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人教版高三数学专题:求递推数列通项公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来, 这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 1 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 又 b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 所以 a n ? 1 ? n(n ? 1) 2 1 1 n(n ? 1) ,即 a n ? (n 2 ? n ? 2) 2 2 四、积差相消法 例 5 ( 1993 年全国数学联赛题一试第五题)设正数列 a0 , a1 , an …, an ,…满足 1 ,求通项公式 an . n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 a3 ? a 2 ? ? 解: 原递推式可化为:a n ?1 ? a n ? ? 则 a 2 ? a1 ? ? , n n ?1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a 4 ? a3 ? ? , a n ? a n ?1 ? ? 逐项相加得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . ……, 3 4 n ?1 n n n 二、作商求和法 例 2 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列, 且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3…) , 则它的通项公式是 an =▁▁▁(2000 年高考 15 题) 解:原递推式可化为: 2 2 a n a n ?2 ? an?1an?2 = 2a n?1 解 (n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1,求 {an } 的通项公式. 将递推式两边同除以 a n ?1 a n ?2 整理得: an a ? 2 n?1 ? 1 a n?1 an?2 设 bn = an ,则 b1 ? a n ?1 a1 =1, bn ? 2bn?1 ? 1 ,故有 a0 ⑴ b3 ? 2b2 ? 1 ⑵ b2 ? 2b1 ? 1 … … … … ( n ?1) [(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0 ∵ an?1 ? an >0, a n ?1 n ? an n ?1 an 1 1 ? ,即 an = . n a1 n bn ? 2bn?1 ? 1 由⑴ ?2 n?2 + ⑵ ?2 n ?3 则 a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 ? , ? , ? , ……, n ? a1 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n 0 n + … +( n ? 1 ) 2 得 bn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 = 2 ? 1 , 即 逐项相乘得: 三、换元法 例 3 已知数列{ an },其中 a1 ? an n = 2 ?1 . a n ?1 逐项相乘得: an = (2 ? 1) 2 ? (2 2 ? 1) 2 ? ?? (2 n ? 1) 2 ,考虑到 a0 ? 1 , 故 an ? ? 4 13 1 , a 2 ? ,且当 n≥3 时, a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) , 3 9 3 求通项公式 an (1986 年高考文科第八题改编). 解:设 bn?1 ? an ? an?1 ,原递推式可化为: 1 ? 2 2 2 n 2 ?(2 ? 1) (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1) ( n ? 0) ( n ? 1) . 五、取倒数法 例 6 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ? bn ?1 1 13 4 1 1 bn ?1 ? bn ? 2 , {bn } 是 一 个 等 比 数 列 , b1 ? a 2 ? a1 ? ? ? , 公 比 为 .故 3 9 3 9 3 1 1 1 1 1 3 1 1 ? b1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n .故 a n ? a n ?1 ? ( ) n .由逐差法可得: a n ? ? ( ) n . 3 9 3 3 3 2 2 3 例 4 已知数列{ an },其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n≥3 时, an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,求通项公 a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1 解 将 an ? a n ?1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是一个等差数列,首项 a n a n ?1 an 2a n?1 ? 1 式 an 。解 由 an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 得: (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? 1 ,令 bn?1 ? an ? an?1 ,则 上式为 bn?1 ? bn?2 ? 1 ,因此 {bn } 是一个等差数列, b1 ? a2 ? a1 ? 1 ,公差为 1.故 bn ? n .。 由于 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an ? 1 是 1 1 1 . ? 1 ,公差为 2,所以 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? 2n ? 1 an a1 六、取对数法 a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) 例 7 若数列{ an }中, , 则它的通项公式是 an =▁▁▁ (2002 2 年上海高考题). 解 由题意知 an >0,将 an?1 ? an 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg an ,即 2 lg a n ?1 ? 2 ,所以数 lg a n n ?1 2、an?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C

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