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2014年上海高三学业水平考试数学模拟试卷(4)


会考模拟卷
一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分。
1、函数 f ( x) ? 4 ? 1 的反函数 f
x ?1

( x) ?



2、设集合 A ? ?5, log 2 (a ? 3)? , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B ?

3、函数 f ( x) ? ln x ?

2 的零点所在的区间为 (n, n ? 1) (n ? Z ) ,则 n ? x
7

4、在 ( x ? a ) 的展开式中, x 的系数是 15,则实数 a ?
10



5、若复数 z 同时满足

z 1 z 1

? 2i,

z 1 iz 1

? 0 ( i 为虚数单位) ,则复数 z =

6、系数矩阵为 ?

?1 2 ? ? x ? ? 1? ? ,且解为 ? ? ? ? ? 的一个线性方程组是 ?2 1? ? y ? ? 1?



7、在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A ,则角 C 的大 小为 。

8 、 已 知 直 线 l 经 过 点 ( ? 5, 0) 且 方 向 向 量 为 (2, ?1) , 则 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 为 。 (结果

9、从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是奇数的概率为 用数值表示) 10、数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? n ? n ? 3 ,则通项公式 a n ?
2

. .

11、直线 x ? y ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 所截得的弦长等于
2 2

12、在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径 为 R cm 的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 R cm ,则 R ? ________cm.

二.选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 9 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一 律得零分。 13、给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 ? 垂直”是“直线 l 与平面 ? 内无
数条直线垂直”的( ) A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

14、如果 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? mx ? n ? 0 的一个根,则圆锥曲线 的焦点坐标是( )

x2 y2 ? ?1 m n

A. (? 1, 0)

B.

(0, ? 1)
? log 3 x

C. (? 3, 0)
( 0 ? x ? 9)

D. (0, ? 3)

15 、 已 知 : 函 数 f ( x ) ? ?

?? x ? 11 ( x ? 9)

,若 a , b , c 均不相等,且

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是(



A. (0, 9)

B. (2, 9)

C.

(9, 11)

D. (2, 11)


16、已知:数列 ?a n ?满足 a1 ? 16 , a n ?1 ? a n ? 2n ,则

an 的最小值为( n

A. 8

B. 7

C. 6

D. 5
??? ? ??? ?

17、已知 O, A, B 是平面上不共线的三点,若点 C 满足 AC ? CB ,则向量 OC 等于( (A) OA ? OB

????



??? ? ??? ?

(B) OA ? OB

??? ? ??? ?

(C)

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB) 2

(D)

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB) 2


? 个单位,即得到 y ? f ( x) 的图像,则( 6 ? ? (A) f ( x) ? sin(2 x ? ) . (B) f ( x) ? sin(2 x ? ) . 6 6 ? ? (C) f ( x) ? sin(2 x ? ) . (D) f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3 3 1 19、 若函数f(x)= x ,则该函数在(? ?, ? ?)上是( ) 2 ?1
18、将 y ? sin 2 x 的图像向右平移

A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最小值 D.单调递增有最小值

20、某人在超市一次性购买了 20 斤大米和 10 斤食用油, 大米的价格是 1.9 元/斤, 食用油的价格是 15 元/斤, 则购买这两种商品的总花费可以

用下列各式计算得到的是





(A)

20 15 10 1.9

.

(B)

20 1.9 10 15

.

(C)

? 20

?1.9 ? 10 ? ? ? . ? 15 ?

(D) ?

?1.9 ? ? ? 20 10 ? . ? 15 ?
( )

21、已知 x ? y ? 0 ,下列各式正确的是

x? y ? x ? xy ? y 2 x? y (C) x ? ? xy ? y 2
(A)

x? y ? y ? xy 2 x? y (D) x ? y ? ? xy 2
(B) x ?

三.解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
22、 (本题满分 8 分) 关于 x 的不等式

x?m 2 1 x

? 0 的解集为 ? ?1, n ? 。求实数 m 、 n 的值;

23、 (本题满分 8 分) 已知: 四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,PA ? 平面 ABCD , 且 PA ? 2 , ?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC , PC 的中点. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; P (2)求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的大小.

F A D

B

E

C

24、 (本题满分 12 分) 数列 ?a n ?中, a n ? 0 , a n ? 1 ,且 a n ?1 ? (1)证明: a n ? a n ?1 ; (2)若 a1 ?

3a n ? (n? N ) . 2a n ? 1

3 ,计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,并求出数列 ?a n ?的通项公式. 4

25、 (本题满分 12 分)已知:椭圆

x2 y2 ,过点 A(? a, 0) , B(0, b) ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

的直线倾斜角为

3 ? ,原点到该直线的距离为 . 2 6

(1)求椭圆的方程; (2) 斜率大于零的直线过 D(? 1, 的方程;

0) 与椭圆交于 E ,F 两点,若 ED ? 2 DF ,求直线 EF

答案及评分标准
一. 填空题: 1. log 4 ( x ? 1) 6. ? 2. ?1, 2,5? 7. 3. 2 4.

?
9.

1 2
3 5

5. ?1 ? i

?x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3
12.

? 3

8.

1

10、 ?

?? 1 (n ? 1) ?2n (n ? 2)

11、2

3 2

二、选择题 13、B 14、D 15、C 21、C 三.解答题:

16、B

17、D

18、C 19、A

20、C

22.解:原不等式等价于 ( x ? m) x ? 2 ? 0 ,即 x 2 ? mx ? 2 ? 0 -------------------4 分 由题意得, ?

??1 ? n ? ?m 解得 m ? ?1 , n ? 2 . ??1? n ? ?2

------------------------4 分

23、(14 分)(1) VP ? ABCD ?

4 3 ????6 分 3

(2)? EF // PB , PA ? 平面 ABCD ,? ?PBA 等于 FE 与平面 ABCD 所成的角.?? 10 分 得直线 EF 与平面 ABCD 所成角大小为

? ??????14 分 4

24、 (14 分) (1)若 a n ? a n ?1 ,即

3a n ? a n ,得 a n ? 0 或 a n ? 1 与题设矛盾, 2a n ? 1

? a n ? a n?1 ????????6 分
(2) a 2 ?

9 27 81 , a3 ? , a4 ? ????8 分(错一个扣 1 分,错 2 个全扣) 10 28 82
3n ,????10 分 3n ? 1

解法一:用数学归纳法,先猜想 a n ? 再用数学归纳法证明.????14 分 解法二: ,由

1 a n ?1

1 1 2 1 1 1 ? ( ) ? ,得 ? 1 ? ( ? 1) , 3 an 3 a n ?1 3 an

?数列 {

1 1 1 1 ? 1} 是首项为 ? 1 ? ,公比为 的等比数列,??????12 分 a1 3 an 3

?

3n 1 1 ????14 分 ? 1 ? ( ) n ,得 a n ? n an 3 3 ?1

25、 (12 分) (1)由

b 3 1 1 3 ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 , , a ?b ? ? ? 2 2 2 a 3

所以椭圆方程是:

x2 ? y 2 ? 1 ????????4 分 3 x2 ? y 2 ? 1 ,得 (m 2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 , 3

(2)设 EF: x ? my ? 1 ( m ? 0 )代入

设 E ( x1 ,

y1 ) , F ( x2 ,

y 2 ) ,由 ED ? 2 DF ,得 y1 ? ?2 y 2 .

2m ?2 2 , y1 y 2 ? ?2 y 2 ? 2 ????????8 分 2 m ?3 m ?3 2m 2 1 得 (? 2 ,? m ? 1 , m ? ?1 (舍去) , ) ? 2 m ?3 m ?3
由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 ????????12 分


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