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计算机仿真教案03


2.4 阿达姆斯法
基本思想:在计算yn+1时,充分利用前面求出的若干点 值(yn,yn-1,yn-2,yn-3, …)的信息,以期提高计算精 度。 设一阶常微分方程 y’(t)=f[t,y(t)], 其初始条件为:y(t)|t=0=y(0)=y0 将方程两端从tn到tn+1求积,得:

? 根据导数f[t,y(t)]在tn,tn-1,tn-2,tn-3时的值,构造一个三 次插值多项式F(t),用于替代f[t,y(t)] 。

? 其中:

? 具有以下特性:

? 积分式可近似写为:

? 作变换:t=t n +xh ;由于: ? t-tn-3= t-t n+ tn-tn-3=h(x+3), t-tn-2=h(x+2), t-tn1=h(x+1) , ? 可以得出:

? 进一步可得:
? 四阶阿达姆斯显式公式,也称外推公式。 ? 若用f[t,y(t)]在tn+1 ,tn,tn-1,tn-2时的值作插值多项 式,可得: ? 四阶阿达姆斯隐式公式,也称内推公式。

? 根据插值理论,可以得出它们的截断误差分别为: ? 显式公式:

? 隐式公式: ? 截断误差均为步长h的5次方幂,具有4阶精度,与4阶 龙格-库塔法相同。 ? k阶阿达姆斯公式的一般形式为:

? 显式: ? 隐式:

阿达姆斯系数表

显式

隐式

? 阿达姆斯公式的特点: ? 对于显式公式,每次只需计算一次右端函数; ? 对于隐式公式,每次只需计算二次右端函数; ? 且均与阶数无关,因而计算效率较高。 ? 不能自启动,计算过程中改变步长困难。 ? 阿达姆斯预报-校正公式: ? 原理:显式预报,隐式校正。4阶预报-校正公式如 下:


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