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我的高考数学错题本:我的高考数学错题本——第2章 命题与简易逻辑易错题


我的高考数学错题本
第 2 章 命题与简易逻辑易错题

易错点 1 四种命题的结构不明致误 【例 1】 命题甲: x ? 2 或 y ? 3 ;命题乙: x ? y ? 5 ,则( A.甲是乙的充分非必要条件 C. 甲是乙的充要条件 【错解】盲目的无法判断选 D 【错因】不知道四个命题之间的转换关系 【正解】为了进行判断,首先需要构造两个命题:甲 ? 乙、乙 ? 甲. 但是,这两个命题都是否定性的命 题,正面入手较为困难.考虑到原命题与逆否命题的等价性,可以转化为判断其逆否命题是否正确. “甲 ? 乙” ,即“ x ? 2 或 y ? 3 ” ? “ x ? y ? 5 ” ,其逆否命题为: “ x ? y ? 5 ” ?“ x ? 2 且 y ? 3 ” 显然不正确. 同理,可判断命题“乙 ? 甲”为真命题.选 B. 【纠错训练】 【2015 高考山东,文 5】设 m ? R ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否
2



B.甲是乙的必要非充分条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

命题是(

)
2

A.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0 C.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

B.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

D.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

【解析】一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选 D . 易错点 2 充分必要条件颠倒致误 对于两个条件 A,B,如果 A=>B 成立,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;如果 B=>A 成立,则 A 是 B 的必要条件,B 是 A 的充分条件;如果 A<=>B,则 A,B 互为充分必要条件。解题时最容易出错的就 是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
2 【例 2】命题“对任意实数 x ? [1,2] ,关于 x 的不等式 x ? a ? 0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条

件是(

) B. a ? 4 C. a ? 3 D. a ? 3

A. a ? 4 【错解】A

2 【错因】充分条件和必要条件颠倒致错,设“对任意实数 x ? [1,2] ,关于 x 的不等式 x ? a ? 0 恒成立”

为真命题对应的 a 的取值为集合 A,选项中 a 的取值范围为集合 B,则 B 是 A 的必要不充分条件,因此 A ? B ,但 B ? A
2 【解析】即由“对任意实数 x ? [1,2] ,关于 x 的不等式 x ? a ? 0 恒成立”可推出选项,但由选项推不出

“对任意实数 x ? [1,2] ,关于 x 的不等式 x 2 ? a ? 0 恒成立” .因为 x ? [1,2] ,所以 x2 ?[1, 4] , x 2 ? a ? 0 恒成立,即 x 2 ? a , 因此 a ? 4 ;反之亦然.故选 C . 【纠错训练】 【2015 高考安徽,理 3】设 p :1 ? x ? 2, q : 2 x ? 1 ,则 p 是 q 成立的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件

【解析】由 q : 2x ? 20 ,解得 x ? 0 ,易知, p 能推出 q ,但 q 不能推出 p ,故 p 是 q 成立的充分不必要 条件,选 A. 易错点 3 命题的否定和否命题弄混淆 )

【例 3】 【2015 高考湖北,文 3】命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是( A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 【错解】B 【错因】误认为命题的否定就是否命题 B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

【正解】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为 ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 ,故应选 C . 【纠错训练】 【2015 高考浙江,理 4】命题“ ?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n 的否定形式是( )
* * A. ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n * * B. ?n ? N , f (n) ? N 或 f (n) ? n

C. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0

D. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选 D. 易错点 4 逻辑联结词理解不准致误
x 【例 4】已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R , e ? 1 ,则(



A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? ? ?q ? 是真命题

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? ? ?q ? 是假命题

【错解】B 【错因】认为 p ? q 中,只要有一个为真,则 p ? q 为真. 【正解】取 x ?
1 1 1 1 ? 2 ? lg ,则 , e1000 ? 1 ,故命题 p 为真,命题 q 为假,由复合命题的真 1000 1000 1000

值表可知命题 p ? ? ?q ? 是真命题,选 C.
x ?1 【纠错训练】 【 2015 北京西城区二模】设命题 p :函数 f ( x) ? e 在 R 上为增函数;命题 q :函数

f ( x) ? cos( x ? ? ) 为奇函数.则下列命题中真命题是(
A. p ? q B. (?p) ? q

) D. p ? ( ? q )

C. (?p) ? (?q)

【解析】由题意可知,命题 p 是真命题, f ( x) ? cos( x ? ? ) ? ? cos x 为偶函数,∴ q 是假命题,从而可 知 p ? (?q ) 是真命题,故选 D. 易错点 5 错把“命题否定”等同于“取补集” 【例 5】写出命题“对任意一个实数 x,都有 【错解】对任意一个实数 x,都有
1 ≤0 2x ? 5
1 1 1 没有意义, 而不是简单地把“ ≤0或 ?0” 2x ? 5 2x ? 5 2x ? 5

1 ? 0 ”的否定是 2x ? 5



【错因】 原命题的反面是: 存在一个实数 x , 使得 的范围取补集变成“
1 ≤ 0 ”. 2x ? 5

【解析】原命题的否定是: “ 存在一个实数 x ,使得
2x ? 5 ? 0 ”.

1 ? 0 或 2x ? 5 ? 0 ” ,或 “ 存在一个实数 x ,使得 2x ? 5

【纠错训练】命题 p : 实数 x 满足不等式 【解析】

x?2 ? 0 ,且命题 x ?1

p 是假命题,求实数 x 取值范围

x?2 ? 0 等价于 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 且 x ? 1 ,即 x ? ?2 或 x ? 1 ,则 p : x ? ?2 或 x ? 1 ; ?p : ?2 ? x ? 1 . x ?1
?

? 命题 P 是假命题, ? 命题

p 是真命题, ? 实数 x 取值范围 ?2 ? x ? 1 .

【错题巩固训练】 1.条件“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ?

1 1 或 a ? ”的 b b

条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要条

件”“既不充分也不必要条件”) 【解析】 0 ? ab ? 1 说明 a , b 同号, ( i )当 a ? 0, b ? 0 且 0 ? ab ? 1 时, a ?

1 ; (ii) 当 a ? 0, b ? 0 且 b

1 1 1 .故条件“ 0 ? ab ? 1 ”可以推出“ a ? 或 a ? ”. b b b 1 1 1 1 当 a ? ?1 , b ? 1 时,满足 a ? 或 a ? ,但不满足 0 ? ab ? 1 ,故条件 “ a ? 或 a ? ”不可以推 b b b b 出“ 0 ? ab ? 1 ”. 1 1 因此条件“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? 或 a ? ”的充分不必要条件. b b
0 ? ab ? 1 时, a ?
2.条件“ ac ? b2 ”是“ a,b, c 成等比数列”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充 分也不必要”) 【解析】 ac ? b2 成立,有可能是 a ? b ? c ? 0 ,不是等比数列,故答案是必要不充分 3.“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 平行”的 条件(填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【解析】直线的法向量满足 (a,2) / /(3, a ? 1) , a(a ? 1) ? 6 ? 0 ,即 a2 ? a ? 6 ? 0 ,解得 a ? 3 或 ?2 ,其中 a ? 3 时, 直线重合,故答案:既不充分也不必要条件

4.若 a , b , c ? R ,写出命题“若 ac ? 0 ,则 ax2 ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根”的逆否命题是 【解析】若 ax2 ? bx ? c ? 0 没有两个不相等的实数根,则 ac ? 0 5.已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 1 ? m ,命题 q :指数函数 y ? (3 ? m) x 是增函数.若命题 " p ? q " 为真,命 题 " p ? q " 为假,则实数 m 的取值范围是 【解析】命题 p 为真时,即 ( x2 ? 1)min ? m ,解得 m ? 1 .命题 q 为真时,即 3 ? m ? 1 ,解得 m ? 2 . 命题 q 为假时,即 0 ? 3 ? m ? 1 ,解得 2 ? m ? 3 .命题 " p ? q " 为真,命题 " p ? q " 为假,则 p 真 q 假 或 p 假 q 真,即 ?

? m≥1 ? m ?1 或? ,解得 1 ≤ m ? 2 . m ? 2 2 ? m ? 3 ? ?

6.已知命题 p : 函数 y ? log0.5 ( x2 ? 2 x ? a) 的值域是 R,命题 q :指数函数 y ? (5 ? 2a) x 是增函数.若命 题 " p ? q " 为真,命题 " p ? q " 为假,则实数 a 的取值范围是
2 【解析】 p 真:函数 y ? log 0.5 ( x 2 ? 2 x ? a) 的值域是 R ,即 t ? x ? 2x ? a 中的 t 能取到 (0 , ? ?) 的

每一个数,则只要保证 ? ? 4 ? 4a≥0 ,解得 a ≤ 1 . q 真: 5 ? 2a ? 1 ,解得 a ? 2 . q 假: 0 ? 5 ? 2 a ? 1 ,

? a ≤1 ?a ? 1 5 ? 解得 2 ? a ? . 由题意, “ p 真 q 假 ” 或 “ p 假 q 真 ” ,即 ? . 解得实数 a 的取值范围是 5 或? 2 a ? 2 2 ? a ? ? ? ? 2
1? a ? 2.


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