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2013届高三理科数学高考专题训练15 计数原理、概率 Word版含答案]


高考专题训练十五
班级________ 姓名_______

计数原理、概率
时间: 45 分钟 分值: 75 分 总得分_______

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只 要再赢一局就获冠军, 乙队需要再赢两局才能得冠军, 若两队胜每局 的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 1 A. 2 2 C. 3 3 D. 4 3 B. 5 )

解析:∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等. 1 ∴每场比赛甲、乙赢的概率均为 , 2 1 1 1 3 记甲获冠军为事件 A,则 P(A)= + × = . 2 2 2 4 答案:D 2.(2011· 浙江)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本, 物理书 1 本. 若将随机地并排摆放到同一层上, 则书架的同一科目的 书都不相邻的概率是( 1 A. 5 3 C. 5 B. 2 5 )

4 D. 5

解析:利用间接法,所有书的摆放方法 A5 5=120,
2 2 3 语文书相邻、数学书相邻共有 A2 A2A3=24, 1 2 2 2 语文书相邻数学书不相邻 C4 A2A2+2A2 2A2=24,

1 2 2 2 数学书相邻,语文书不相邻 C4 A2A2+2A2 2A2=24,

∴所有书不相邻的排法 120-24×3=48, ∴所有书不相邻的概率 P= 答案:B 3.(2011· 辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取 到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( 1 A. 8 2 C. 5 B. 1 4 ) 48 2 = . 120 5

1 D. 2 P?AB? P?A?

解析:条件概率 P(B|A)= C2 4 2 3+1 P(A)= 2 = = , C5 10 5 P(AB)= 1 1 , 2= C5 10

1 10 1 ∴P(B|A)= = . 2 4 5 答案:B 4.(2011· 潍坊市高考适应性训练)如图 M,N,P,Q 为海上四个 小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法 有( )

A.8 种 C.16 种

B.12 种 D.20 种

解析:如图,M,N,P,Q 共有 6 条线段(桥抽象为线段),任取
3 3 条有 C6 =20 种方法, 减去不合题意的 4 种, 则不同的方法有 16 种.

答案:C 5.设 a1,a2,?,an 是 1,2,?,n 的一个排列,把排在 ai 的左 边且比 ai 小的个数称为 ai 的顺序数 (i= 1,2 ,?, n).如:在排列 6,4,5,3,2,1 中, 5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 这八个数字 构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序 数为 3 的不同排列的种数为( A.48 C.144 B.96 D.192 )

解析:依题意,8 排在第三位,7 排在第五位,5 排在第六或第
4 七位,当 5 排在第六位时,6 排在后两位,排法种数为 C1 2A4=48 种, 1 4 当 5 排在第七位时,6 排在 5 前面,排法种数为 C4 A4=96,故不同

排列的种数为 48+96=144,故选 C. 答案:C

6.(2011· 广州市 2 月综合测试(二))设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则 a 的值为( 7 A. 3 C.5 B. 5 3 D.3 )

解析: 由已知 2a-3 与 a+2 关于 3 对称, 故(2a-3)+(a+2)=6, 7 解得 a= . 3 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7.(2011· 江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机 1 地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电 2 1 影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看书,则 4 小波周末不在家看书的概率为________. 3 1 解析:看电影概率 ,打篮球概率 , 4 16 3 1 13 ∴不看书概率 + = . 4 16 16 答案: 13 16

8.(2011· 湖北)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 ________.(结果用最简分数表示) 27×26 2 C2 28 27 解析:P=1- 2 =1- = . C30 30×29 145 2

答案:

28 145

9.(2011· 福建)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红 色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球 颜色不同的概率等于________.
1 C1 C2 6 3 3· 解析:P= 2 = = . C5 10 5

答案:

3 5

10. (2011· 上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布 列如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且 两个“?”处字迹模糊, 但能确定这两个“?”处的数值相同, 据此, 小牛给出了正确答案 E(ξ)=________. 解析:令“?”处为 p,“!”处为 q,则 2p+q=1. E(ξ)=p+2q+3p=2(2p+q)=2. 答案:2 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011· 天津)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱 子里装有 3 个白球,2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球,2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放 回原箱) (1)求在 1 次游戏中:

①摸出 3 个白球的概率; ②获奖的概率; (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 解: (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3), 则
1 C2 1 3 C2 P(A3)= 2· 2= . C5 C3 5

②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3.又 P(A2)=
2 1 1 C2 C1 1 3 C2 3C2 C2 2· 2+ 2 · 2= . C5 C3 C5 C3 2

1 1 7 且 A2,A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10 (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.
? 7? 9 P(X=0)=?1-10? = . 100 ? ?
2

7 ? 21 7? ?1- ?= . P(X=1)=C1 2 10? 10? 50
? 7 ?2 49 P(X=2)=?10? = . 100 ? ?

所以 X 的分布列是 X P 0 9 100 1 21 50 2 49 100

X 的数学期望 E(X)=0×

9 21 49 7 +1× +2× = . 100 50 100 5

12.(13 分)(2011· 辽宁)某农场计划种植某种新作物,为此对这种 作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验,选取两大 块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块 地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙.

(1)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记 为 X,求 X 的分布列和数学期望; (2)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种 甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2 )如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结果,你认为应该种植哪一品种? 1 附:样本数据 x1,x2,?,xn 的样本方差 s2=n[(x1- x )2+(x2 - x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为样本平均数. 解:(1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且 P(X=0)= 1 1 , 4= C8 70

3 C1 8 4C4 P(X=1)= 4 = , C8 35 2 C2 18 4C4 P(X=2)= 4 = C8 35 1 C3 8 4C4 P(X=3)= 4 = C8 35

P(X=4)=

1 1 4= C8 70

即 X 的分布列为 X P X 的数学期望为 0 1 70 1 8 35 2 18 35 3 8 35 4 1 70

E(X)=0×

1 8 18 8 1 +1× +2× +3× +4× =2. 70 35 35 35 70

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 甲= (403+397+390+404+388+400+412+406)=400, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s2 甲= [3 +(-3) +(-10) +4 +(-12) +0 +12 +6 ]=57.25. 8 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 乙= (419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s2 乙= [7 +(-9) +0 +6 +(-4) +11 +(-12) +1 ]=56, 8 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均 数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.


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