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什么样的数学教学最有价值


什么样的数学教学最有价值
李祎 福建师范大学

目录
? 一、什么是核心数学素养 ? 二、高水平教学“教什么”

? 三、勿轻易突破教学难点
? 四、稚化思维的教学设计

? 五、理想的教学方式是什么
? 六、数学教师应具备的数学素养

一、什么是核心数学素养
? 1.课程性质与基本理念 ? (1)课程性质 ? (1)总目标 ? 3.课程结构

(2)基本理念 (2)数学核心素养

? 2.课程目标与数学核心素养

? (1)设计依据
? (1)必修课程

(2)结构

(3)学分与选课

? 4.课程内容与学业质量标准

(2)选修I课程 (3)选修Ⅱ课程 (2)考试与命题建议 (4)教师专业发展建议

? 5.实施建议
? (1)教学与评价建议 ? (3)教科书编写建议

?高中数学课程突出了三 条内容主线:函数、代数 与几何、统计与概率; ?把数学建模与数学探究、 数学文化贯穿在课程中; ?必修课程面向全体学生, 是高中毕业的内容要求; ?选修I课程面向准备进 入普通高等院校学习的学 生,必修课程与选修I课 程是普通高等院校入学考 试的内容要求; ?选修Ⅱ课程为不同学生 发展提供了不同的选择。

? 必修课程内容设置如下:
主题 集合 主题一 准备知识 单元 建议学时

常用逻辑用语
一元二次函数、方程和不等式

17

函数概念与性质
主题二 函数及应用 幂函数、指数函数、对数函数 三角函数 函数综合应用 主题三 向量与几何 平面向量及应用 立体几何初步 统计 概率 38 57

主题四 主题五 主题六

统计与概率 数学建模与数学探究 数学文化

20 5

3

? 选修I课程内容设置如下:
主题 数列 一元函数导数及其应用 空间向量与立体几何 单元 建议学


30

主题一

函数与数列

主题二

向量与几何

平面解析几何
计数原理

42

主题三 主题四

统计与概率

统计与概率

26

数学建模与数学探究

4
2

主题五

数学文化

选修Ⅱ课程分A、B、C、D、E五类。

A课程 是部分理工类学生(数学、物理、计算机、精 密仪器等)可以选择的课程。
B课程 是部分理工类学生(化学、生物、机械等)和 经济、社会(数理经济等)可以选择的课程。 C课程 是人文类学生(历史、语言等)可选的课程。 D课程 是体育、音乐、美术(艺术)类学生(等)可 以选择的课程。 E课程 是学校自主开设,供学生自主选择的课程。

不同高校、不同专业可根据需要提出对选修Ⅱ课程
中的学分要求。国家、地方政府、社会权威机构可 以组织命题考试,成绩可作为高校自主招生的依据。

? A课程(6学分,108学时)
? 微积分(2.5学分) ? 三维空间的几何与代数(2学分)

? 统计与概率(1.5学分)
? B课程(6学分,108课时) ? 微积分(2学分)

? 线性代数(1学分)
? 应用统计(2学分) ? 模型(1学分) ? C课程(6学分108课时) ? 逻辑推理初步(2学分) ? 数学模型(2学分) ? 社会调查与数据分析(2学分)

?D课程(4学分)

?美与数学(1学分)
?音乐中的数学(1学分) ?美术中的数学(1学分) ?体育运动中的数学(1学分) ?E课程(6学分) ?生活拓展课程:生活中的数学,家庭理财与数学,

机器人与数学等。
?大学先修课程:微积分、线性代数、统计与概率等。

?①数学抽象

内涵 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到 数学研究对象的思维过程。主要包括:从数量与数 量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念 之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律 和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征。 价值 数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维 的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学 的产生、发展、应用中。抽象使得数学成为高度概 括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。 目标 通过数学抽象核心素养的培养,学生能够更好 的理解数学的概念、命题、方法和体系,形成一般 性思考问题的习惯;能够在其他学科的学习中化繁 为简,理解该学科的知识结构和本质特征。

案例1:哥尼斯堡七桥问题
连通图可以一笔

画的充要条件是:
奇点的数目不是 0 个就是2 个 (要想一笔画成, 必须中间点均是 偶点,奇点只可 能在两端)。

案例2:概念教学——本质属性的抽象
? 数学概念:反映数学对象的本质属性的思维产物。

? 本质属性:共有性,特有性,整体性。
? 示例①:集合概念的教学

? 幼儿园孩子学习集合。
? 应如何学习集合?

? 示例②:数列概念的教学
? 数列的本质是什么? ? 应如何学习数列?

?②逻辑推理

内涵 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑 规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类:一类 是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的 推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从大范围 成立的命题推断小范围内也成立的推理,推理形式主 要有演绎推理。 价值 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要 方式,是数学严谨性的基本保证。逻辑推理是数学交 流的基本品质,使数学交流具有逻辑性。 目标 通过逻辑推理核心素养的培养,学生能够发现和 提出命题,掌握推理的基本形式,表述论证的过程, 理解数学知识之间的联系;能够理解一般结论的来龙 去脉,形成举一反三的能力;能够形成有论据、有条 理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力。

? 案例1:等比数列前n项和公式

案例2:余弦定理c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

?③数学建模

内涵 数学建模是对现实问题进行抽象,用数学语言表 达和解决问题的过程。具体表现为:在实际情境中, 从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建 模型、求解结论、验证结果、改进模型,最终得到符 合实际的结果。 价值 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学 应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题 的基本手段,是推动数学发展的外部驱动力。 目标 通过数学建模核心素养的培养,学生能够掌握数 学建模的过程,积累用数学的语言表达实际问题的经 验,提升应用能力和创新意识。

? 案例1:一个旅游者在早上7点离开师大旗山校区,

沿着一条路在中午 12 点走到了马尾。第二天早上 7

点他从马尾沿原路返回,在中午12点回到了师大旗
山校区。证明 : 在路上有这样的一个地点,旅游者 在两天里在同一个时刻经过它。
? s=f(t),s=g(t)

f(7)=0,f(12)=s0

g(7)=s0,g(12)=0
s=h(t)=f(t)-g(t) h(7)=-s0,h(12)=s0

案例2:基本不等式
? 小王与小李既是同学,又是邻居,他们每次

总是一起去买白糖。小李每次总是买一元钱
的白糖,小王每次总是买一斤白糖。假设白

糖的价格是经常变动的。试问:这两种买西
红柿的方式,哪种更合算?

a1 ? a2 2 ? ? a1a2 1 1 2 ? a1 a2

?④直观想象

内涵 直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变 化,利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括: 利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数 学问题的直观模型,探索解决问题的思路。 价值 直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数 学命题、探索和形成论证思路的重要手段,是构建抽 象结构和进行逻辑推理的思维基础,是培养创新思维 的基本要素。 目标 通过直观想象核心素养的培养,学生能够养成运 用图形和空间想象思考问题的习惯,提升数形结合能 力,建立良好的数学直觉,理解事物本质和发展规律。

案例1:等差数列前n项和公式

n(a1 ? a n ) Sn ? 2

案例2:绝对值不等式

?⑤数学运算

内涵 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运 算法则解决数学问题。主要包括:理解运算对象,掌 握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运 算程序,求得运算结果。 价值 运算是构成数学抽象结构的基本要素,是演绎推 理的重要形式,是得到数学结果的重要手段。数学运 算是计算机解决问题的基础。 目标 通过数学运算核心素养的培养,学生能够提高解 决实际问题和数学问题的能力,提升逻辑推理的能力, 形成程序化思考问题的习惯,养成实事求是、一丝不 苟的科学精神。

?⑥数据分析

内涵 数据分析是指从数据中获得有用信息,形成知识 的过程。主要包括:收集数据提取信息,利用图表展 示数据,构建模型分析数据,解释数据蕴含的结论。

价值 数据分析是大数据时代数学应用的主要方法,已
经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面。数据 分析是现代公民应当具备的基本素质。 目标 通过数据分析核心素养的培养,学生能够养成基 于数据思考问题的习惯,提升基于数据表达现实问题

的能力,积累在错综复杂的情境中探索事物本质、关
联和规律的经验。

? 二、高水平教学“教什么” ? 低水平的教师,只会照本宣科,看到什么就教给

学生什么,只是知识的搬运工;
? 高水平的教师,能透过现象看到本质,在教教材

中显性知识的同时,能挖掘出其后的隐性知识,
教到一些别人教不出来的内容。 ? 这些不易教到的隐性知识是什么呢?概括而言, 是数学的本质、过程、思想和结构等四个方面。 ? 案例:函数的单调性

? 1.认识“本质” ? 既要从整体上认识数学对象产生的必要和意义, 也要从微观上揭示和把握数学对象的本质属性。 ? 从宏观上来看,学完一个概念之后,往往要接着 研究其性质。 ? 什么是“性质”呢?“变化当中保持不变的规律” 就是事物的性质。

? 观察并比较几个具体函数的图像,发现无论函数 图像怎么变,都会呈现出某种共同特征,如增减 性、对称性、渐近性等,这就是所谓的函数性质。

? 从函数图像来看,函数图像千变万化,但不管怎 么变化,图像总会呈现上升、下降或有升有降的 趋势,单调性刻画的就是函数的这种变化趋势; ? 从函数定义来看,无论是哪个函数,其研究对象 都是事物的“变化”,而事物变化最简单的情形 就是变大还是变小,即当自变量增加或减少时,

因变量是增加还是减少,此即函数的“增减性”。
? 这两种思维构造,在初中已初步完成。

? 高中学习的困惑:在获得函数图像的直观特征, 或定性的文字语言描述的基础上,为何还要学习 符号化的定义? ? 一方面,从“数”的角度研究“形”,是数学上 的要求,目的是准确表达图像上点与点之间位置 关系的规律;同时单调性作为函数自身的性质, 用函数符号来刻画图像升降也是一种回归。 ? 另一方面,有的图像是升还是降,从图像观察并 不明显,如 y=0.001x+1 ;有的图像是无限延伸 的,其在远端变化趋势不得而知;有的图像难以 画出,如y=x+1/x,其升降判断无法依赖图像。

? 从微观上来看,首先要认识到单调性的性质特征。

? 相对于奇偶性等性质,函数单调性只是函数的局
部性质;但相对于函数的导数等“真正的”局部 性质而言,单调性又可视作函数在定义域的某部 分上的整体性质。因此,在指出一个函数的单调 性时,必须指明其相对应的范围。

? 教材对单调性的定义并不严谨:“如果对于定义
域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 ……” ,

没有考虑到自变量离散变化情形,或定义域为并
集情形。如果改用“数集 ”,就比较准确和科学。

? 其次是对于自变量取值“任意性”的理解。首次出现全称 量词:用有限数值刻画无限变化,用静态语言描述动态对 象。

? 2.经历“过程” ? “过程”与“结果”同等重要,“过程”不仅是 达到“结果”的手段,也是教学所追求的目标。 ? 目前教学中重结果轻过程、重记忆轻理解的现象 仍普遍存在,“过程性目标”往往只是作为点缀。 ? 教学中总是急不可耐地直奔知识与技能目标,没 有真正让学生去亲身经历、探索和体验,“经历 过程”往往被压缩和简化。 ? 教师把教学重心放在了咬文爵字的分析、细枝末 节的强调、解题程序的归纳和证明技巧的训练上。

? (1)直观感知阶段 ? 生活中的变化,既有“蒸蒸日上”,也有“每况 愈下”,还有“此起彼伏”。函数图像从左往右 看(是认知习惯,也是坐标轴特征要求),有的 一直上升,有的一路下滑,还有的是有升有降。 ? 图像理解具有图形化、动态性和方向性特点,在 中学对某些函数的单调性无法严格证明的情况下, 图像法也成为了判断函数单调性的基本方法(如 指、对数函数等)。 ? 此乃用图形语言对函数单调性的刻画。

? (2)定性描述阶段 ? “上升”“下降”是一种图像特征,用图形语言 描述性质不够准确,无法应用于计算和推理证明, 需要从图像上的感知转向解析关系上的认知。 ? “上升”或“下降”反映的是函数的一种变化特 征,而变化特征最简单的体现就是“增减性” (还有“快慢性”等),从而根据函数的意义, 自然过渡到第二个阶段:“上升”意味着 x 增大 时 y 随之而增大,“下降”意味着 x 增大时 y 随之 而减小。

? 此乃用文字语言对函数单调性的刻画。

? (3)符号化阶段

? 从“增大”词义产生数值“对比”的思想:“ x 增大”反映自变量的动态变化特征,即 x 越变越 大,而动态变化往往通过一系列“静态”状态来 刻画,故 “x 增大 ” ,意味着有一系列 x 的取值,它 们一个比一个大,即是“ ”;“y 增大”也是同理。 ? 同时还必须说明,由于x与y具有相依关系,因而 自变量增大与因变量增大具有伴随性特征,即正 是由于自变量x的增大,才引起了因变量y的增大, 此即“ ”。
? 此乃用符号语言对函数单调性的初步刻画。

? (4)精致化阶段

? 在实际教学中,在单调性概念形成的关键节点处,
要注意引导学生积极参与讨论、交流。

? 通过经由直观分析、到定性描述、再到符号刻画,
使学生认识到数学研究是从感性走向理性、从粗

糙走向精致的过程,由此反映和体现了数学由表
及里的理性追求。

? 3.领悟“思想”
? 数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的

本质认识,是从某些具体数学内容及其认识过程
中提炼出的基本观点。

? 显性数学知识是教材中的一条明线,隐性思想方
法就是潜藏其中的一条暗线。“明线” 反映知识 间的纵向联系;“暗线”反映知识间的横向联系。 ? 数学教材里到处体现着明、暗线的有机结合。

? (1)数形结合思想
? 函数性质的获得,既离不开“形”,也离不开

“数”,是数形结合思想运用的结果。先通过
“形”的观察获得感性认识,再通过“数”的刻 画获得理性认识。 ? 但对于函数单调性的学习而言,又有其特殊性: 不同于初中的一次函数、反比例函数等具体函数

性质的学习,它反映和揭示的是函数的一般性质,
其解析式是抽象的,其图像是未知的,因而数形

结合思想的实现,还得借助于特殊化的思想。

? (2)分类讨论思想
? 在初中学习一次函数、二次函数、反比例函数的

性质时,均要根据系数不同分情况来讨论性质。
? 因而在画出各种具体函数图像之后,要让学生通

过观察,尝试按照某一标准(如增减性),对图
像进行归类分析。 ? 在此后学习函数的奇偶性以及指数函数、对数函 数等的性质时,仍然要用到这一思想。

? (3)从特殊到一般的归纳思想 ? 在采用概念形成方式学习单调性概念时,为了体

现归纳思想,防止“一次性强行归纳”,至少应
举四个特例,即单调递增和单调递减各举两个特

例。
? 目前所学函数类型有限,典型做法是按如下方式 举例:一个单调递增的一次函数,一个单调递减 的一次函数,一个简单的二次函数。 ? 从简单、个别、特殊的情况入手,从而归纳出一

般的规律和性质,这是数学研究的常用方法。

? (4)从具体到抽象的概括思想

? (5)从无限到有限的转化思想

? 用有限把握无限,是人类认识事物的基本方法。
? 在说明“任意 ” 等价于“任意 ”时,蕴含了从无 限到有限的转化过程,以及用有限刻画无限的基 本思想。

? 在对单调性概念进行辨析时,自变量的取值强调 “任意性”,通过“取值”的“任意性”,运用 运动与静止、无限与有限的辩证思想,把图像的 动态变化转化为任意两个离散点的数值比较,由 此成功实现了用有限把握无限的努力。

? (6)类比的思想方法
? 事物的联系性与相似性,是类比思想运用的基础。

? 单调递增与单调递减的学习,属于并列学习,两
者具有较强的可类比性。

? 在实际教学中,若对于单调递增的学习采用的是
启发式的讲解,则对于单调递减的学习完全可采

用类比的思想方法,放手让学生通过自主探究来
获得其形式化的定义。

? 这些思想方法不依内容而异,呈现出某种相通性, 具有较强的可迁移性。 ? 一方面,在运用到这些思想方法的关键处,教师 要多留出时间让学生思考,“逼迫”他们面临问 题时,学会“数形结合”,“分类讨论”,“从 特殊到一般”等,尽可能让他们独立 “发现”这 些思想方法; ? 另一方面,教师要有意识地使用一些提示语,使 学生在潜移默化地领会思想方法的同时,尽可能 使其显性化,使学生对思想方法的掌握,从自发 走向自觉,从无意识默会走向有意识习得。

? 4.把握“联系”

? 三、勿轻易突破教学难点

? 传统教学理论把传授知识当作教学的首要任务,
过分夸大和强调教学难点的消极作用,在难点的

处理上,往往走向两个极端:一是“避重就轻,
二是“单纯追求化难为易”。 ? 数学教学的根本任务在于发展学生思维,对于数 学教学难点,要认识到其双重性特征:既要认识 到教学难点的消极作用,更要注意到难点在深化

知识、发展思维和提高能力方面的积极意义。

? 张奠宙: 那种对知识降低要求的做法,就像把本 来营养不高的袋装奶粉还不断地用水稀释,营养 成分少了,长期喝这样的牛奶,不利于身体健康。
? 对教学难点的处理,既要考虑化难为易的效果, 更要注意化难为易的方法。

? 针对有重要价值的教学难点,教师不能简单地强 调化难为易,轻易帮助学生突破难点,而是要在 教学方法上工于设计,帮助学生自己去攻克难点, 让学生在经历难点的过程中,获得能力提升和智 慧发展,从而使教学难点的价值最大化。

? 案例:函数的奇偶性 ? 1.学习背景分析

? 小学数学:二年级“美丽的对称图形”(认识并
画出:画一画);五年级“图形的变换——轴对

称”(方格纸上研究轴对称:量一量,数一数)
? 初中数学:初二“轴对称”(坐标系中研究轴对 称的特征和性质) ? 高中数学:函数的对称性——奇偶性;方程曲线 的对称性

? 2.学习价值分析

? 认识论的价值:经历从特殊(具体函数)到一般 (抽象函数)、从具体(运算)到抽象(概括) 的思维过程,经由直观分析到演绎证明、从自然 语言到符号表示,使学生认识到数学研究是一条 从感性走向理性、从粗糙走向精细的发展之路。 ? 方法论的价值:奇偶性概念蕴涵的数学思想是 “转化思想”。即对于一个确定的奇函数或偶函 数,如果已知该函数图像在 y 轴一侧的特征,便 可推知该函数图像y轴另一侧的特征。

3.教学难点处理分析

? 这里对教学难点的处理,存在以下两方面问题:

? 一是内容设计“避重就轻”,存在演绎证明的缺失;
? 二是教学策略运用不当,存在学生探究的缺位。

? (1)演绎证明的缺失
? 一方面是用具体分析代替形式论证。仅仅通过特殊 函数分析、具体数值检验,由此抽象概括出函数奇 偶性的定义,这是不够的。 ? 不仅要注重合情推理,更强调演绎推理。一般性论 证依靠非逻辑手段获得的结论,既可以发展学生的 逻辑思维能力,又有助于养成言必有据的科学态度。

? 另一方面是用单向转化代替等价转化。

? (2)学生探究的缺位
? 用教师讲解代替学生探究是普遍存在的现象:具

体函数的图象由教师呈现,图象观察的视角和结
论由教师给出,由“形”到“数”转化的方法由 教师提供,通过从特殊到一般获得的结论由教师 概括。 ? 面对难点教师先不要越位“开讲”,也不要轻易

采用特殊手段化解难点,而是在教师的引导下先
让学生进行自主探究。在探究中当出现思维障碍

而无法排除时,教师再适时启发、适度点拨。

? 启发和点拨的关键是认知提示语的构建。

? 提示语可围绕以下基本问题来生成:
? 为什么需要研究函数图象的对称性?

? 函数图象的对称性特征为何要符号化?
? 图象的对称性如何转化为点的坐标之间的关系?

? 如何用函数自身的语言刻画这种对称性?
? 如何一般性论证经归纳概括所得的这一结论?

? 如何反向说明这一结论的逆命题也是成立的?

? ①函数y=f(x)的图像关于y轴对称→ ? ②存在点与点之间位置关系的规律性→

? ③点的横坐标、纵坐标分别表示自变量的值和其
对应函数值,当自变量的值之间具有某种特殊关

系时,对应的函数值之间也会呈现特定关系→
? ④列出函数值对应表,观察和归纳得到: “若x1=-x2,则f(x1)=f(x2)”→ ? ⑤“对任意x,都有f(-x)=f(x)”→ ? ⑥逻辑的双向证明.

? 4.能培养哪些数学能力? ? ①从整体到局部,即“函数图像的特征”向“点 与点之间的位置关系”的转化—分析能力. ? ②从“形”到“数” , 即“点与点之间位置关系” 向“点的坐标之间关系”的转化—分析能力. ? ③从特殊到一般,即借助具体的 x 的值和对应的 f(x)的值,归纳得到“图像上横坐标互为相反数 的两个点,其纵坐标相等”—概括能力.

? ④推理论证能力 . 引导学生利用对称性的定义进 行证明,发展学生的演绎证明能力. ? ⑤知识和技能的迁移能力 .发挥思维的迁移作用 , 获得超越课本的数学知识: ? 函数 y=f(x) ,若其图像关于直线 x=m 对称,如何 用对应关系f来表示这一图像特征呢? ? 函数y=f(x) ,若其图像关于点 Q(a,b)对称,如何 用对应关系f来表示这一图像特征呢?

函数图象的对称性:

方程曲线的对称性:

? 四、稚化思维的教学设计 ? 教学的类型: 深入深出型;浅入深出型; 浅入浅出型;深入浅出型。 ? 理想的教学要能做到“深入浅出”。

能否“深入”,取决于教师的数学水平;
能否“浅出”,取决于教师稚化思维的水平。

? 1.稚化思维的内涵 ? 教师最擅长的就是扮演“先知先觉”的上帝角色,

他们已经知道了所要学习的某知识的存在,在教
学时总是千方百计地让学生很快地获得这一知识,

而不是让学生返回到知识生成的原生状态,让学
生把相关的知识意义创造出来。 ? 数学教学一直是一种“为我”的状态而不是“为 他”的状态,教师常常只是站在自己的认知角度、 而不是站在学生认知心理的角度来考虑问题。

? 所谓稚化思维,就是教师把自己的外在权威隐蔽 起来,教学时不以知识丰富的教师自居,而是把 自己的思维降格到学生的思维水平,亲近学生, 接近学生,有意识地退回到与学生相仿的思维状

态,设身处地地揣摩学生的学习水平、状态等,
有意识地生发一种陌生感、新鲜感,以与学生同

样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情
境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。

? 波利亚 :“让你的学生提问题,要不就象他们自 己提问的那样由你去提出这些问题;让你的学生 给出解答,要不就象他们自己给出的那样由你去 给出解答。”(数学的发现)

? 这就要求教师在教学设计中,要有意识地退回到
与学生相仿的思维态势,通过“心理换位”对自

身的自我监控进行必要的加工和处理,使教学设
计中呈现的教学思路更贴近学生的实际。

? 2.稚化思维的意义
? (1)有利于引起思维共振

? 教师以自己的知识水平去思考,把思考过程和结
果教给学生,学生往往知其然不知其所以然。 ? 数学家萧荫堂 :“有时教授备课不足,笨手笨脚 地算错了数,从他搔着首、念念有词的改正中, 反而可以看出他的思路,真正学到些东西。”

? 悬置知识,稚化思维,使师生之间在认识程序上
达到“同频”,引起教与学的“共振”。

? (2)有利于降低认知难度
? 学生在学习中遇到的困难,多数源于教学过程起

点过高,或先前认知经验的不足。(间接性,技巧性)
? 教师稚化自己的思维,降低教学的起点,与学生

一起走入学生的原有经验中去,在学生原有思维
水平上展开教学,顺着他们的思维逐渐展开,在

思维的水到渠成中掌握新知识,这样可以大大降
低学习新知识的难度。(循循善诱,自然流畅)

? (3)有利于拉近情感距离 ? 苏霍姆林斯基 : 教师必须在某种程度上变成孩子。 ? 《教育心理学》指出:要使学生接受你的观点, 你就必须同学生保持“同体观”的关系 —— 即 “自己人效应”,这样就拉近了双方的心理距离。 ? 稚化成熟的思维,在稚化中调协情感阀门和思维 按钮,让教师和学生的心灵“频率”同步,与学 生实现心灵的共振,真正地飞进孩提的心灵世界。

? 3.稚化思维的教学设计策略 ? (1)分析问题以学生的认知结构为起点 ? 教学设计要从学生真实的问题和经验出发,而不 是从数学教材或从教师假想的问题和经验出发。 ? 所谓真实的问题,即是学生头脑中真正存在的问 题,是作为新知识固着点的问题。 ? 所谓真实的经验,即是学生头脑中已有的经验, 是作为新知识生长点的经验。

? 物理大师保罗 · 狄拉克的 学术报告中的“故事”。 ? 许多教师在数学教学设计中,关心的并不是学习

任务与学生固有认识的实际差距,往往只是从所
要学习的知识点出发来设计问题,这样的问题就

类似于狄拉克所拒绝回答的那类问题,这样的教
学设计就最容易脱离学生的实际认知水平。

? (2)启迪心智以学生的思维方式为起点 ? 为了使教师的思维契合或顺应学生的思维,使两 种思维“合拍”,教师需要设身处地地揣摩学生 的思维方式。 ? 当教师的思维带上学生的色彩,甚至达到“学生 化”之后,教与学的过程就会融为一体,教学就 会进入一种自然流畅的状态,这就能从一定程度 上避免教师以自己的思维来取代学生的思维。

? 为此教师要善于运用退化性原理和表演性原理:
? 惑其所惑,以利解惑 ? 疑其所疑,惑其所惑,根据学生可能出现的疑惑, 蓄意制造引起速惑的思维环境。 ? 难其所难,以利化难

? 教师只有扮演学生的角色,成为学生的化身,才 能体察“民情”,知道学生的困难所在。 ? 错其所错,以求防错
? 装着不知不觉的样子,发生学生常见的典型错误, 让学生积极地帮老师纠错。

? 案例1:等差数列求和公式 ? 帽子里突然跑出一只兔子? ? ①配对求和(高斯求和:先行组织者) ? ②化归转化(先求Sn=1+2+…+n)

? ③倒序相加(如何过渡)
? ④面积法(几何表征)

? 案例2:等比数列求和公式 ? ①等比定理
a2 a3 an a2 ? a3 ? ? ? an ? ??? ? q, 得 ?q a1 a2 an?1 a1 ? a2 ? ?an?1

? ②累加法 ? ? ? ? a2=a1q a3=a2q …… an=an-1q Sn-a1=(Sn-an)q

? ③归纳猜想 ? 提取a1:sn=a1+a1q+…+a1qn-1=a1(1+q+…+qn-1)

? ④化归转化

Sn ? a1 ? a1q ? ? ? a1q n?1 ? a1 ? q(a1 ? a1q ? ? ? a1q n?2 ) ? a1 ? qSn ?1 ? a1 ? q( Sn ? an )
? ⑤错位相消

? 求和的实质是什么?数列求和公式的建立,其本
质是化归转化思想的体现,即通过计算公式,化 复杂运算为简单运算。

? 五、理想的教学方式是什么 ——微探究+启发式

? 1.探究式教学
? (1)探究式教学的内涵

? 所谓探究学习,是指在教师的指引下,学生积极 主动、相对独立地对问题探个究竟的过程。
? 有问题或困惑存在,学生能积极主动地参与,就 构成了探究学习的核心要素。 ? 探究学习主要不是一种外在的活动或程序,而是 一种内在的精神品质。

? 基于探究学习的教学策略,更注重观念驱动作用, 强调教学策略的粗放性。
提出教学“二十四字方针”—— ? 精立内容,大作功夫; ? 少占多让,少扶多放; ? 绝对主动,相对自主。 ? 考虑到教学的时效性和可操作性,提出“微探究” 的教学理念: ? 小范围、短时间、局部的探究

? (2)探究式教学的意义 ? “告诉学生如何解二次方程并指定一批作业供学 生熟悉这一方法——采用这种办法使学生获得的 知识是不能持久的.” (美国国家研究委员会.人人关心数学教育的未来. 世界图书出版公司,1993.) ? 建构主义:知识是无法传递的!

? 人人关心数学教育的未来:

? 教得多,并不意味着学得也多;
有时教得少,反而学得多.

? 没有一个教师能够教数学;好的教师不是在教数学,
而是能激发学生自己去学数学.

? 德国教育家第斯多惠:
? 教学的艺术不在于传授本领,而在于激励唤醒和鼓舞.

? 一个坏的教师奉送真理,一个好的教师教人发现真理.

? 一位企业家问郭思乐教授,什么是教学?他说: ? 如果你告诉学生 ,3 乘以 5 等于 15, 这就不是教学 . 如果你说 ,3 乘以 5 等于什么?这就有一点是教学 了 . 如果你有胆量说 ,3 乘以 5 等于 14, 那就更是教 学了 . 这时候 , 打瞌睡的孩子睁开了眼睛 , 玩橡皮 泥的学生也不玩了 :“什么什么?等于 14 ?!” 然后他们就用各种方法,来论证等于15而不是14.

? 2.启发式教学 ? (1)启发是引导学生学习的基本方法

? 《礼记·学记》:“君子之教喻也,道而弗牵,
强而弗抑,开而弗达。道而弗牵则和,强而弗抑

则易,开而弗达则思。”
? 善于教学的人在于诱导学生, 是指引而不是强逼, 是鼓励而不是压制,是启迪思想而不是完全讲解 或提供答案。

? 《论语·述而》:“子曰:不愤不启,不悱不发。” ? 朱熹 :“愤者 , 心求通而未得之意;悱者,口欲 言而未能之貌。启,谓开其意;发,谓达其辞。”

? 教导学生不到他想弄明白而又不能弄明白的时候,
不要去点拨他;不到他想说出来而又说不清楚的 时候,不要去启发他。

? 《论语·子罕》:“吾有知乎哉?无知也。有鄙夫 问于我,空空如也。我叩其两端而竭焉。” ? 孔子遇到有人向他提出问题时,他并不立即表示

自己知道很多,马上说出问题的答案,而是首先
从问者的疑难出发,从问题的正、反两面加以反

诘,借以激发提问者进一步思考,从而促使问者
觉悟到合理的答案。

? 苏格拉底: 他从来都没有教给别人什么,他只不 过是象一个灵魂的接生婆那样,帮助人们产生自 己的思想、观点。 ? “比已知正方形的面积大一倍的正方形的边长是 多少”:通过步步反问使童奴陷入困惑状态,使

其自知其不知,因而力求认知,以弥补自己的不
知。再通过引导性提问,使其自己寻找到答案。

? 涂荣豹:启发是教师教学的基本功。 ? “启发的技巧和水平可以有高低,但是无论如何 启发都是必须的,不进行启发甚至可以认为是教

师的无能。”
? 教师在教学中的主要任务是“引导”, 而“启发”

则是教师引导学生学习的基本方法。

? (2)学习引导中的二重启发原理解析 ? 引导主要应通过启发性的帮助来实现。 ? 设身处地站在学生的立场,了解学生的情况,懂 得学生的思维,逐步进行启发和诱导。 ? 从内容的角度来看,这种启发性的帮助应由易到 难,以符合认知规律;

? 从思维的角度来看,这种启发性的帮助应由远及
近,以提高思维强度。

? 横向是从内容角度而言,启发应“由易到难”; ? 纵向是从思维角度而言,启发应“由远及近”。

? 简单、容易的内容在启发时,距离目标的起点可
远些,以提高思维强度;

? 复杂、困难的内容在启发时,距离目标的起点可
近些,以节约学习的时间。

? (3)启发的适度性策略分析 ? 启发应适度,不能过于直白,也不能过于含蓄。 启发的主要作用在于给学生以暗示。 ? 既可以言近而旨远,言有尽而意无穷,话里有话 或弦外有音;也可以举一而寓三,一语而多关, 或进行迂回设问。 ? 语忌直,意忌浅,脉忌露,味忌短,如此才能达 到暗示的效果。

? 教师的提问必须委婉而含蓄。所谓委婉而含蓄,

指的是提问内容的一般性与提问词句的简明性。
? 对于不委婉、不含蓄性提问的坏处,著名数学家

波利亚用典型例子,深入浅出地做了详细剖析。
? 案例:“你能不能应用勾股定理啊?” ? 当教师这样提问时,对学生的帮助就太多了。

? 它有以下几点坏处: ? a. 如果学生已经接近于问题的解答,他当然明白 这一提问所包含的启示意义,可是他已不需要这

项帮助了。反之,一个学生离问题解决还远得很,
他就很可能完全不明白这一提问的作用。因此这 一提问并不能帮助那些急需帮助的学生。

? b. 如果这一提问的启示意义是被了解了,那么,

它把所有的奥秘都显露出来,几乎没有留下什么
可给学生做了。 ? c. 这一提问的启示意义太狭隘,即使学生能应用 它来解决这个题目,但对以后碰到的题目,他们 根本没学到什么,这一提问太不具有启发性了。

? d. 就算学生懂得这提问的作用,可是他很难体会

到教师凭什么会想到它的,学生本人怎样才能够
独立地想到它的。看起来这提问太不自然了,这 就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人

感到意外,它根本就不具有什么启发性。

? (4)启发的适时性策略分析 ? 启发不仅应适度,而且要适时,即当启处启,当 发处发,“启”在关键处,“发”在要害处,防 止超前启发和滞后启发。 ? “不愤不启,不悱不发”,即指明了“愤”“悱”

是启发的必然前提,也是启发的“应然”时刻。
? 启发的时间等待理论。

? 案例:任意角三角函数 ? ① 三角函数的认知基础 ? 三角函数是函数的下位概念,同时又是锐角三 角函数的上位概念;教学要以函数思想为指导, 以锐角三角函数概念为认知起点,突破用直角 三角形定义三角函数的思维局限,以坐标系和 单位圆为定义工具,促进任意角三角函数定义 的有效生成。

? ② 三角函数的本质特征

? 角的边上的任一点到另一边的距离、在另一边
的投影,以及该点到角的顶点的距离,三者中 任两者的比保持不变。揭示这一本质,既可在 直角三角形中,也可在坐标系中,后者可体现 三角函数的周期性特点(核心是对应关系)。

? 引入锐角三角函数,目的是为了研究三角形中
的边角关系,定义侧重几何的角度;引入任意

角三角函数,目的是为了研究周期变化现象,
定义侧重代数的角度。

? ③ 三角函数的认知难点
? A.三角函数对应关系的“与众不同”,主要表现在不

以 “ 代 数 运 算 ” 为 媒 介 . 以 前 遇 到 的 y=kx+b ,
y=ax2+bx+c,y=ax,y=logax等,都有“运算”的背景,

而三角函数是“直接对应”,无须计算.
? B.三角函数是以角为自变量的函数,由角与比值的对

应,再实现数到坐标的对应,会有一定的理解困难.
? C.由锐角三角函数到任意角三角函数的过渡与衔接.

? ④ 两种定义方法的比较 ? 终边定义法: ? 终边定义法”需要经过“取点──求距离── 求比值”等步骤,对应关系不够简洁; ? “比值”作为三角函数值,其意义不够清晰; ? 任意一个角所对应的比值的唯一性(即与点的 选取无关)需要证明。

? 单位圆定义法:

? 一是简单、清楚、易掌握.坐标(cosα,sinα)
是单位圆上点的动态描述,正、余弦函数的基本

性质就是圆的几何性质的解析表述.
? 二是突出三角函数最重要的性质——周期性.单 位圆上点的坐标随角α每隔2π而重复出现. ? 三是单位圆中的三角函数线与定义有了直接联 系,从而便于采用“数形结合”思想研究三角函

数的定义域、值域、同角三角关系等知识.

? 为何不用一般的圆周? ? 用单位圆周,半径为1,则可直接建立点的横纵坐 标、纵坐标与角的函数关系. ? 单位圆周上运动点的位置模型:非单位圆周,则 是比值与角的模型,而仅仅比值无法确定位置; 角确定了比值,半径1进一步确定了位置. ? 柯朗 :定义三角函数的最好方式 ,是利用直角坐 标系中的单位圆.

? ⑤ 可考虑的教学思路
? 函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型 →如何建立圆周运动的数学模型→如何建立单 位圆周运动的数学模型. ? “任意角ɑ→ɑ的终边OP→圆周上的点P→单位 圆上点的横、纵坐标x,y”; ? 正弦函数:任意角ɑ→ɑ的终边OP与单位圆交点 P的纵坐标y; ? 余弦函数:任意角ɑ→ɑ的终边OP与单位圆交点 P的横坐标x.

? ①回忆以直角三角形边的比值定义的锐角α的三 角函数;

? ②把这个锐角放在直角坐标系中,让学生用角的
终边上点的坐标表示锐角α的三角函数;

? ③由相似三角形的知识,理解三角函数值只与α
的大小有关,与点在终边上的位置无关,因而用 单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数; ? ④最后推广为用单位圆上点的坐标表示任意角的 三角函数。 (视频)

? 六、数学教师应具备的素养
? 提高数学素养的三维度、六方面: ? 高度:从宏观上对数学知识整体结构的正确把握 从高观点对中小学数学的居高临下的认识 ? 深度:从微观上对数学知识的准确、深刻理解 对显性知识背后隐性的思想方法的认识 ? 广度:对中小学数学中某些拓展性知识的认知 对数学知识“来龙去脉”的过程性把握

? 提高数学素养的基本策略是“追问”:
? 通过追问形成正确认识;

? 案例1:指数函数定义中,为什么要规定 a ? 0
案例2:频率的极限是概率吗? ? 通过追问获得深层理解; ? 案例3:有了角度制为什么还要引进弧度制? 案例4:为什么复数不能比较大小?

? 通过追问拓展学科知识; ? 案例5:有等和数列与等积数列吗? 案例6:是否存在正切定理? ? 通过追问获得较高观点。 ? 案例7:集合为什么具有“三性”? 案例8:为什么函数要求是单值对应?

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