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福建省龙岩市一级达标校2014-2015学年高二上学期期末质量检查数学(理)试题含答案


福建省龙岩市一级达标校 2014-2015 学年高二上学期期末质量检查 理科数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题中给出四个选项,只有一项 是符合要求的,把答案填涂在答题卡的相应位置.) 1.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a9 ? 6 ,则 S9 的值是 A.25 B.26 C.27 D.28 2. ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知 a ? 3, A ? 60?, b ? 6 ,则 B = A. 45 ? B. 30 ? C. 60 ? D. 135? 3.若动点 P 到定点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则动点 P 的轨迹方程是 A. y ? ?8x B. y 2 ? ?16x C. y ? 8x D. y 2 ? 16x 4. ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 已知 a ? 2c cos B ,则 ?ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
2 2

5.若

1 1 ? ? 0(a, b ? R ) ,则下列不等式恒成立的是 a b A. a ? b B. a ? b ? ab C. a ? b

D. ab ? b

2

? y ? 2x ? 6.若实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
A.

4 3

B. 3

C. ?2

D. 2
A1

D1
E

C1 B1
F

7.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? AD ? 2 AB ? 2 , 若 E , F 分别为线段 A1D1 , CC1 的中点,则直线 EF 与平面

ADD 1A 1 所成角的正弦值为
6 A. 3 2 B. 2
3 C. 3
1 D. 3
A

D B

C

(第 7 题图) 2 8.已知命题 p : “ x ? 2 是 x ? 4 的充要条件” , 命题 q : “ ?x ? R2 , x0 ? ”. 则下列结论 正确的是 A. p ? q 为假 B. p ? q 为真 C. p ? (?q) 为假 D. p, q 均为真

c x2 y 2 9.已知 c 是双曲线 M : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的半焦距,则 的取值范围是 a?b a b
A. [
2 , ?? ) 2

B. [

2 ,1) 2

C. (0,

2 ] 2

D. (

2 ,1) 2
x

10.已知 a ? 1 , e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数,若函数 y ? loga x 与 y ? a 的图象与直 线 y ? x 相切于同一点,则 a ?

-1-

A. e

e

B. e

2

C. e

D. e

1 e

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

A1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填写在答题卡的相应位置.) 11.曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2 在点 (1, 2) 处的切线方程为
2

D1
B1

C1

12.关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R ,则实数 a 的 取值范围为 . 13.如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 1, AA 1 ?2, 点 M 为 CC1 的中点,则点 D1 到平面 BDM 的距离为 14.如图,在 ?ABC 中, ?BAC ? 的中点,则 AE 的最大值是 15.下列四个结论正确的序号是 .

M

D A B

C

?
3

且 BC ? 3 .若 E 为 BC . . (填上所有正确的序号)

(第 13 题图)
A

①函数 y ? x sin x 在区间 (0, ? ) 内无最大值; ②数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n (n ? N ? ) ,对任意的正整数 n 总存在正整数 m ,使得 Sn ? am ; ③若方程
B E

C

(第 14 题图)

sin x ? k (k ? 0 )有 且 仅 有 两 个 不 同 的 实 数 根 x1 , x2 ( x2 ? x1 ) , 则 x sin x1 ? x1 c o x s2 ? 0 .

三、解答题(共 80 分,解答写在答题卡的相应位置,应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤.) 16. (本小题满分 13 分) 已知正项等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 6, a3 ? a4 ? 24. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)数列 ?bn ?满足 bn ? log2 an ,求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和 Tn .

17. (本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 a cos C ? (c ? 2b) cos A ? 0 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,且 a ? 2 3 .求 b ? c 的值.

-2-

18. (本小题满分 13 分)

, PB ? 4 , 点 D 为 PB 的中点. 若 ?APC 3 是 ?BPC 绕直线 PC 顺时针旋转而成的,记二面角 B ? PC ? A 的大小为 ? . 2
(Ⅰ)当 ? ? 时,求证:平面 ACD ? 平面 PBC ; 2 2? (Ⅱ)当 ? ? 时,求锐二面角 B ? CD ? A 的余弦值. 3

如图, 在 ?PCB 中, 已知 ?PCB ?

?

, ?BPC ?

?

?

P

P

C C

D D

θ ?

A

A

B

(第18题图)

B

(第 18 题图)

19. (本小题满分 13 分) 如图,某养殖户要建一个面积为 800 平方米的矩形养殖场,要求养殖场的一边利用旧墙 (旧墙的长度大于 4 米) ,其他各边用铁丝网围成,且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个 4 米的进出口.设矩形的宽为 x 米,铁丝网的总长度为 y 米. (Ⅰ)问矩形的长与宽各为多少米时,所用的铁丝网 的总长度最小? (Ⅱ)若由于地形限制,该养殖场的长与宽都不能超 x x x 过 32 米,问矩形的长与宽各为多少米时,所用的铁丝网 的总长度最小?
4米

(第 19 题图) (第19题图)

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆 C 经过点 (0,1) . 2 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 已知直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点, 以 PQ 为直径的圆恒过原点 O , 试问原点 O 到直线 l 的距离 d 是否为定值?若是,求出其定值,若不是,请说明理由.
已知椭圆 C :

y
P

O

21. (本小题满分 14 分)

x
Q

(第 20 题图)
-3-

1 2 ax (a ? R ) . 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的最小值;
已知函数 f ( x) ? x ln x ? (Ⅱ)对于区间 (1, 2) 内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 S n ?

f ( x1 ? 1) ? f ( x2 ? 1) ?1 x1 ? x2

1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ,试比较 Sn 与 的大小. 3 e 2 3 4 n ? (其中 n ? 1, n ? N , e ? 2.71828 ? ? ? 是自然对数的底数.)

-4-

龙岩市一级达标校 2014~2015 学年第一学期期末高二教学质量检查

数学(理科)试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 2 x ? y ? 0 12. [0,1] 13.

2 3 3

14.

3 2

15. ②③

三、解答题(共 80 分) 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)设数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公比为 q, ?q ? 0? . 则?

?a1 ? a1 ? q ? 6

2 3 ?a1 ? q ? a1 ? q ? 24 ?a1 ? 2 解得:? ?q ? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

? an ? a1 ? qn ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n

17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ) a cos C ? c cos A ? 2b cos A ? sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A 即 sin ? A ? C ? ? sin B ? 2sin B cos A

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

? cos A ?

1 2

∵0 ? A ??

? A?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

1 1 3 ?2 3 (Ⅱ) S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? bc ? 8 2 2 2 2 2 a ? b ? c ? 2bccos A ? ?b ? c? ? 2bc ? bc ? ?b ? c? ? 3bc
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? ?b ? c? ? a 2 ? 3bc ? 12 ? 24 ? 36 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 ?b?c ? 6 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题可知 AC ? PC , BC ? PC · · · · · · · ·2 分 ? ?ACB ? ? ? 当 ? ? 时,有 AC ? BC, PC ? BC ? C ? AC ? 平面 PBC · · · · · · · · ·4 分 2 AC ? 平面 ACD ? 平面 ACD ? 平面 PBC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
-5-

(Ⅱ)如图,以点 C 为坐标原点,在平面 PBC 内垂直于 BC 的直线为 x 轴, CB, CP 所在的直 线分别为 y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 则 A 3, ? 3, 0

?

?

B 0, 2 3, 0

?

点 D 为 PB 的中点 ? D 0, 3,1

?

?

C ? 0,0,0 ?

P ? 0,0, 2 ?

P

z

?

P

设平面 ACD 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? 则?

? ?m ? CA ? 0 ? ?m ? CD ? 0

??

? ?? x , y , z ? ? ? 0, ?
1 1 1

?? x1 , y1 , z1 ? ? 3, ? 3, 0 ? 0 ? 3,1 ? 0
A A

?

?

C C

D D

θ ?

? ?3 x1 ? 3 y1 ? 0 ?? ? ? 3 y1 ? z1 ? 0 ? m ? ?1, 3, ?3?

取 y1 ? 3

? x1 ? 1.z1 ? ?3

x

(第18题图)

B

B

(第 18 题图)

y

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

又平面 BCD 的法向量 n ? ?1,0,0?

设锐二面角 B ? CD ? A 的大小为 ?

? cos? ?

m?n m?n

?

1 13

?

13 13

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

19.(本小题满分 13 分)

?x ? 0 ? (Ⅰ)依题可得 ? 800 ?4?0 ? ? x

? 0 ? x ? 200 ? y ? 2 2x ?

y ? 2x ?

800 ?4 x

?0 ? x ? 200?
800 x

· · · · · · · · · · · · ·3 分 即 x ? 20 时 y min ? 76

· · · · ·6 分 ? 当长为 40 米,宽为 20 米时,所用的铁丝网的总长度最小为 76 米. · ?0 ? x ? 32 ? (Ⅱ)依题意 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? 25 ? x ? 32 800 0? ? 32 ? x ?

800 ? 4 ? 76 x

当且仅当 2 x ?

800 ? 4 ?25 ? x ? 32? x 800 y? ? 2 ? 2 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? x ? 20 x y ? ? 0 ? 函数在 ? 0,20? 内单调递减 当 0 ? x ? 20 时 当 x ? 20 时 y ? ? 0 · · · · · · · · ·11 分 ? 函数在 ? 20, ??? 内单调递增 y ? 2x ?

? 函数 y ? 2 x ?

? 当 x ? 25 时 ? 当长为 32 米,宽为 25 米时,所用铁丝网的总长度最小.

800 ? 4 在 ? 25,32? 单调递增 x ymin ? 78

· · · · · · · ·13 分

-6-

21.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ?x ? ? x ln x?x ? 0?

(Ⅱ)解:不妨设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,依条件得: f ? x1 ? 1? ? f ? x2 ? 1? ? x1 ? x2 即: f ? x1 ? 1? ? ? x1 ? 1? ? f ? x2 ? 1? ? ? x2 ? 1? 恒成立 设 h ? x ? ? f ? x ? ? x ,上式恒成立,只须此函数在 ?2,3? 上单调递增

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 e ? 1? ?1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? f ?x ? 在 ? 0, ? 上递减,在 ? ,?? ? 上递增 ? e? ?e ? 1 ?1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? f min ?x ? ? f ? ? ? ? e ?e?
令 f ??x ? ? 1 ? ln x ? 0 得

x?

· · · · · · · ·5 分

1 得 h ? x ? ? x ln x ? ax2 ? x 2 ? ? h ? x ? ? ln x ? 1 ? ax ? 1 ? ln x ? ax ? 0
ln x 恒成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 x ln x 1 ? ln x 令 g ? x? ? 得 g?? x? ? ,由 g ? ? x ? ? 0 得 x ? e x x2 当 x ? ? 2, e ? 时, g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?2, e ? 上单调递增
即a? 当 x ? ? e,3? 时, g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?e,3? 上单调递减

? x ? ? 2,3? 时, g ? x ? ? g ? e ? ?

ln e 1 ? e e

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

-7-

ln 2 ln 3 ? ln 6 8 ? ln 6 9 ? 2 3 ln 2 ln 2 ?a ? ? g ? x ? ? g ? 2? ? 2 2 ln 2 经检验:当 a ? 时也符合题意, 2


g ? 2? ?

ln 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 ln x 1 ? ,且 x ? 0 . (Ⅲ)由(2)得 x e ln x 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 3 ? ? 2 e x x ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? 1 1 1 1 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ??? ? 3 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? e?2 2 3 4 n 3 4 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 又 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? · · · · · ·12 分 ?n ? 1? ? n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2 3 4 n
综上得 a ?
1 1 1 1 1? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n ?1 n ?

? 1?

1 ?1 n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分

?

1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? 3 ? 3 ? ??? ? 3 ? ? Sn ? . e 23 3 4 n e

-8-


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