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10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


§ 10.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用;2.和排列、组

2014 高考会这样考

合知识相结合,解决计数问题. 复习备考要这样做 1.搞清两个原理的区别与联系,两个原理是解决计数问题的基础;2.

结合实际问题理解、应用原理.

1.分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法,在第二类方案中 有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共 有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步 有 m2 种不同的方法,??,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 N =m1×m2×?×mn 种不同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们 的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法 都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤 都完成了,这件事才算完成. [难点正本 疑点清源] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、 组合问题的基础并贯穿始终. 分类 加法计数原理中, 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类, 简单的说分类 的标准是“不重不漏,一步完成”.而分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各 个步骤中任取一种方法, 即是完成这件事的一种方法, 简单的说步与步之间的方法“相 互独立,多步完成”.

1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方
1

法共有________种. 答案 32 解析 每位同学有两种不同的报名方法, 而且只有这 5 位同学全部报名结束, 才算事件 完成.所以共有 2×2×2×2×2=32(种). 2.有不同颜色的 4 件上衣与不同颜色的 3 件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则 不同的配法种数是________. 答案 12 解析 由分步乘法计数原理,一条长裤与一件上衣配成一套,分两步,第一步选上衣有 4 种选法,第二步选长裤有 3 种选法,所以有 4×3=12(种)选法. 3.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每 组决出前两名, 再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛, 获胜者角逐冠、 亚军, 败者角逐第 3、4 名,则大师赛共有________场比赛. 答案 16 解析 小组赛共有 2C2 4场比赛;半决赛和决赛共有 2+2=4(场)比赛;根据分类加法计
2 数原理共有 2C4 +4=16(场)比赛.

4.有 A、B 两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种 车床,丙只会操作 A 种车床,现在要从三名工人中选 2 名分别去操作以上车床,不同 的选派方法有 ( A.6 种 答案 C 解析 若选甲、乙二人,包括甲操作 A 车床,乙操作 B 车床,或甲操作 B 车床,乙操 作 A 车床,共有 2 种选派方法; 若选甲、丙二人,则只有甲操作 B 车床,丙操作 A 车床这一种选派方法; 若选乙、丙二人,则只有乙操作 B 车床,丙操作 A 车床这一种选派方法. 故共 2+1+1=4(种)不同的选派方法.故应选 C. 5. 如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种 颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( ) ) B.5 种 C.4 种 D.3 种

A.288 种 答案 B

B.264 种

C.240 种

D.168 种

3 解析 分两类:第一类,涂三种颜色,先涂点 A,D,E 有 A4 种方法,再涂点 B,C,F

2

有 2 种方法,故有 A3 4×2=48(种)方法;
1 第二类,涂四种颜色,先涂点 A,D,E 有 A3 4种方法,再涂点 B,C,F 有 3C3种方法,

故共有 A3 3C1 4· 3=216(种)方法. 由分类加法计数原理,共有 48+216=264(种)不同的涂法.

题型一 分类加法计数原理的应用 例1 高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,男生 30 人, 女生 30 人;高三三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有 多少种不同的选法? 思维启迪:用分类加法计数原理. 解 (1)完成这件事有三类方法

第一类,从高三一班任选一名学生共有 50 种选法; 第二类,从高三二班任选一名学生共有 60 种选法; 第三类,从高三三班任选一名学生共有 55 种选法, 根据分类加法计数原理,任选一名学生任校学生会主席共有 50+60+55=165 种选法. (2)完成这件事有三类方法 第一类,从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法; 第二类,从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法; 第三类,从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法. 综上知,共有 30+30+20=80 种选法. 探究提高 分类时, 首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准, 然后在这个标 准下进行分类; 其次分类时要注意满足一个基本要求, 就是完成这件事情的任何一种方 法必须属于某一类, 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法, 只有满足这些条 件,才可以用分类加法计数原理. x2 y2 方 程 + = 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 其 中 m∈{1,2,3,4,5} , m n n∈{1,2,3,4,5,6,7},那么这样的椭圆有多少个? 解 以 m 的值为标准分类,分为五类. 第一类:m=1 时,使 n>m,n 有 6 种选择; 第二类:m=2 时,使 n>m,n 有 5 种选择; 第三类:m=3 时,使 n>m,n 有 4 种选择; 第四类:m=4 时,使 n>m,n 有 3 种选择;
3

第五类:m=5 时,使 n>m,n 有 2 种选择. ∴共有 6+5+4+3+2=20 种方法, 即有 20 个符合题意的椭圆. 题型二 分步乘法计数原理的应用 例 2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方

法?(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的项目不限. 思维启迪:可以根据报名过程,使用分步乘法计数原理. 解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同选法,由分步乘法计

数原理,知共有选法 36=729(种). (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法, 第二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名 方法 6×5×4=120(种). (3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分 步乘法计数原理,得共有不同的报名方法 63=216(种). 探究提高 利用分步乘法计数原理解决问题: ①要按事件发生的过程合理分步, 即分步 是有先后顺序的;②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完 成这件事. 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},若 a,b,c∈M,则: (1)y=ax +bx+c 可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c 可以表示多少个图像开口向上的二次函数. 解 (1)a 的取值有 5 种情况,b 的取值有 6 种情况,c 的取值有 6 种情况,因此 y=ax2
2

+bx+c 可以表示 5×6×6=180(个)不同的二次函数. (2)y=ax2+bx+c 图像的开口向上时,a 的取值有 2 种情况,b、c 的取值均有 6 种情况, 因此 y=ax2+bx+c 可以表示 2×6×6=72(个)图像开口向上的二次函数. 题型三 两个原理的综合应用 例3 如图所示, 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱上的两端异色, 如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.

思维启迪:染色问题是常见的计数应用问题,可从选颜色、选顶点进行分类、分步,从
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不同角度解决问题. 解 方法一 可分为两大步进行, 先将四棱锥一侧面三顶点染色, 然后再分类考虑另外

两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥 S—ABCD 的顶 点 S、A、B 所染的颜色互不相同,它们共有 5×4×3=60(种)染色方法. 当 S、A、B 染好时,不妨设其颜色分别为 1、2、3,若 C 染 2,则 D 可染 3 或 4 或 5, 有 3 种染法;若 C 染 4,则 D 可染 3 或 5,有 2 种染法;若 C 染 5,则 D 可染 3 或 4, 有 2 种染法.可见,当 S、A、B 已染好时,C、D 还有 7 种染法,故不同的染色方法有 60×7=420(种). 方法二 以 S、A、B、C、D 顺序分步染色. 第一步,S 点染色,有 5 种方法; 第二步,A 点染色,与 S 在同一条棱上,有 4 种方法; 第三步,B 点染色,与 S、A 分别在同一条棱上,有 3 种方法; 第四步,C 点染色,也有 3 种方法,但考虑到 D 点与 S、A、C 相邻,需要针对 A 与 C 是否同色进行分类,当 A 与 C 同色时,D 点有 3 种染色方法;当 A 与 C 不同色时,因 为 C 与 S、B 也不同色,所以 C 点有 2 种染色方法,D 点也有 2 种染色方法.由分步乘 法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有 5×4×3×(1×3+2×2)=420(种). 方法三 按所用颜色种数分类. 第一类,5 种颜色全用,共有 A5 5种不同的方法;
4 第二类,只用 4 种颜色,则必有某两个顶点同色(A 与 C,或 B 与 D),共有 2×A5 种不

同的方法; 第三类,只用 3 种颜色,则 A 与 C、B 与 D 必定同色,共有 A3 5种不同的方法. 由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为
4 3 A5 5+2×A5+A5=420(种).

探究提高 用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步. (1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数 原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务,根据分步乘法计数 原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数. (3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析. 有一项活动,需在 3 名老师、8 名男生和 5 名女生中选人参加. (1)若只需 1 人参加,有多少种不同选法? (2)若需老师、男生、女生各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师、一名学生参加,有多少种不同的选法? 解 (1)分三类:取老师有 3 种选法;取男生有 8 种选法;取女生有 5 种选法,故共有 3
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+8+5=16 种选法. (2)分三步:第一步选老师,第二步选男生,第三步选女生, 故共有 3×8×5=120 种选法. (3)分两步:第一步选老师,第二步选学生.对第二步,又分为两类:第一类选男生, 第二类选女生,故共有 3×(8+5)=39 种选法.

对两个基本原理认识不清致误

典例:(1)(5 分)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有 A.24 种 B.4 种 C.4 种
3

( D.3 种
4

)

(2)(5 分)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火 车有 4 趟,轮船有 3 次,问此人的走法可有________种. 易错分析 解决计数问题的基本策略是合理分类和分步, 然后应用加法原理和乘法原理 来计算. 解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误, 对于 (1),选择的标准不同,误认为每个信箱有三种选择,所以可能的投法有 34 种,没有注 意到一封信只能投在一个信箱中;对于(2),易混淆“类”与“步”,误认为到达乙地 先坐火车后坐轮船,使用乘法原理计算. 解析 (1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法;第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法;第 3

封信投到信箱中也有 4 种投法.只要把这 3 封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法 计数原理可得共有 43 种方法. (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种,每一种方法 都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有 4+3=7(种). 答案 (1)C (2)7 (1)每封信只能投到一个信箱里,而每个信箱可以装 1 封信,也可以装 2 封

温馨提醒

信,其选择不是唯一的,所以应注意由信来选择信箱,每封信有 4 种选择. (2) 在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什 么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.

方法与技巧 1. 分类加法和分步乘法计数原理, 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题, 区别在于: 分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都 可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个
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步骤都完成了才算完成这件事. 2.混合问题一般是先分类再分步. 3.分类时标准要明确,做到不重复不遗漏. 4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律. 失误与防范 1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理 分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.从集合{1,2,3,?,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比 数列的个数为 A.3 答案 D 解析 以 1 为首项的等比数列为 1,2,4;1,3,9; 以 2 为首项的等比数列为 2,4,8; 以 4 为首项的等比数列为 4,6,9,共 4 个. 把这四个数列顺序颠倒,又得到 4 个数列,故所求数列有 8 个. 2.由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有 A.238 个 答案 C 解析 由 0,1,2,3 可组成的四位数共有 3×43=192(个),其中无重复数字的四位数共有 3A3 3=18(个),故共有 192-18=174(个). 3.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排 列表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为 A.10 答案 B 解析 方法一 分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论. (1)若 0 个相同,则信息为:1001.共 1 个.
7

( B.4 C.6 D.8

)

(

)

B.232 个

C.174 个

D.168 个

( B.11 C.12 D.15

)

(2)若 1 个相同,则信息为:0001,1101,1011,1000.共 4 个. (3)若 2 个相同,又分为以下情况: ①若位置一与二相同,则信息为:0101; ②若位置一与三相同,则信息为:0011; ③若位置一与四相同,则信息为:0000; ④若位置二与三相同,则信息为:1111; ⑤若位置二与四相同,则信息为:1100; ⑥若位置三与四相同,则信息为:1010. 共有 6 个. 故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1+4+6=11. 方法二 若 0 个相同,共有 1 个; 若 1 个相同,共有 C1 4=4(个); 若 2 个相同,共有 C2 4=6(个). 故共有 1+4+6=11(个). 4 . 如图所示,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A,B,C,D 中,要求相邻的矩形涂色不 同,则不同的涂法有 ( )

A.72 种 答案 A

B.48 种

C.24 种

D.12 种

解析 按要求涂色至少需要 3 种颜色,故分两类.一是 4 种颜色都用,这时 A 有 4 种 涂法,B 有 3 种涂法,C 有 2 种涂法,D 有 1 种涂法,共有 4×3×2×1=24(种)涂法; 二是用 3 种颜色,这时 A,B,C 的涂法有 4×3×2=24(种),D 只要不与 C 同色即可, 故 D 有 2 种涂法.故不同的涂法共有 24+24×2=72(种). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.(2011· 北京)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 ________个.(用数字作答) 答案 14 解析 数字 2,3 至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现 1 次,“3”出现 3 次,共可组成 C1 4=4(个)四位数. “2”出现 2 次,“3”出现 2 次,共可组成 C2 4=6(个)四位数. “2”出现 3 次,“3”出现 1 次,共可组成 C3 4=4(个)四位数. 综上所述,共可组成 14 个这样的四位数.
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6.某次活动中,有 30 人排成 6 行 5 列,现要从中选出 3 人进行礼仪表演,要求这 3 人中 的任意 2 人不同行也不同列,则不同的选法种数为________(用数字作答). 答案 7 200 解析 其中最先选出的一个人有 30 种方法, 此时不能再从这个人所在的行和列上选人, 还剩一个 5 行 4 列的队形,故选第二个人有 20 种方法,此时不能再从该人所在的行和 列 上选人,还剩一个 4 行 3 列的队形,此时第三个人的选法有 12 种,根据分步乘法计数 原 理,总的选法种数是 30×20×12=7 200. 7.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从 M,N 这两个集合中各选一个元素分 别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不 同的点的个数是________. 答案 6 解析 分两类:第一类,第一象限内的点,有 2×2=4(个); 第二类,第二象限内的点,有 1×2=2(个). 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日 语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法? 解 由题意得有 1 人既会英语又会日语,6 人只会英语,2 人只会日语.

第一类: 从只会英语的 6 人中选 1 人说英语, 共有 6 种方法, 则说日语的有 2+1=3(种), 此时共有 6×3=18(种); 第二类:不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语,则只有 1 种方法,则选会日语的有 2 种,此时共有 1×2=2(种); 所以根据分类加法计数原理知共有 18+2=20(种)选法. 9.(12 分)直角坐标系 xOy 平面上,平行直线 x=n(n=0,1,2,?,5)与平行直线 y=n(n= 0,1,2,?,5)组成的图形中,矩形共有多少个? 解 方法一 对所构成的矩形中所含“小正方形”的个数进行分类:

①含 1 块:25 个 ②含 2 块:20+20=40 个 ③含 3 块:15+15=30 个 ④含 4 块:20+16=36 个 ⑤含 5 块:10 个 ⑥含 6 块:12+12=24 个 ⑦含 8 块:8+8=16 个
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⑧含 9 块:9 个 ⑨含 10 块:8 个 ⑩含 12 块:12 个 ?含 15 块:6 个 ?含 16 块:4 个 ?含 20 块:4 个 ?含 25 块:1 个 总计:225 个 方法二 在垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条,在垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条,
2 2 4 条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为 C6 ×C6 =15×15=225 个.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相 邻出现,则这样的四位数有 A.6 个 答案 C 解析 由题意知,1,2,3 中必有某一个数字重复使用 2 次,第一步确定谁被使用 2 次, 有 3 种方法; 第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上, 也有 3 种方法; 第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上, 有 2 种方法. 故共可组成 3×3×2 =18 个不同的四位数. 2.集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,?,9},且 P?Q.把满足上述条件的一 对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 A.9 答案 B 解析 当 x=2 时,x≠y,点的个数为 1×7=7(个);当 x≠2 时,x=y,点的个数为 7×1 =7(个),则共有 14 个点,故选 B. 3. 如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为 ( ) B.14 C.15 D.21 ( ) B.9 个 C.18 个 D.36 个 ( )

A.96 答案 B

B.84

C.60

D.48

解析 可依次种 A、B、C、D 四块,当 C 与 A 种同一种花时,有 4×3×1×3=36(种)
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种法;当 C 与 A 所种花不同时,有 4×3×2×2=48(种)种法,由分类加法计数原理, 不同的种法种数为 36+48=84.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.如图,某电子元件,是由 3 个电阻组成的回路,其中有 4 个焊点 A、B、C、D,若某个 焊点脱落,整个电路就不通,现在发现电路不通了,那么焊点脱落的可能情况共有 ________种.

答案 15 解析 方法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有 2×2×2×2-1=15(种). 方法二 恰有 i 个焊点脱落的可能情况为 Ci4(i=1,2,3,4)种,由分类加法计数原理,当电
2 3 4 路不通时焊点脱落的可能情况共 C1 4+C4+C4+C4=15(种).

5. 一个乒乓球队里有男队员 5 名, 女队员 4 名, 从中选出男、 女队员各一名组成混合双打, 共有________种不同的选法. 答案 20 解析 “完成这件事”需选出男、 女队员各一名, 可分两步进行: 第一步选一名男队员, 有 5 种选法;第二步选一名女队员,有 4 种选法,共有 5×4=20 种选法. 6. 形如 45132 的数称为“波浪数”, 即十位数字, 千位数字均比与它们各自相邻的数字大, 则由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________. 答案 16 解析 由题意可得,十位和千位只能是 4、5 或者 3、5.若十位和千位排 4、5,则其他
3 位置任意排 1、2、3,则这样的数有 A2 2A3=12(个);若十位和千位排 5、3,这时 4 只能

排在 5 的一边且不能和其他数字相邻,1、2 在其余位置上任意排列,则这样的数有 A2 2 A2 2=4(个),综上,共有 16 个. 三、解答题 7. (13 分)某电视台连续播放 6 个广告, 其中有 3 个不同的商业广告、 两个不同的宣传广告、 一个公益广告, 要求最后播放的不能是商业广告, 且宣传广告与公益广告不能连续播放, 两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式? 解 用 1、2、3、4、5、6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法. 第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2 、 4 、 6. 分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1 、 4 、 6 ,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式.
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第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、3、6,同样分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 由分类加法计数原理得:6 个广告不同的播放方式有 36+36+36=108 种.

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