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平面向量的数量积典例精析

平面向量的数量积典例精析
四川 谭森
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例 1 平面内有向量 OA ? (1, 7), OB ? (5, 1), OP ? (2, 1) ,点 X 为直线 OP 上的一 个动点。 (1)当 XA? XB 取最小值时,求 OX 的坐标; (2)当点 X 满足(1)的条件和结论时,求 cosAXB 的值。 分析:因为点 X 在直线 OP 上,向量 OX 与 OP 共线,可以得到关于 OX 坐标的一个 关系式; 再根据 XA? XB 的最小值, 求得 OX ; 而 cosAXB 是向量 XA 与 XB 夹角的余弦, 利用数量积的知识容易解决。 解: (1)设 OX ? ( x , y )
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? 点X在直线OP上 ? 向量 OX 与 OP 共线 又 OP ? (2, 1) ? x ? 1 ? y ? 2 ? 0, 即x ? 2 y ? OX ? (2 y , y )
又 XA ? OA? OX , OA ? (1, 7)
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? XA ? (1 ? 2 y , 7 ? y ) 同样 XB ? OB ? OX ? (5 ? 2 y , 1 ? y )
于是 XA? XB ? (1 ? 2 y )(5 ? 2 y ) ? (7 ? y )(1 ? y ) ? 4 y ? 12 y ? 5 ? y ? 8 y ? 7
2 2 ? ?

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? 5y 2 ? 20 y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 8
由二次函数的知识,可知当 y= 2 时, XA? XB ? 5( y ? 2) ? 8 有最小值 -8 。此时
2 ? ?

OX ? (4, 2) ;
(2)当 OX ? ( 4, 2) ,即 y=2 时,有 XA ? ( ?3, 5) , XB ? (1, ? 1), XA ?
? ?

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34 ,

XB ? 2 。

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XA? XB ? ( ?3) ? 1 ? 5 ? ( ?1) ? ?8 ? cos AXB ? XA? XB XA XB
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?8 4 17 ?? 17 34 ? 2
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说明:由于 X 是 OP 上的动点,则向量 XA, XB 均是不确定的,它们的模和方向均是 变化的,于是它们的数量积 XA? XB 也处在不确定的状态,这个数量积由 XA 与 XB 的模
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XA 与 XB 及它们的夹角三个要素同时决定,由解题过程即可以看出它们都是变量 y 的
函数。 另外,求出 XA 与 XB 的坐标后,可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。 例 2 设平面内有两个向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ), 且0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)证明 (a ? b) ?(a ? b) ; (2)若两个向量 ka ? b 与 a ? kb 的模相等,求 ? ? ?的值( k ? 0, k ? R) 。 分析:题目的条件及所求结论均非常明确,只要能得到 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ,即可证 明(1) ,再利用| ka ? b |与| a ? kb |相等,确定 ? ? ? 的值。 证明: (1)? a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? )
? ?

?

?

? a ? b ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? ), a ? b ? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? )

? ( a ? b) ? ( a ? b) ? (cos ? ? cos ? )(cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? )(sin ? ? sin ? ) ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 1?1 ?0 ? ( a ? b) ? ( a ? b)
(2) ka ? b
2

? ( ka ? b) 2 ? k 2 | a|2 ?2ka ? b?|b|2 , | a ? kb|2 ? (a ? kb) 2

?| a|2 ?2ka ? b ? k 2 |b|2
由已知 | ka ? b| ?| a ? kb| ,可得到
2 2

( k 2 ? 1)| a|2 ?4ka ? b ? (1 ? k 2 )|b|2 ? 0, (*)
注意到 | a| ?

cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1,|b| ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1

a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? )

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于是(*)式化为 4k cos(? ? ? ) ? 0 。由于 k ? R, k ? 0

? cos(? ? ? ) ? 0, 即 cos( ? ? ? ) ? 0. 而 0 ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?

?
2

说明:由解题过程可知 a 与 b 均是单位向量,由向量加法的平行四边形法则,可知

a ? b, a ? b 是以 a,b 为邻边的平行四边形两条对角线,从(1)中, a ? b与a ? b 垂直, 可 知 这 个 平 行 四 边 形 是 菱 形 , 而 由 ( 2 ) 知 | ka ? b| ?| a ? kb| 时 , a 与 b 的 夹 角 为 |? ? ? | ? 90? ,因此 a ? b ? cos(? ? ? ), a ? b ?| a||b|cos? 。故 cos( ? ? ? ) ? cos? ,又 0 ? ? ? ? ? ? ,有 ? ?|? ? ? | ( ? 为 a 与 b 的夹角) 。这时 a? b 。此时由 a 及 b 为邻边
组成的四边形是正方形。

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