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新课标2013届高三下学期复习综合验收测试(3)数学理试题

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2012—2013 学年度下学期高三二轮复习

数学(理)综合验收试题(3)【新课标】
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 4 页。 共 满分 150 分。 考试用时 120 分钟, 考试结束, 务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 锥体的体积公式:V=

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。 3

如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件 A,B 独立,那么 P (AB)=P(A)· P(B)。

第 I 卷(共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位),则 z 为 A. 3 ? 5i ( ) B. 3 ? 5i C. ?3 ? 5i D. ?3 ? 5i

?y ? 2 ? 2.已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
( ) A.12 B.11 C.3 D. ?1 3.设 a,b 是两个非零向量 ( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 4.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )

5.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )

A.

1 4

B.

1 5
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C.

1 6

D.

1 7

6. 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0, 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。 a1=d, 若 b1=d2,且
2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3





1 7 1 C. 2
A.

1 7 1 D. ? 2
B. ? )

7.右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是(

1 A. 2 3 C. 4

2 B. 3 4 D. 5

8.设 a ? Z ,且 0 ? a ? 13 ,若 512012 A.0 C.11

1 , 3 , ? a 能被 13 整除,则 a ? ( 5



B.1 D.12

9.等腰直角三角形 ? ABC 中,斜边 BC= 4 2 ,一个椭圆以 C 为其焦点,另一个焦点在线 段 AB 上,且椭圆经过 A,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在 x 轴上) ( ) A.

x2 6?4 2 x2 4 2 ?

?

y2 4 2

?1

B.

x2 6?4 2 x2 3? 4 2

?

y2 3? 4 2 y2 6?4 2

?1

C.

y2 6?4 2

?1

D.

?

?1
)条件 D.即不充分也

10.随机事件 A 和 B,“ P( B | A) ? 0 成立”是“事件 A 和事件 B 对立”的( A.充要 不必要 B.充分不必要 C.必要不充分

11. a, b, c, x, y, z 是正数,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则 设

a?b?c ? x? y?z

( A.



1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

12.已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同, 且为 A∩B 空集。若 n∈ 时总有 2n+2∈ A B,则集合 A∪ 的元素个数最多为 B

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A.62

( ) B.66

C.68

D.74

第Ⅱ (共 90 分) 卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 已知函数 f ( x) ?

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 则f 的最小值为 ( ? x ? ) , (x) 4 4 x
2



14.设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 ,命题 P 且 Q 为假,
2

P 或 Q 为真,则实数 a 的取值范围是



15 . 在 △ABC 和 △AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB=EF=1 , BC=6 , CA ? 33 , 若

AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于
16.观察下列不等式



1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 5 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 3 1?
…… 照此规律,第五个不等式为 ... 三.解答题: 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos .

?

? 3 3 x x ? 3 x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [ , ? ] 2 2 2 2 2 2

(Ⅰ )求 | a ? b | 的取值范围; (Ⅱ )求函数 f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值

?

?

? ?

?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (Ⅰ )确定常数 k,求 an; (Ⅱ )求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 2n
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19.(本小题满分 12 分) 如图所示几何体为组合体, 由正三棱柱 ABC ? A1B1C1 和三棱锥 P ? ABC 组成。 正三棱 柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 2 2 , AA ? 2 ;三棱锥 P ? ABC 中, P ?平面AB1B1B , 1 且 PA ? PB ? 3 。 (Ⅰ )求证: PA // 平面A1BC1 ;
C1 A1 A

(Ⅱ )求二面角 P ? AC ? C1 平面角的正切值; (Ⅲ )求点 P 到平面 BCC1B1 的距离。
B1 B

C P

20.(本小题满分 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味 性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为 1 或 2 的 人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ )求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ )求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ 用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、 ) 乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

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21.(本小题满分 13 分) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , P 为 a 2 b2

椭圆 C 上任意一点.已知 PF ? PF2 的最大值为 3 ,最小值为 2 . 1 (Ⅰ 求椭圆 C 的方程; ) (Ⅱ 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右顶点), ) 且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

???? ???? ?

22. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) = | x + 1| + | ax + 1|,已知 f (?1) ? f (1) ,且

1 1 3 2 f (? ) ? f ( ) (a∈ R,且 a≠0),函数 g ( x) ? ax ? bx ? cx (b∈ R,c 为正整数) a a
有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两点 A、B 与坐标原点 O 在同一直 线上。 (Ⅰ )试求 a、b 的值; (Ⅱ )若 x ? 0 时,函数 g ( x) 的图象恒在函数 f ( x ) 图象的下方,求正整数 c 的值。

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参考答案
一.选择题 1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.C;7.C;8.D;9.A;10. C; 11.C;12.B; 二.填空题 13 .

1 4 5 ; 14 . ? ? a ? 0 2 5



1 2 ? a ? 1 ; 15 . cos θ ? ; 2 3

16. 1 ? 三.解答题

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ; 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6

17.解析:(Ⅰ )∵ x ? [

? 3

, ?] 2 2

∴ ? 1 ? cos 2 x ? 1

? ? | a ? b |? 2 ? 2 cos2x
(Ⅱ )∵ x ? [ ∵

∴ 0≤ | a ? b | ≤2

?

?

4分

, ?] ∴ ? 1 ? cos x ? 0 ;…………6 分 2 2 ? ? ? ? f ( x) ? a ? b ? | a ? b |? cos2x ? 2 ? 2 cos2x

? 3

? 2 cos2 x ? 1 ? 4 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ? 1 ………………10 分 1 2 4 3 ? ? ? ? ∴ 当 cos x ? ? ,即 x ? ? 或 x ? ? 时, f ( x) ? a ? b ? | a ? b | 取最小值- 。 2 3 3 2
……………………12 分

N 18. (Ⅰ 当 n ?k ? 解: )

?

时, S n ? ?

1 2 1 1 n ? kn 取最大值,即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 ,故 k ? 4 , 2 2 2

……………………2 分 从 而 an ? S n ? S n?1 ? 分 (Ⅱ )因为 bn ?

9 7 9 ? n n ?2) , 又 a1 ? S1 ? , 所以 an ? ? n …………………4 ( 2 2 2

9 ? 2an n ? n ?1 , n 2 2 2 3 n ?1 n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2

……………………………………

………8 分 所



Tn ? 2
…12 分 19.解法一:

1 ? 2

n
n?2

?

…………… Tn ?

2

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( Ⅰ) 在 R t? A B1 A , AB ? 2 2 , 中

A1

A E C1 H

AA1 ? 2 ,

C P F

2 ∴cos ?ABA1 ? ,取 BC 中点 H , 3
? PA ? PB , ? PH ? AB , 在 Rt ?PAH 中 , PH ? 1
B1 B



cos ?PAH ?
---------------2 分

2 , 又 ?A B1、? A 3

P A均 为 锐 角 , ∴ ?ABA1 ? ?PAH , H

? PA // A1B ,又 PA在平面A1BC1 外, ? PA // 平面A1BC1 . ---------------4 分
(Ⅱ )∵ 平面 PAB ? 平面 ABC ,∴PH ? 平面ABC ,过 H 作 HE ? AC 于 E ,连结

PE ,则 PE ? AC , ?PEH 为二面角 P ? AC ? B 的平面角, ------------------------6
分 易知 HE ?

? 1 ? 3 6 PH 6 ?? ?2 2 ?= ? 2 ? 2 ,∴tan ?PEH ? HE ? 3 , 2 ? ?

? 二面角 P ? AC ? C1 的平面角的正切值为-

6 3

------------------------8 分

(Ⅲ ? PH // BB1 ,? P 点到平面 BCC1B1 的距离,就是 H 到平面 BCC1B1 的距离, ) -------------------------------9 分 过 H 作 HF ? BC 于 F , 则 HF ? 平面BCC1B1 , HF 的 长 度 即 为 所 求 , 由 上

HF ? HE?

6 (或用等体积 VP? B1BC ? VC ? B1BP 求)----------------------------------12 分 2

解法二: 如图,建立图示空间直角坐标系. 则 P(1, 0, 0) , A(0,0, 2) , B(0,0, ? 2) , C(0,0, 6) , A (?2,0, 2) . 1 (Ⅰ B1C ? 2PB )

????

??? ?

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 (Ⅱ )利用 cos n1 , n2 ? ?? ?? ,其中 n1 , n2 分别为两个半平面的法向量, ? n1 ? n2
或利用 cos CC1 , EP 求解.

???? ??? ? ?

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??? ? ? PB ? n ? (Ⅲ )利用 d ? ? ,其中 n 为平面 BCC1B1 的法向量。 n
20. 解析: 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为

1 2 ,去参加乙游戏的概率为 . 设 3 3

“ 这 4 个 人 中 恰 有 i 人 去 参 加 甲 游 戏 ” 为 事 件 Ai (i ? 0 , 1 , 2 , , 3 , 4 ) 则

2 i 1 P( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i . …………………………………………………………2 分 3 3
( Ⅰ ) 这 4 个 人 中 恰 有 2 人 去 参 加 甲 游 戏 的 概 率 为

2 8 2 1 P( A2 ) ? C4 ( ) (2 ) ? 2 . …………4 分 3 3 27
(Ⅱ)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件 B ,则

B ? A3 ? A4 ,由于 A3 与 A4 互斥,故
2 1 3 1 4 1 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? 3 3 3 9
所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

1 .………………6 分 9
(Ⅲ ? 的所有可能的取值为 0, 2, 4 ,由于 A 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故 ) 1

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?
………………8 分 所以 ? 的分布列为:

8 40 17 , P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? 27 81 81

?
p
………………10 分

0

2

4

8 27

40 81

17 81

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? .………………12 分 27 81 81 81

21.解析:(Ⅰ ? P 是椭圆上任一点,? PF | ? | PF2 |? 2a 且 a ? c ?| PF |? a ? c , ) | 1 1

???? ???? ???? ????? ? y ? PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ?F1PF2
1 ? [| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ] 2 1 ? [| PF1 |2 ?(| 2a ? | PF1 |) 2 ? 4c 2 ] 2

? (| PF1 | ?a)2 ? a2 ? 2c2 ……………………2 分

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2 2 2 2 当 | PF1 |? a 时,y 有最小值 a ? 2c ; | PF2 |? a ? c 或 a ? c 时, y 有最大值 a ? c . 当

? a2 ? c2 ? 3 , ?? 2 a ? 2c 2 ? 2 ?

?a 2 ? 4 , ? 2 ?c ?1

b2 ? a 2 ? c 2 ? . 3

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 。……………………6 分 4 3

(Ⅱ ) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

(4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
?8km 4m2 ? 12 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? ………………7 分 4k ? 3 4k 2 ? 3

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,
???? ???? ? ? MN 为直径的圆过点 A ? AM ? AN ? 0 ,?7m2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,
2 ? m ? ? k 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0 ,……………………10 分 7
若 m ? ?2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去, 若m ? ?

2 2 2 k 直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) 。………………13 分 7 7 7


22.解析:(Ⅰ ? f (?1) ? f (1) ,∴1 ? a ? 2 ? a ? 1 ) 又 f ( ? ) ? f ( ) ,∴1 ?

1 a

1 a

1 1 ? ? 1 ? 2 ,即 1 ? a ? 2 a ? a ?1 a a



由① 得 a ? 1 ,? a ? ?1 .又? a ? 1 时,① ② 、② 不成立,故? a ? ?1 .------2 分 ∴ g ( x) ? ? x ? bx ? cx ,设 x1 、x2 是函数 g ( x) 的两个极值点,则 x1 、x2 是方程
3 2

g / ( x) ? ?3x2 ? 2bx ? c =0 的两个根, ? ? 4b2 ? 12c ? 0(c为正整数) ,
∴ 1+x2= x

2b ,又∵ 3

A.O、B 三点共线, ?

3 2 ? x13 ? bx12 ? cx1 ? x2 ? bx2 ? cx2 = , x1 x2

∴( x1 ? x2 )[?( x1 ? x2 ) ? b] =0,又∵ 1≠x2,∴ x1+x2= x b= (Ⅱ ? x ? 0 时, f ( x)min ? 2 , )

2b ,∴ b=0. ----------------6 分 3
-----------------------7 分

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由 g / ( x) ? ?3x2 ? c ? 0 得 x ?

c c c ,可知 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 3 3 3 c c c c 2c c . ---------------------9 分 )?? ?c ? 3 3 3 3 3 3

上单调递减, g ( x)极大值 ? g (

? c ?1 ? ? 3 ① ? 由 得 c ? 3, ?c 的值为 1 或 2.(∵c 为正整数) ? 2c c ? 2 ?3 3 ?


-----------------11 分

c c ? 1 时,记 g ( x) 在 x ? [1, ] 上切线斜率为 2 的切点的横坐标为 x0 , 3 3 c?2 ,依题意得 g ( x0 ) ? f ( x0 ) , 3
c?2 ? c ? 2, 得 c ? 2, 与 c ? 3 矛盾. 3

则由 g / ( x) ? ?3x2 ? c ? 2 得 x0 ?

?? x03 ? cx0 ? 2 x0 , ? x0 2 ? c ? 2, ?

(或构造函数 h ? x ? ? 2x ? g ? x ? 在 x ? 1 上恒正) 综上,所求 c 的值为 1 或 2. -----------------------13 分

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