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人教A版选修【2-2】3.1.2《复数的几何意义》ppt课件_图文

第三章

数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义

栏 目 链 接

1.了解复平面、实轴、虚轴等概念. 2.了解复数的几何意义,并能简单应用. 3.理解复数的模,并会求复数的模.
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栏 目 链 接

基 础 梳 理
1.复平面、实轴、虚轴:

a b 点 Z 的横坐标是________ ,纵坐标是________ ,复数 z=a+ Z(a,b) 表示,这个建立了直角坐标系来表示 bi(a,b∈R)可用点________
栏 目 复平面 , x 轴叫做________ 实轴 , 虚轴 , 链 复数的平面叫做________ y 轴叫做________ 接

实数 . 实轴上的点都表示________ 对于虚轴上的点要除原点外, 因为原
点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示

纯虚数 . 是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示________

基 础 梳 理
2.复数的两种几何形式: (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)?点 Z(a,b). →. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)?向量OZ 3.相关规定:相等的向量表示同一个复数. → |= a2+b2. 4.复数的模:|z|=|a+bi|=|OZ 例:|3+4i|=__________;|-2i|=_________; |1+i|=________.
答案:5 2 2
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自 测 自 评

1.在复平面内,复数 z=i+2i2 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)

解析:∵z=i+2i2=-2+i, ∴实部小于 0,虚部大于 0, 故复数 z 对应的点位于第二象限. 答案:B

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自 测 自 评

2.已知复数 z=a+ 3i(a∈R)在复平面内对应的点位于 第二象限,且|z|=2,则复数 z 等于( A.-1+ 3i C.-1+ 3i 或 1+ 3i ) B.1+ 3i D.-2+ 3i
栏 目 链 接

解析:因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限, 所以 a<0, 由|z|=2 知, a2+? 3?2=2,解得 a=± 1, 故 a=-1,所以 z=-1+ 3i. 答案:A

自 测 自 评

3. 两个不相等的复数 z1=a+bi(a, b∈R), z2=c+di(c, d∈R),若 z1 与 z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,则 a,b,c,d 之间的关系为( A.a=-c,b=d C.a=c,b=-d ) B.a=-c,b=-d D.a≠0,b≠d
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解析:z1=a+bi 的对应点 P1(a,b),z2=c+di 的对应点 P2(c, d),因为 P1 与 P2 关于 y 轴对称,所以 a=-c,b=d.故选 A. 答案:A

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题型1

复数的点表示

例1 在复平面内求复数z,使z=(m2-m-2)+(m2-3m+

2)i对应的点:
(1)在虚轴上; (2)在实轴负半轴上.
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解析: (1)若复数 z 在虚轴上, 则 m2-m-2=0, 解得 m=-1 或 m=2.m=-1 时, z=6i; m=2 时, z=0(舍去,因为不在虚轴上).所以 z=6i.

(2) 若复数 z 在实轴负半轴上,
2 ? ?m -m-2<0, 则? 2 解得 m=1,此时 z=-2. ?m -3m+2=0. ?

点评:复数的几何表示法即复数 z=a+bi(a,b∈R)可以 用复平面内的点 z(a,b)来表示是解决此类问题的根据. 此类 问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或 不等式求解.

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跟 踪 训 练
1.已知复数 z=(a2-1)+(2a-1)i,其中 a∈R.当复数 z 在复平面内对应的点满足下列条件时,求 a 的值(或取值 范围): (1)在实轴上; (2)在第三象限; (3)在抛物线 y2=4x 上.
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跟 踪 训 练
解析:复数 z=(a2-1)+(2a-1)i 在复平面内对应的点是(a2-1,2a-1). 1 (1)若 z 对应的点在实轴上,则有 2a-1=0,解得 a= ; 2
2 ? a ? -1<0 1 ? (2)若 z 对应的点在第三象限,则有 ,解得-1<a< ; 2 ? 2 a - 1 < 0 ?

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(3)若 z 对应的点在抛物线 y2=4x 上,则有 (2a-1)2=4(a2-1),即 4a2-4a+1=4a2-4, 5 解得 a= . 4

题型2

复数与复平面内向量的关系

→ 对应的复数为 1+4i,向量OB → 对应的复数为-3 例2 向量OA → +OB → 对应的复数为( +6i,则向量OA A.-3+2i C.4-2i B.-2+10i D.-1+2i )
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→ 对应的复数为 1+4i,向量OB → 对应的复 解析:向量OA 数为-3+6i, → =(1,4),OB → =(-3,6), 所以OA → +OB → =(1,4)+(-3,6)=(-2,10) 所以OA

→ +OB → 对应的复数为-2+10i. 所以向量OA 答案:B 点评:复数的向量表示法是解决此类题型的依据.以 原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数; 向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、 终点对应的复数要改变.
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跟 踪 训 练

→ 对应的复数为-1+i,OB → 对应的复数为 2 2.向量OA → 对应的复数为- 2 + i ,则向量 AC → 对应的复数为 + 3i , BC ______________.
→ =(-1,1),OB → =(2,3),BC → =(-2,1), 解析:依题意有OA → =OB → -OA → =(2,3)-(-1,1)=(3,2), 所以AB → =AB → +BC → =(3,2)+(-2,1)=(1,3), 所以AC → 对应的复数为 1+3i. 即向量AC 答案:1+3i
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题型3

复数的模与复数的几何意义

例3 在复平面内画出下列复数对应的向量, 并求出各复

数的模. 1 3 z1=1-i;z2=- + i;z3=-2;z4=2+2i. 2 2
分析: 先找出各复数在复平面内对应点的坐标: Z1(1,
? 1 3? → ,OZ →, -1),Z2?- , ?,Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量OZ 1 2 2? ? 2
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→ ,OZ → 为所求. OZ 3 4

? 1 3? 解析:在复平面内分别画出点 Z1(1,-1),Z2?- , ?,Z3(-2, 2? ? 2

→ ,OZ → ,OZ → ,OZ → 分别为复数 z ,z ,z ,z 0),Z4(2,2),则向量OZ 1 2 3 4 1 2 3 4 对应的向量,如图所示. 各复数的模为:|z1|= 12+?-1?2= 2, |z2|=
? 1?2 ? 3?2 ?- ? +? ? =1, ? 2? ? 2 ?

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|z3|=|-2|=2,|z4|= 22+22=2 2.

点评: 复数的模表示复数在复平面内对应的点到 原点的距离.计算复数的模时,应先找出复数的实 部与虚部,然后利用模的计算公式进行计算.复数 的模是一个非负实数,可以比较大小.
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跟 踪 训 练
3. 设复数 z=(x+1)+(x-3)i, x∈R, 则|z|最小值为( A.1 B.2 C.2 2 D. 4
2

)

解析:据条件可得|z|= ?x+1?2+?x-3? = 2x2-4x+10= 2?x2-2x+1?+8 = 2?x-1?2+8≥2 2. 即|z|的最小值为 2 2.故选 C. 答案:C

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题型4

复数的几何意义的应用

例4 (1)复数 z=x+(y-1)i(x,y∈R),且|z|=2,求点(x,

y)的轨迹方程,并指出点(x,y)的轨迹图形. (2)画出点集 M={z∈C|1<|z|≤2}表示的图形.
解析:(1)因为 z=x+(y-1)i(x,y∈R),|z|=2, 所以 x2+?y-1?2=2,即 x2+(y-1)2=4,所以点(x,y) 的轨迹方程是 x2+(y-1)2=4,其轨迹是以(0,1)为圆心, 以 2 为半径的圆.
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(2)设 z=x+yi(x,y∈R),由 1<|z|≤2 得 1< x2+y2 ≤2,所以 1<x2+y2≤4,图形如图所示.
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点评: 本题的解法体现了求复数表示轨迹的两种方 法: 一是化为实数问题, 二是直接利用复数模的几何意义.

跟 踪 训 练

4.若复数 z 满足|z-3|≤ 5,求|z-(1+4i)|的最大值和 最小值.

解析: 复数 z 满足|z-3|≤ 5, 它对应的点位于以(3,0) 为圆心,以 5为半径的圆上.|z-(1+4i)|表示的是复数 z 对应的点到点(1,4)的距离.如下图所示.
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跟 踪 训 练

|z-(1+4i)|的最大值是 |1+4i-3|+ 5=|-2+4i|+ 5=3 5. |z-(1+4i)|的最小值是 |1+4i-3|- 5=|-2+4i|- 5= 5.
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