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浙江省台州中学2011届高三上学期第二次统练 数学理


2010台州中学 2010-2011 学年第一学期第二次统练试题 高三 数学(理科) 数学(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 M = {x || x ?

1 5 |≤ } , P = {x | ?1 ≤ x ≤ 4} ,则 (CU M ) ∩ P 等于( ) 2 2 A. {x | ?4 ≤ x ≤ ?2} B. {x | ?1 ≤ x ≤ 3} C. {x | 3 ≤ x ≤ 4} D. {x | 3 < x ≤ 4}
) B. ?x ∈ R, x 2 ? x + 1 ≤ 0
* 2 x

2.下列命题中,真命题是( A. ?x ∈ R, 2 > 1

C. ?x ∈ R, lg x > 0 D. ?x ∈ N , ( x ? 2) > 0 3.下列结论错误的是 A. 若" p ∧ q" 与" ?p ∨ q"均为假命题, 则p真q假 B. 命题" ?x ∈ R, x 2 ? x > 0"的否定是" ?x ∈ R, x 2 ? x ≤ 0" C. " x = 1" 是" x ? 3 x + 2 = 0"充分不必要条件
2





D. 若" am 2 < bm 2 , 则a < b"的逆命题为真 4.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3, 且 x ∈ ( ?

3 , 0)时, 2


f ( x ) = log 2 ( ?3 x + 1), 则 f (2011) =
A.4 B.2 C. -2

( D. log 2 7

5.函数 f (x ) 在定义域 R 内可导,若 f ( x) = f (2 ? x), 且 ( x ? 1) f '( x ) > 0 ,若

1 a = f (0), b = f ( ), c = f (3), 则 a, b, c 的大小关系是( ) 2 B. c > a > b C. b > a > c D. c > b > a A. a > b > c x xa 6.函数 y = (0 < a < 1) 的图象的大致形状是( ) x

7.若函数 f ( x ) = ?log x , 1

? log 2 (? x), x < 0, ? x > 0 ,若 f (m) < f (? m) ,则实数 m 的取值范围是( ? 2 ?
B. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(0,1)

)

A. (-1,0)∪(0,1) C. (-1,0)∪(1,+∞)

o 8.记 cos ? 80 = k ,那么 tan 100 = (
o

(

)


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1? k 2 A. k

1? k 2 B. ? k

C.

k 1? k
2

D. ? )

k 1? k 2

2 x 9.下列关于函数 f ( x) = ( x ? 2 x)e 的判断正确的是 (

① f ( x ) < 0的解集是{ x | 0 < x < 2} ② f (? 2 ) 是极小值, f ( 2 ) 是极大值 ③ f (x ) 有最小值,没有最大值 ④ f (x ) 有最大值,没有最小值 A.①③ B.①②③ C.②④ D.①②④ 10 . 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 D , 若 存 在 非 零 实 数 l 使 得 对 于 任 意 x ∈ M ( M ? D ) , 有

x + l ∈ D ,且 f ( x + l ) ≥ f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数.如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = x ? a 2 ? a 2 ,且 f ( x) 为 R 上的 4 高调函数,那么
实数 a 的取值范围是( ) A. [ ?1,1] B. ( ?1,1) C. [ ?2,2] 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知 D. ( ?2,2) . . . .

3 sin (π + α ) + cos(? α ) = 2 ,则 tan α = 4 sin (? α ) ? cos(9π + α ) 12.若函数 y =| 2 x ? 1| ,在 (?∞, m] 上单调递减,则 m 的取值范围是
2

13.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x ) ,且满足 f ( x ) = 2 x ? xf ′(2) ,则 f ′(5) = 14.已知函数 f ( x ) 满足: f ( 0 ) = 1 , f ( x + 1) = 15.已知函数 f ( x ) = x + log 2
3

f ( x) + 3 ,则 f ( 2010 ) = 1 ? 3 f ( x)

1+ x . ,且 f (1 ? a ) + f (1 ? a 2 ) < 0 ,则 a 的取值范围是 1? x 16. 已知函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 的导函数是 g ( x ), a + b + c = 0 ,g (0) ? g (1) < 0 . 设 x1 , x2 是方程 g ( x ) = 0 的两根,则| x1 ? x2 |的取值范围为 .
17. 定义 max {a, b} = ?

?a ( a ≥ b) , 已知实数 x, 满足|x|≤1, y |y|≤1, z = max{x + y ,2 x ? y} , 设 ?b(a < b)

则 z 的取值范围是________________.

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2010学年第一学期第二次统练答题卷 台州中学 2010-2011 学年第一学期第二次统练答题卷
·······················································装·························································订·························································线·····························

高三

数学(理科) 数学(理科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.___________ 12. ___________ . . 15.___________ 16. ___________ . . 13.___________ 14. ___________ . . 17.___________ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

号次__________

考试号________________

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)已知 p : x ∈ A = x | x 2 ? 2 x ? 3 ≤ 0, x ∈ R , (1)若 A I B = [1,3] ,求实数 m 的值;

q : x ∈ B = { x | x ? 2mx + m ? 9 ≤ 0, x ∈ R, m ∈ R} .
2 2

{

}

(2)若 p 是 ?q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

班级__________________

姓名___________________

19.本小题满分 14 分) ( 已知 f ( x) =

x2 , 且方程 f ( x) ? x + 12 = 0 有两个实根为 x1 = 3 , ax + b x2 = 4 (这里 a 、 b 为常数)(1)求函数 f ( x) 的解析式 (2)求函数 f ( x) 的值域. .

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20. (本小题满分 14 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , PA = AB = 2 , BC = 4 . E 是 PD 的中点, (1)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (2)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值.

P E A D

B

C

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21. (本小题满分 15 分)已知点 F1,F2 为椭圆 于不同的两点 A,B. (1)设 b = f ( k ), 求f ( k ) 的表达式; (2)若 OA ? OB = (3)若 OA ? OB

x2 + y 2 = 1 的两个焦点,点 O 为坐标原点, 2 圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,一条直线 l : y = kx + b(b > 0) 与圆 O 相切并与椭圆交

2 , 求直线 l 的方程; 3

2 3 = m, ( ≤ m ≤ ) ,求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4

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22. (本小题满分 15 分)已知奇函数 f ( x ) = log a (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)对于 x ∈ [2, 4] f ( x) > log a
*

bx + 1 , (a > 0 ,且 a ≠ 1) x ?1

m 恒成立,求 m 的取值范围; ( x ? 1) 2 (7 ? x)
f (2) + f (3) +???+ f ( n )

(Ⅲ)当 n ≥ 4 ,且 n ∈ N 时,试比较 a

与 2 ? 2 的大小.
n

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台州中学 2010-2011 学年第一学期第二次统练 高三 数学(理科)答案
一、选择题 DADCB 二、填空题 11. DCBAA 12. m ≤ 0 13.16 17. [ ? 14.1

15. 1, 2

(

1 5

)

16. ( , +∞)

2 3

3 ,3] 2

三、解答题

18. (1) A = { x | ?1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} , B = { x | m ? 3 ≤ x ≤ m + 3, x ∈ R, m ∈ R} ,

Q A I B = [1,3] ∴ m = 4 (2) Q p 是 ?q 的充分条件, ∴ A ? ?R B , ∴ m > 6或m < ?4.

19. 解 : 1 ) 依 已 知 条 件 可 知 方 程 f ( x ) ? x + 12 = 0 即 为 (

x2 ? x + 12 = 0, ax + b

因为

x1 = 3, x2 = 4 是上述方程的解,所以

? 9 ? 3a + b ? 3 + 12 = 0 ? , ? ? 16 ? 4 + 12 = 0 ? 4a + b ?

解得 ?

? a = ?1 x2 所以函数的解析式为 f ( x ) = ? x?2 ?b = 2
x2 4 ? ? = ? ?( x ? 2) + +4 , x?2 x?2 ? ? ?

(2)因为 f ( x) = ?

当 x > 2时, ( x ? 2) +

4 ≥ 4 , 当 且 仅 当 x = 4 时 取 等 号 , 所 以 y ≤ ?8 x?2



x < 2时, ( x ? 2) +

f ( x)的值域为(-∞,- 8] ∪ [ 0, +∞) .

4 ≤ ?4 , 当 且 仅 当 x = 0 时 取 等 号 , 所 以 y ≥ 0 x?2

所以函数

uuu r AE =(0,2,1) , AC =(2,4,0) . (1)设平面 AEC 的法向量 n = ( x, y , z ) ,令 z = 1 ,
则n = 由

20 解:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建 立空间直角坐标系,则 A (0,0,0) , B (2,0,0), z C (2,4,0) , D (0,4,0) , E (0,2,1) , P (0,0,2) . P uuur uuu r ∴ AB =(2,0,0) , AD =(0,4,0) , AP uuu r E =(0,0,2) , CD =(-2,0,0) , A D y

( x, y,1) .

?n ? AE = 0 ? ? ?n ? AC = 0 ?
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B 即 x C

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?x = 1 ?( x, y,1) ? (0,2,1) = 0 ?2 y + 1 = 0 ? ? 1 ? ?? ?? ? 1 ∴ n = ?1,? ,1? . ? 2 ? ?( x, y,1) ? (2,4,0 ) = 0 ?2 x + 4 y = 0 ? y = ? 2 ? uuu r 平面 ABC 的法向量 AP =(0,0,2) . n ? AP 2 2 cos? n, AP? = = = . n × AP 3 × 2 3 2 2 所以二面角 E ? AC ? D 所成平面角的余弦值是 . 3 uuu r ? 1 ? (2)因为平面的法向量是 n = ?1,? ,1? ,而 CD =(-2,0,0) . ? 2 ?
所以

cosθ =

n ? CD n ? CD

=

?2 2 =? 3 3 ×2 2
2 3

.

直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值

.

21 解:Q c = 1 且直线 l : y = kx + b(b > 0) 与圆 O 相切



b

1+ k 2

=1

Q b > 0,∴ b = 1 + k 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), ? y = kx + b ? 则由 ? x 2 ,消去 y 得 (2k 2 + 1) x 2 + 4kbx + 2b 2 ? 2 = 0 2 ? + y =1 ?2 4kb 2b 2 ? 2 2 又 ? = 8k > 0(Qk ≠ 0), x1 + x 2 = ? , x1 x 2 = 2k 2 + 1 2k 2 + 1 k 2 +1 则 OA ? OB = x1 x 2 + y1 y 2 = . 2k 2 + 1 2 2 2 由 OA ? OB = ,∴ k = 1, b = 2. 3 b > 0,∴ b = 2 ,
∴ l : y = x + 2 , y = ? x + 2. k 2 +1 2 3 (3)由(2)知: = m.Q ≤ m ≤ , 2 3 4 2k + 1 2 2 k +1 3 1 ∴ ≤ 2 ≤ ,∴ ≤ k 2 ≤ 1, 3 2k + 1 4 2
由弦长公式得

| AB |= k 2 + 1 ?

2 k2 1 , 所以S = | AB |= 2 2 2k + 1

2k 2 (k 2 + 1) 2k 2 + 1

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解得∴

22.解: (Ⅰ)由 f ( x ) = log a

bx + 1 ?bx + 1 bx ? 1 , f ( ? x ) = log a = log a x ?1 ?x ?1 x +1 2 2 bx + 1 bx ? 1 b x ?1 f ( x) + f (? x) = log a + log a = log a 2 =0 x ?1 x +1 x ?1 b2 x2 ? 1 ∴ = 1 恒成立, b 2 = 1 , b = ±1 经检验 b = 1 2 x ?1 x +1 m (Ⅱ)由 x ∈ [2, 4] 时, f ( x ) = log a > log a 恒成立, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) ①当 a > 1 时 x +1 m ∴ > > 0 对 x ∈ [2, 4] 恒成立 x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) ∴ 0 < m < ( x + 1)( x ? 1)(7 ? x ) 在 x ∈ [2, 4] 恒成立 设 g ( x ) = ( x + 1)( x ? 1)(7 ? x), x ∈ [2, 4]
则 g ( x) = ? x3 + 7 x 2 + x ? 7

6 2 ≤S≤ . 4 3

7 52 g ′( x) = ?3 x 2 + 14 x + 1 = ?3( x ? ) 2 + 3 3 ′( x) > 0 ∴当 x ∈ [2, 4] 时, g ∴ y = g ( x ) 在区间 [2, 4] 上是增函数, g ( x ) min = g (2) = 15 ∴ 0 < m < 15 ②当 0 < a < 1 时 x +1 m 由 x ∈ [2, 4] 时, f ( x ) = log a > log a 恒成立, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) x +1 m ∴ < 对 x ∈ [2, 4] 恒成立 x ? 1 ( x ? 1)2 (7 ? x) ∴ m > ( x + 1)( x ? 1)(7 ? x ) 在 x ∈ [2, 4] 恒成立 设 g ( x ) = ( x + 1)( x ? 1)(7 ? x), x ∈ [2, 4] 由①可知 y = g ( x ) 在区间 [2, 4] 上是增函数, g ( x ) max = g (4) = 45 ∴ m > 45 综上,当 a > 1 时, 0 < m < 15 ; 当 0 < a < 1 时, m > 45 4 5 n n +1 (Ⅲ) f (2) + f (3) + ??? + f (n) = log a 3 + log a + log a + ??? + log a ∵ + log a 2 3 n?2 n ?1 4 5 n n +1 n(n + 1) = log a (3 × × ×???× × ) = log a 2 3 n ? 2 n ?1 2 n(n + 1) f (2) + f (3) +......+ f ( n ) ∴a = 2 n(n + 1) 当 n = 2 时, = 3 , 2n ? 2 =2,∴ a f (2)+ f (3)+......+ f ( n ) > 2n ? 2 2 n(n + 1) 当 n = 3 时, = 6 , 2n ? 2 =6,∴ a f (2)+ f (3)+......+ f ( n ) = 2n ? 2 2

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当 n ≥ 4 时, a

n(n + 1) < 2n ? 2 2 n(n + 1) f (2) + f (3) +......+ f ( n ) 下面证明:当 n ≥ 4 时, a = < 2n ? 2 2 n 0 1 2 n ?1 n 证法一:当 n ≥ 4 时, 2 ? 2 = Cn + Cn + Cn + ??? + Cn + Cn ? 2
f (2) + f (3) +......+ f ( n )

=

1 2 n = Cn + Cn + ??? + Cn ?1

n(n ? 1) n 2 + 3n n(n + 1) +n= > 2 2 2 n(n + 1) f (2) + f (3) +......+ f ( n ) ∴当 n ≥ 4 时, a = < 2n ? 2 2 n(n + 1) n(n + 1) 证法二:当 n ≥ 4 时,要证明 < 2n ? 2 ,只需要证明 + 2 < 2n 2 2 n(n + 1) n(n + 1) + 2 = 12 , 2 n = 16 , + 2 < 2n 成立 (1)当 n = 4 时, 2 2 n(n + 1) k (k + 1) (2)假设 n = k ( k ≥ 4) ,不等式 + 2 < 2n 成立,即 + 2 < 2k 2 2 k (k + 1) 那么 2[ + 2] < 2 ? 2k ∴ k (k + 1) + 4 < 2 k +1 2 (k + 1)[(k + 1) + 1] ?k 2 + k ? 2 又因为 + 2 ? [k (k + 1) + 4] = <0 2 2 (k + 1)[(k + 1) + 1] ∴ + 2 < k (k + 1) + 4 < 2k +1 2 n(n + 1) ∴ n = k + 1 时,不等式 + 2 < 2n 成立 2 n(n + 1) * 综合(1)和(2) ,对 ?n ∈ N ,且 n ≥ 4 不等式 + 2 < 2n 成立 2 n(n + 1) f (2) + f (3) +???+ f ( n ) ∴当 n ≥ 4 时, a = < 2n ? 2 2 n(n + 1) n( n + 1) 证法三:∵ n ≥ 4 时, < 2n ? 2 ? ? 2n + 2 < 0 2 2 x ( x + 1) 构造函数 h( x ) = ? 2 x + 2, x ∈ [4, +∞ ) 2 1 h′( x ) = x ? 2 x ln 2 + [h′( x)]′ = h′′( x) = 1 ? 2 x ln 2 2 2 ∴当 x ∈ [4, +∞) 时, h′′( x ) = 1 ? 2 x ln 2 2 < 0 ∴ h′( x ) = x ? 2 x ln 2 在区间 [4, +∞) 是减函
> n+
数, ∴当 x ∈ [4, +∞) 时, h′( x ) = x ? 2 x ln 2 + ∴ h( x) =

x( x + 1) ? 2 x + 2 在 区 间 [4, +∞) 是 减 函 数 , x ∈ [4, +∞) 时 , 2 x( x + 1) 4×5 4 h( x) = ? 2 x + 2 < h(4) = ? 2 + 2 = ?4 < 0 2 2 n(n + 1) n(n + 1) n n ≥ 4 时, < 2n ? 2 ? 2 + 2 < 0 ,即 2 2
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1 9 9 1 7 < h′(4) = ? 16 ln 2 < ? 16 × = ? < 0 2 2 2 2 2

∴当 n ≥ 4 时, a

f (2) + f (3) +???+ f ( n )

=

n(n + 1) < 2n ? 2 2

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