弦定理,得 AB + BC + AC = 两式相减,得 AB = 1 . (II)由 △ ABC 的面积

1 6

2 + 1 , BC + AC = 2 AB ,

1 1 1 BC i AC isin C = sin C ,得 BC i AC = , 2 6 3

AC 2 + BC 2 AB 2 ( AC + BC ) 2 2 AC i BC AB 2 1 由余弦定理,得 cos C = = = , 2 AC i BC 2 AC i BC 2
所以 C = 60 . 36, (07 天津文理 15) 如图,在 ABC 中, ∠BAC = 120°, AB = 2, AC = 1, D 是边 BC 上一 点, DC = 2 BD, 则 AD i BC = __________ . 【答案】

A B D C

8 3

【分析】法一:由余弦定理得 cos B = 可得 BC = 7 , AD =

AB 2 + AC 2 BC 2 AB 2 + AD 2 BD 2 = 2 × AB × AC 2 × AB × BD

13 , 3

又 AD, BC 夹角大小为 ∠ADB ,

cos ∠ADB =

BD 2 + AD 2 AB 2 32 9 8 = × = , 2 × BD × AD 9 4 13 × 7 91

8 所以 AD i BC = AD × BC × cos ∠ADB = . 3
法二:根据向量的加减法法则有: BC = AC AB

1 1 2 AD = AB + BD = AB + ( AC AB ) = AC + AB ,此时 3 3 3 2 2 1 2 1 2 2 AD BC = ( AC + AB )( AC AB ) = AC + AC AB AB 3 3 3 3 3 1 8 1 8 = = . 3 3 3 3

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