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18学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案新人教A版4_5180306487

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1.绝对值三角不等式

对应学生用书 P11 绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 几何解释:用向量 a,b 分别替换 a,b. ①当 a 与 b 不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为:三角形的两边之和大于第 三边. ②若 a,b 共线,当 a 与 b 同向时,|a+b|=|a|+|b|,当 a 与 b 反向时,|a+b|<|a| +|b|. 由于定理 1 与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式. ③定理 1 的推广:如果 a,b 是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|. 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 几何解释:在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为 A,B,C, 当点 B 在点 A,C 之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当点 B 不在点 A,C 之间时:①点 B 在 A 或 C 上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|; ②点 B 不在 A,C 上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.
对应学生用书 P11
含绝对值不等式的判断与证明 [例 1] 已知|A-a|<s3,|B-b|<s3,|C-c|<s3. 求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|<s.

1

[思路点拨]

原式

―变―形→

重新 分组

―定―理→

转化为|A-a|+ |B-b|+|C-c|

―→

得出结论

[证明] |(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)| ≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|≤|A-a|+|B-b|+|C-c|. 因为|A-a|<s3,|B-b|<s3,|C-c|<s3, 所以|A-a|+|B-b|+|C-c|<s3+s3+s3=s.

含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、 换 元 法 去 掉 绝 对 值 转 化 为 常 见 的 不 等 式 证 明 , 或 利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 ||a| - |b|||a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值 的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程 的根的分布等方法来证明.

1.已知|x|<a,|y|<b,则下列不等式中一定成立的是( )

A.|x+y|<a+b

B.|x-y|<a-b

C.|x|+|y|≤a+b

D.|x|-|y|≤a-b

解析:|x+y|≤|x|+|y|<a+b.

答案:A

2.设 ε >0,|x-a|<ε4 ,|y-a|<ε6 .

求证:|2x+3y-2a-3b|<ε . 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤

|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|

<2×ε4 +3×ε6 =ε .

绝对值三角不等式的应用

[例 2] (1)求函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.

2

(2)如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a 的取值范围. [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解. [解] (1)法一:||x-3|-|x+1|| ≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. 法二:把函数看作分段函数.
?? 4,x<-1, y=|x-3|-|x+1|=?2-2x,-1≤x≤3,
??-4,x>3. ∴-4≤y≤4. ∴ymax=4,ymin=-4. (2)只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,而 |x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1, 当且仅当(x-3)(4-x)≥0,即 3≤x≤4 时等号成立. ∴当 3≤x≤4 时,|x-3|+|x-4|取得最小值 1. ∴a 的取值范围为(-∞,1].
(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值不 等式的形式.
(2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键.
3.若 a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2 则|a+b|的最大值是________,最小值是________. 解析:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, ∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5. 答案:5 1 4.求函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值. 解:∵|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥ |1-x+x+1|=2, 当且仅当(1-x)(1+x)≥0,
3

即-1≤x≤1 时取等号. ∴当-1≤x≤1 时,函数 f(x)=|x-1|+|x+1| 取得最小值 2. 5.若对任意实数,不等式|x+1|-|x-2|>a 恒成立,求 a 的取值范围. 解:a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立, ∴a<[|x+1|-|x-2|]min. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, ∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴(|x+1|-|x-2|)min=-3. ∴a<-3.即 a 的取值范围为(-∞,-3).

对应学生用书 P12

1.对于|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,下列结论正确的是( )

A.当 a,b 异号时,左边等号成立

B.当 a,b 同号时,右边等号成立

C.当 a+b=0 时,两边等号均成立

D.当 a+b>0 时,右边等号成立;当 a+b<0 时,左边等号成立

解析:当 a,b 异号且|a|>|b|时左边等号才成立 A 不正确;显然 B 正确;当 a+b=0

时,右边等号不成立,C 不正确;D 显然不正确.

答案:B

2.已知 a,b,c∈R,且 a>b>c,则有( )

A.|a|>|b|>|c|

B.|ab|>|bc|

C.|a+b|>|b+c|

D.|a-c|>|a-b|

解析:∵a,b,c∈R,且 a>b>c,

令 a=2,b=1,c=-6.

∴|a|=2,|b|=1,|c|=6,|b|<|a|<|c|,故排除 A.

又|ab|=2,|bc|=6,|ab|<|bc|,故排除 B.

又|a+b|=3,|b+c|=5,|a+b|<|b+c|,排除 C.

4

而|a-c|=|2-(-6)|=8,|a-b|=1,

∴|a-c|>|a-b|.

答案:D

3.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( )

A.5

B.4

C.8

D.7

解析:由题意得,

|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|

≤|x-1|+|2(y-2)+2|

≤1+2|y-2|+2≤5,

即|x-2y+1|的最大值为 5.

答案:A

4.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大小关系是( )

A.|a+b|+|a-b|>2

B.|a+b|+|a-b|<2

C.|a+b|+|a-b|=2

D.不可能比较大小

解析:当(a+b)(a-b)≥0 时

|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2.

当(a+b)(a-b)<0 时,

|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.

答案:B

5.(陕西高考)若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是

________.

解析:|x-a|+|x-1|≥|a-1|,则只需要|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.

答案:-2≤a≤4

6.若 1<a<8,-4<b<2,则 a-|b|的取值范围是________.

解析:-4<b<2 则 0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.

∵1<a<8,∴-3<a-|b|<8.

答案:(-3,8)

7 . 下 列 四 个 不 等 式 : ① logx10 + lg

x≥2(x>1)





|a



b|<|a|



|b|





|

b a



a b

|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填

上).

5

解析:logx10+lg x=lg1 x+lg x≥2,①正确; ab≤0 时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab≠0 时,ba与ab同号, ∴|ba+ab|=|ba+ab|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知 |x-1|+|x-2|≥1 恒成立,④也正确, 综上①③④正确. 答案:①③④ 8.设 a,b∈R,ε >0,|a|<ε4 ,|b|<23ε . 求证:|4a+3b|<3ε . 证明:∵|a|<ε4 ,|b|<23ε ,∴|4a+3b|≤|4a|+|3b|=4|a|+3|b|<4·ε4 +3·2ε3 = 3ε . 9.设 f(x)=x2-x+b,|x-a|<1,求证: |f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 证明:∵f(x)-f(a)=x2-x-a2+a =(x-a)(x+a-1), |f(x)-f(a)|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1|<|x+a-1| =|(x-a)+2a-1|≤|x-a|+|2a-1| ≤|x-a|+2|a|+1<2|a|+2 =2(|a|+1). ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 10.设函数 y=|x-4|+|x-3|.求 (1)y 的最小值; (2)使 y<a 有解的 a 的取值范围; (3)使 y≥a 恒成立的 a 的最大值. 解:(1)当 x≤3 时,y=-(x-4)-(x-3)=7-2x 是减函数,∴y≥7-2×3=1. 当 3<x<4 时,y=-(x-4)+(x-3)=1;
6

当 x≥4 时,y=(x-4)+(x-3)=2x-7 是增函数, ∴y≥2×4-7=1.∴ymin=1. (2)由(1)知 y≥1.要使 y<a 有解,∴a>1.即 a 的取值范围为(1,+∞). (3)要使 y≥a 恒成立,只要 y 的最小值 1≥a,即可. ∴amax=1.
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