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最新高考数学解题技巧大揭秘 专题3 不等式及线性规划问题


专题三 不等式及线性规划问题
1.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C. + > a b ab 答案:D B.a+b≥2 ab b a D. + ≥2 a b ).

[对于 A:当 a=b=1 时满足 ab>0,但 a2+b2=2ab,所以 A 错;对于 B、C:

1 1 2 当 a=b=-1 时满足 ab>0,但 a+b<0, + <0,而 2 ab>0, >0,显然 B、C 不对; a b ab b a 对于 D:当 ab>0 时,由基本不等式可得 + ≥2 a b 2.若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( A.ex≤1+x+x2 1 C.cos x≥1- x2 2 答案:C B. 1 1 1 ≤1- x+ x2 2 4 1+x ba ·=2.] ab ).

1 D.ln(1+x)≥x- x2 8

[正确命题要证明,错误命题只需举一个反例即可.如 A,因为 e3>1+3+32,

1 1 1 1 1 cos x+ x2-1?′ 故 A 不恒成立; 同理, 当 x= 时, >1- x+ x2, 故 B 不恒成立; 因为? 2 ? ? 3 2 4 1+x 1 1 =-sin x+x≥0(x∈[0,+∞)),且 x=0 时,y=cos x+ x2-1=0,所以 y=cos x+ x2-1≥0 2 2 1 恒成立,所以 C 对;当 x=4 时,ln(1+x)<x- x2,故 D 不恒成立.] 8

?x+2y≥2, 3. 设变量 x, y 满足约束条件?2x+y≤4, ?4x-y≥-1,
3 ? A.? ?-2,6? C.[-1,6] 答案:A [ 3 ? B.? ?-2,-1? 3? D.? ?-6,2?

则目标函数 z=3x-y 的取值范围是(

).

作出不等式组所表示的区域如图,由 z=3x-y 得,y=3x-z,平移直线 y=3x,由图象

可知当直线经过点 E(2,0)时,直线 y=3x-z 的截距最小,此时 z 最大为 z=3×2-0=6,
? ?4x-y=-1, 当直线经过 C 点时,直线 y=3x-z 的截距最大,此时 z 最小,由? 解得 ?2x+y=4, ?

1 ? ?x=2, 3 ? 3 3 ? 此时 z=3x-y= -3=- ,所以 z=3x-y 的取值范围是? ?-2,6?.] 2 2 ? ?y=3,

?x≥0, 4.若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, ?2x+y≤3,
解析

则 x-y 的取值范围 是________.

记 z=x-y,则 y=x-z,所以 z 为直线 y=x-z 在 y 轴上的截距的相反数,画出不等式 组表示的可行域如图中△ABC 区域所示.结合图形可知,当直线经过点 B(1,1)时,x-y 取 得最大值 0,当直线经过点 C(0,3)时,x-y 取得最小值-3. 答案 [-3,0]

本部分内容高考主要考查以下几方面: (1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等,利用基本不等式解决实际问题. (2)考查以线性目标函数的最值为重点,目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如 斜率、截距、距离、面积等)来求解.
[来源:学科网 ]

(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围, 以考查一元二次不等式的解法为主,并兼顾二次方程的判别式、根的存在等.

不等式部分重点掌握一元二次不等式的 解法,特别是含有字母参数的一元二次不等式 的解法,基本不等式求最值,二元一次不等式组所表示的平面区域,包括平面区域的形状判 断、 面积以及与平面区域有关的最值问题, 简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用. 对 不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.

必备知识

? 一元二次不等式 (1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死 记硬背,二次函数的图象是联系“二次型”的纽带. (2)对含参数的不等式,难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原 因,确定好分类标准(如最高次系数、判别式、根相等),层次清楚地求解. (3)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借 助二次函数的图象,一般考虑四个方面:开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端 点函数值的符号. ? 基本不等式 x+y (1)基本不等式 a2+b2≥2ab 取等号的条件是当且仅当 a=b; 当且仅当 x=y 时, ≥ xy 2 (x>0,y>0)取等号. (2)几个重要的不等式:①ab≤? ② a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R);

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0); 2 2 a+b

1 ③a+ ≥2(a>0,当 a=1 时等号成立); a 2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立); |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. (3)最值问题:设 x,y 都为正数,则有 s2 ①若 x+y=s(和为定值),则 x=y 时,积 xy 取得最大值 ; 4 ②若 xy=p(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 p. ? 比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设的 结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的 步骤、技巧和语言特点. ? 解决线性规划问题的一般步骤 (1)确定线性约束条件; (2)确定线性目标函数; (3)画出可行域; (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解; (5)据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等). 必备方法 1.解一元二次不等式 ax2+bx +c>0(a≠0)或 ax2+bx+c<0(a≠0),可利用一元二次方 程、一元二次不等式和二次函数间的关系.

2.使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时,基本的技 巧是创造使用这些不等式的条件,如各变数都是正数,某些变数之积或者之和为常数等,解 题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换, 使之达到能够使用这些不等式求解最值的 目的 .在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的 条件,尽量避免二次使用基本不等式. 3.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊 点定域”,二元一次不等式组所表示的平 面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数 z=ax+by 中的 z 不是直线 ax a z z +by=z 在 y 轴上的截距, 把目标函数化为 y=- x+ 可知 是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截 b b b 距,要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

基本不等式的应用 常考查:①直接利用基本不等式求最值;②先利用配凑法等进行恒等变形,再利用基本 不等式求最值. 近几年高考试题常考查实际应用题中基本不等式的应用, 应引起我们的重视. 【例 1】? (2010· 重庆)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( 9 11 A.3 B.4 C. D. 2 2 [审题视点] ).

[听课记录] [审题视点] 将已知式改写成 y 关于 x 的表达式,再代入 x+2y 消元, 整理成应用基本不 等式的形式求最值. B 8-x [∵x+2y+2xy=8,∴y= >0,∴-1<x<8, 2x+2 9 ?x+1?· -2=4,此时 x=2,y=1, x+1

8-x 9 ∴x+2y=x+2· =(x+1)+ -2≥2 2x+2 x+1 故选 B.]

当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时,常利用基 本不等式求其最大、最小值.在具体题目中,一般很少考查基本不等式的直接应用,而是需 要对式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式得出结果. 1 1 【突破训练 1】 已知 a>0,b>0,且 a+2b=1.则 + 的最小值为________. a b 解析 2b a? 1 1 a+2b a+2b + = + =3+? ? a +b? a b a b 2b a × =3+2 2. a b

≥3+2

1 1 即 + 的最小值为 3+2 2. a b 答案 3+2 2 线性规划问题的解法 线性规划问题常考查有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是知最优解情况或 可行域情况确定参数的值或取值范围.同时,这也是高考的热点,主要以选择题、填空题的 形式考查. 3x-y-6≤0, ? ? 【例 2】设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0. 3 2 最大值为 12,则 + 的最小值为( a b 25 A. 6 8 11 B. C. D.4 3 3 ).

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 先由已知结合线性规划知识可以求得 a, b 的关系式, 再由基本不等式求解.

A

[不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.

当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6 )时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6. 2 3 2 3? 2a+3b 13 ?b a? 13 25 + · 所以 + =? = +?a+b?≥ +2= .] a b ?a b? 6 6 6 6 线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想. 需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意 与约束条件中的直线的斜率进行比较, 避免出错, 比如上题中目标函数所对应直线的斜率- a <0;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. b 【突破训练 2】某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
[来源 :Z。 xx。 k.Com]

黄瓜 韭菜

4吨 6吨

1.2 万元 0.9 万元

0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为( ).

A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 答案:B [设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数 为 z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y. 线性约束条件为 x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, ?x≥0, ? ?y≥0, x+y≤50, ? ?4x+3y≤180, 即? x≥0, ? ?y≥0.

画出可行域,如图所示.
? ?x+y=50, 作出直线 l0:x+0.9y=0,向上平移至过点 B 时,z 取得最大值,由? 求 ?4x+3y=180, ?

得 B(30,20).]

不等式解法的考查 常考查:①含参不等式的求解;②已知含参不等式恒成立,求参数的取值范围,尤其是 一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一, 几乎涉及高中数学的所有章节, 且常 考常新,要注意解题的灵活性.
[来源:学科网]

【例 3】? 若不等式 x2-ax+1≥0 对于一切 x∈(0,2]成立,求 a 的取值范围. (1)若题中区间改为 x∈[-2,2],求 a 的取值范围; (2)若题中区间改为 a∈[-2,2],求 x 的取值范围. [审题视点]
[来源:Z_xx_k.Com]

[听课记录] [审题视点] 原题可利用分离法求解;(1)分离参数后,需分 x=0,x∈(0,2],x∈[-2,0) 讨论;(2)利用变换主元法求解. x2+1 x2+1 2x 解 原不等式可化为 a≤ ,而 ≥ =2, x x x 所以 a 的取值范围是(-∞,2]. (1)因为 x∈[-2,2],而当 x=0 时,原式为 02-a· 0+1≥0 恒成立,此时 a∈R;当 x≠0 x2+1 1 时,令 f(x) = =x+ , x x 则当 x∈(0,2]时,知 a∈(-∞,2],所以当 x∈[-2,0)时, x2+1 x2+1 1 因为 a≥ ,令 f(x)= =x+ , x x x 由函数的单调性可知, 所以 f(x)max=f(-1)=-2,所以 a∈[-2,+∞), 综上可知,a 的取值范围是[-2,2]. (2)因为 a∈[-2,2],则可把原式看作关于 a 的函数, 即 g(a)=-xa+x2+1≥0,由题意可知,
2 ? ?g?-2?=x +2x+1≥0, ? 解之得 x∈R, 2 ?g?2?=x -2x+1≥0, ?

所以 x 的取值范围是(-∞,+∞). 本题考查了不等式恒成立问题,在给定自变量的取值范围时,解有关不等式 问题时,往往采用分离变量或适当变形,或变换主元,或构造函数,再利用函数的单调性或 基本不等式进行求解,在解答时,一定要注意观察所给不等式的形式和结构,选取合适的方 法去解答. 【突破训练 3】 已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的 取值范围.



设 F(x)=x2-2ax+2-a,则问题的条件变为当 x∈[-1 ,+∞)时,F(x)≥0 恒成立.∵ 当 Δ=(-2a)2-4(2-a)=4(a+2)· (a-1)≤0,即-2≤a≤1 时,F(x)≥0 恒成立. 又当 Δ>0 时,F(x)≥0 在[-1,+∞)上恒成立的充要条件是 Δ>0, ? ?F?-1?≥0, ? -2a ? ?- 2 ≤-1 a>1或a<-2, ? ? ??a≥-3, ? ?a≤-1

?-3≤a<-2.

故 a 的取值范围是[-3,1]. 不等式的综合应用 不等式的综合应用主要体现在不等式与函数、方程、导数、数列等其它知识的综合应 用.不等式作为一种工具经常与函数、方程结合在一起,用其研究函数和方程的有关题目; 再就是利用函数和方程的理论研究不等式.题目难度较大. 【例 4】? 设函数 f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. (1)求 a 的取值范围,并讨论 f(x)的单调性; 1-2ln 2 (2)证明:f(x2)> . 4 [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 第(1)问基础常规,第(2)问要证明不等式,常规方法很难见效,转而构造函 数,反复利用导数作工具研究函数的单调性,其中需要一定的探究能力. (1)解 f′(x)=2x+ 2x2+2x+a a = (x>-1). 1+x 1+x

1 令 g(x)=2x2+2x+a,其对称轴为 x=- . 2 -1- 1-2a 由题意知 x1、 x2 是方程 g(x)=0 的两个均大于-1 的不相等的实根, 且 x1= , 2 -1+ 1-2a x2= , 2
?Δ=4-8a>0, ? 1 其充要条件为? 得 0<a< . 2 ?g?-1?=a>0, ?

①当 x∈(-1,x1)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-1,x1)内为增函数; ②当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(x1,x2)内为减函数; ③当 x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(x2,+∞)内为增函数. (2)证明 当 x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0, 1 ∴- <x2<0.a=-(2x2 2+2x2). 2
2 2 ∴f(x2)=x2 +aln(1+x2)=x2 2-(2x2+2x2)ln(1+x2).

1? 设 h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)? ?x>-2?, 则 h′(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x). 1 ? ①当 x∈? ?-2,0?时,h′(x)>0, 1 ? ∴h(x)在? ?-2,0?上单调递增; ②当 x∈(0,+∞)时,h′(x)<0, h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 ? ? 1? 1-2ln 2 ∴当 x∈ ? ?-2,0?时,h(x)>h?-2?= 4 . 1-2ln 2 故 f(x2)=h(x2)> . 4 在确定函数的单调区间时, 往往需要对所求出的导数中的参数进行分类讨论 来解决,不等式的证明常常借助构造函数,利用函数的单调性进行证明,从而使问题的解决 变得简单、明快. 1 【突破训练 4 】 已知函数 f(x) = x3 - 3ax2 - 9a2x + a3. 若 a > ,且当 x ∈ [1,4a] 时, 4 |f′(x)|≤12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 解 f′(x)=3x2-6ax-9a2 的图象是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.

1 ①若 <a≤1,则 f′(x)在[1,4a]上是增函数,从而 f′(x)在[1,4a]上的最小值是 f′(1)=3 4 -6a-9a2,最大值是 f′(4a)=15a2. 由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a, 于是有 f′(1)=3-6a-9a2≥-12a,且 f′(4a)=15a2≤12a. 1 4 由 f′(1)≥-12a,得- ≤a≤1,由 f′(4a)≤12a,得 0≤a≤ . 3 5

1 ? ? 1 ? ? 4? ?1 4? 所以 a∈? ?4,1?∩?-3,1?∩?0,5?,即 a∈?4,5?. ②若 a>1,则|f′(a)|=12a2>12a. 故当 x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a 不恒成立. 1 4? 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的 a 的取值范围是? ?4,5?.

把握好含参二次不等式的分类标准的四个“讨论点” 含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数 的讨论问题,如何选择讨论标准是学生不 易掌握的地方.实际上,只要把握好下面的四个“讨论点”,一切便迎刃而解. 分类标准一:二次项系数是否为零,目的是讨论不等式是否为二次不等式; 分类标准二:二次项系数的正负,目的是讨论二次函数图象的开口方向; 分类标准三:判别式的正负,目的是讨论二次方程是否有解; 分类标准 四:两根差的正负,目的是比较根的大小. b 【示例】? (2012· 汕头调研)已知函数 f(x)=ax+ +c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线 x 方程为 y=x-1. (1)用 a 表示出 b,c; (2)若 f(x)≥ln x 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. b [满分解答] (1)f′(x)=a- 2, x
? ?f?1?=a+b+c=0, 则有? ?f′?1?=a-b=1, ? ?b=a-1, ? 解得? (4 分) ?c=1-2a. ?

a-1 (2)由(1)知,f(x)=ax+ +1-2a. x 令 g(x)=f(x)-ln x a-1 =ax+ +1-2a-ln x,x∈[1,+∞), x 则 g(1)=0,
[来源:学科网 ]

a-1 1 g′(x)=a- 2 - x x 1-a a?x-1?x- a ax2-x-?a-1? = = .(8 分) 2 2 x x

1-a 1 ①当 0<a< 时, >1. 2 a 1-a 若 1<x< , 则 g′(x)<0, g(x)是减函数, 所以 g(x)<g(1)=0, 即 f(x)<ln x. 故 f(x)≥ln a x 在[1,+∞)上不恒成立.(10 分)

1-a 1 ②当 a≥ 时, ≤1. 2 a 若 x>1,则 g′(x)>0,g(x)是增函数,所以 g(x)>g(1)=0,即 f(x)>ln x,故当 x≥1 时, f(x)≥ln x. 1 综上所述,所求 a 的取值范围为 ,+∞.(12 分) 2 老师叮咛:对不确定的根的大小关系不加区分,整体表现为不能有序地进行分类讨论, 对于分类讨论的题目没有结论,这都是造成失分的原因,切记! 【试一试】 (高考题改编)解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+2<0. 解 不等式 ax2-(2a+1)x+2<0,

即(ax-1)(x-2)<0. 1? (1)当 a>0 时,不等式可以化为? ?x-a?(x-2)<0. 1 1 ①若 0<a< ,则 >2, 2 a 1? 此时不等式的解集为? ?2,a?; 1 ②若 a= ,则不等式为(x-2)2<0,不等式的解集为?; 2 1 ? 1 1 ③若 a> ,则 <2,此时不等式的解集为? ?a,2?. 2 a (2)当 a=0 时,不等式即-x+2<0, 此时不等式的解集为(2,+∞). 1? (3)当 a<0 时,不等式可以化为? ?x-a?(x-2)>0. 1? 1 由于 <2,故不等式的解集为? ?-∞,a?∪(2,+∞). a 1 -∞, ?∪(2,+∞); 综上所述,当 a<0 时,不等式的解集为? a? ? 当 a=0 时,不等式的解集为(2,+∞); 1 1 2, ? ; 当 0<a< 时,不等式的解集为? ? a? 2 1 当 a= 时,不等式的解集为?; 2 1 ? 1 当 a> 时,不等式的解集为? ?a,2?. 2


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