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ag8042vip:2.4.1平面向量的数量积:课件一(15张PPT)_图文

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§2.4平面向量的 数量积
一、 平面向量的数量积 的物理背景及其含义

学习目标: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件.

一、复习引入:

·

1. 向量共线定理 2.平面向量基本定理 3.平面向量的坐标表示 4.平面向量的坐标运算 ? ? ? 5.a ∥b( b? 0 )的条件 6.两个非零向量夹角的概念

我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图)
F
θ

S

力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ

|a| cosθ(|b| cosθ)叫 做向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

? ? ? ? e 设 a 、b 是非零向量, 是与b 方向相同的 ? ? 单位向量, 是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? a· b=|a| |b| cosθ (1)e ? a ? a ? e ?| a | cos? ? ? ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? B b (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |;
θ

O

B1 a

A

? ? ? ? ? ? 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |;
?2 ? a

特别地

? a ?b (4) cos? ? ? ? | a || b |

? ? ?2 ? ? ? a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ?

? ? ? ? (5) | a ? b |?| a || b |

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b, 它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积, 记作a?b,即有a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

?探究:1.两个向量的数量积与同实数积有什么区别? 2.两个向量的数量积与实数同向量的积有什么区别?

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两个向量的数量积与同实数积的区别

(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成a?b;今后要学到两个向量的外积a×b, 而a?b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号 既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若a?0,且a?b=0,则b=0;但是在数量积中,若a?0,且a?b=0, 不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(b?0),则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c不能 得到 a=c
如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量, 而向量a与c不一定共线.

两个向量的数量积与实数同向量的积的区别 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号 返回 由cos?的符号所决定,而实数同向量的积是一个向量

概念:作3.“投影”的图

定义:|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影 为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.

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4.向量的数量积的几何意义: 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 | a |? a ? a 4? cos? =
a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b|

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三、讲解范例: 例1 已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角θ=120o,求a·b. 例2 已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k为何值时, 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误,并简要说明理由. ①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = BA ④|a·b|=|a||b|; ⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0; ⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;

⑦对任意向量a,b,с都有(a· ) · a·b · b c= ( c)
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.

小结:
? ? ? ? ? 1. a ? b ?| a || b | cos?

? ? ? ? ? 2. a ? b ? a ? b ? 0
?2 ? 2 a ?| a |
可用来求向量的模

3.投影

作业:

? ? ? ? ? ? ? ? 1、若 | a |?| b |? 1, a ? b 且2a ? 3b 与ka ? 4b 也 互相垂直,求 的值。 k ? ? ? 2、设a是非零向量,且 ? c , 求证: b ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c )


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