当前位置:首页 >> 数学 >>

新课标人教A版数学选修2-3全套教案


第一章计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标: 知识与技能:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理; ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题; 过程与方法:培养学生的归纳概括能力; 情感、态度与价值观:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 引入课题 先看下面的问题: ①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法? ②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法? 要解决这些问题, 就要运用有关排列、 组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说,就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法. 在运用排列、 组合方法时, 经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课, 我们从具体例子出发来学习这两个原理. 1 分类加法计数原理 (1)提出问题 问题 1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编 出多少种不同的号码? 问题 1.2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班,汽车 有 2 班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 探究:你能说说以上两个问题的特征吗? (2)发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 种不同的方 法 , 在 第 2 类 方 案 中 有 种 不 同 的 方 法 . 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N ? m ? n 种不同的方法. (3)知识应用 例 1.在填写高考志愿表时, 一名高中毕业生了解到, A,B 两所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业,具体情况如下: A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 分析:由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又 由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:这名同学可以 选择 A , B 两所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法,在 B 大学中有 4 种 专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理, 这名同学可能的专业选择共有 5+4=9(种). 变式:若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同 学可能的专业选择共有多少种? 探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

n

m

1

类方案中有 m2 种不同的方法, 在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法, 那么完成这件事共有多 少种不同的方法? 如果完成一件事情有 n 类不同方案, 在每一类中都有若干种不同方法, 那么应当如何计 数呢? 一般归纳: 完成一件事情, 有 n 类办法, 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法??在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法. 理解分类加法计数原理:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干 类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方 法都可以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理 (1)提出问题 问题 2.1:用前 6 个大写英文字母和 1—9 九个阿拉伯 数字,以 A1 , A2 ,?, B1 , B2 ,?的方式给教室里的座位编 号,总共能编出多少个不同的号码? 用列举法可以列出所有可能的号码: 我们还可以这样来思考:由于前 6 个英文字母中的任 意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且 它们各不相同,因此共有 6×9 = 54 个不同的号码. 探究:你能说说这个问题的特征吗? (2)发现新知 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在 第 1 类方案中有 共有 N ? m ? n 种不同的方法. (3)知识应用 例 2.设某班有男生 30 名,女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比 赛,共有多少种不同的选法? 分析:选出一组参赛代表,可以分两个步骤.第 l 步选男生.第 2 步选女生. 解:第 1 步,从 30 名男生中选出 1 人,有 30 种不同选择; 第 2 步,从 24 名女生中选出 1 人,有 24 种不同选择. 根据分步乘法计数原理,共有 30×24 =720 种不同的选法. 探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种 不同的方法,做第 3 步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事情需要 n 个步骤, 做每一步中都有若干种不同方法, 那么应当如何计数呢? 一般归纳: 完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做 第 2 步有 m2 种不同的方法??做第 n 步有 mn 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法. 理解分步乘法计数原理:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若 干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成 后,才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方 法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立, 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成 这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干 步, 各个步骤相互依存, 完成任何其中的一步都不能完成该件事, 只有当各个步骤都完成后, 才算完成这件事,是合作完成. 3 综合应用 例 3. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层 放 2 本不同的体育书. ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法?
2

m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事

②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 【分析】 ①要完成的事是“取一本书” ,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因 此是分类问题,应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ,由于取一层中的一本书都只 完成了这件事的一部分,只有第 1、2、3 层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应 用分步计数原理. ③要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算 机和文艺书各 1 本,再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这 件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些 选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解: (1) 从书架上任取 1 本书,有 3 类方法:第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书, 有 4 种方法; 第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书, 有 3 种方法; 第 3 类方法是从第 3 层 取 1 本体育书,有 2 种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 =4+3+2=9; (2 ) 从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书, 可以分成 3 个步骤完成: 第 1 步从第 1 层 取 1 本计算机书,有 4 种方法;第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;第 3 步 从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 =4×3×2=24 . (3) N ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 26 。 例 4. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法? 解:从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:第 1 步, 从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种选法;第 2 步,从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂 在右边墙上,有 2 种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是 N=3×2=6 . 6 种挂法可以表示如下:

分类加法计数原理和分步乘法计数原理, 回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问 题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中 任何一种方法都可以做完这件事,分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的 方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事. 教学反思:

课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理,是推导排列 数、组合数公式的理论依据,也是求解排列、组合问题的基本思想. 2. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 并加区别分类加法计数原理针对的是 “分 类”问题,其中各种方法相对独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;而分步乘法计 数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成后才算做 完这件事. 3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点:分类加法计数原理:首先确定 分类标准,其次满足:完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属于不同的两类 的方法都是不同的方法,即"不重不漏". 分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次 满足:必须并且只需连续完成这 n 个步骤,这件事才算完成.
3

1.2.1 排列
教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思 想,并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分, 依分类计数原理解题, 首先明确 要做的这件事是什么, 其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准, 最后在确定的标准下 进行分类.分类要注意不重复、 不遗漏, 保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完 成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤, 必须且只需连续完成这几个步骤后才 算完成这件事,每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的 地位是有区别的,分类计数原理更具有一般性,解决复杂问题时往往需要先分类,每类中再 分成几步.在排列、组合教学的起始阶段,不能嫌罗嗦,教师一定要先做出表率并要求学生 严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰,才会做到分 类有据、分步有方,为排列、组合的学习奠定坚实的基础 分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、 组合数公式的基础, 也是解决排列、 组合问题的主要依据,并且还常需要直接运用它们去解决问题,这两个原理贯穿排列、组合 学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性. 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素, 或排成一排或并成一组, 并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题, 与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定 义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 教学过程: 一、复习引入: 1 分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种 不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的 方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法 2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同 的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问 题,区别在于:分类加法计数原理针对的是 “分类” 问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只 属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问 题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤 ,只 有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么; 2.是分 类完成还是分步完成,“类”间互相独立, “步”间互相联系;3.有无特殊条件的限制 二、讲解新课: 1 问题: 问题 1.从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学 参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法? 分析:这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学,按照参加上午的活动 在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有 6 种不同的排 法:甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的对象叫做元素 解决这一问题可分两个步骤: 第 1 步, 确定参加上午活动的同学, 从 3 人中任选 1 人, 有 3 种方法;第 2 步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下 午活动的同学只能从余下的 2 人中去选,于是有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,按照参加上午活动在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共 有 3×2=6 种,如图 1.2 一 1 所示.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

4

图 1.2 一 1 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可叙述为:从 3 个不同的元素 a , b , 。 中任取 2 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?所有不同的 排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种. 问题 2.从 1,2,3,4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到多少个 不同的三位数? 分析:解决这个问题分三个步骤:第一步先确定左边的数,在 4 个字母中任取 1 个,有 4 种方法;第二步确定中间的数,从余下的 3 个数中取,有 3 种方法;第三步确定右边的数, 从余下的 2 个数中取,有 2 种方法 由分步计数原理共有: 4×3×2=24 种不同的方法, 用树型图排出, 并写出所有的排列 由 此可写出所有的排法 显然,从 4 个数字中,每次取出 3 个,按“百” “十” “个”位的顺序排成一列,就得 到一个三位数. 因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数. 可以分三个步骤来 解决这个问题: 第 1 步,确定百位上的数字,在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个,有 4 种 方法; 第 2 步, 确定十位上的数字, 当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的 3 个 数字中去取,有 3 种方法; 第 3 步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下 的 2 个数字中去取,有 2 种方法. 根据分步乘法计数原理,从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中,每次取出 3 个数 字,按“百” “十” “个”位的顺序排成一列,共有 4×3×2=24 种不同的排法, 因而共可得 到 24 个不同的三位数,如图 1. 2 一 2 所示.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

由此可写出所有的三位数: 123,124, 132, 134, 142, 143, 213,214, 231, 234, 241, 243, 312,314, 321, 324, 341, 342, 412,413, 421, 423, 431, 432 。 同样,问题 2 可以归结为:从 4 个不同的元素 a, b, c,d 中任取 3 个,然后按照一 定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
5

共有 4×3×2=24 种. 树形图如下

a

b





b c d a c d a b d a b c 2.排列的概念: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定 .. 的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ... .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 3.排列数的定义: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取 m 出 m 元素的排列数,用符号 An 表示 注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素 按照一定的顺序 排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n ) .....
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

m 个元素的所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

4.排列数公式及其推导: 2 由 An 的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素 a1 , a2, ?an 中任取 2 个元素去 填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这 2 样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数 An .由分步计数原理完成上 2 述填空共有 n(n ? 1) 种填法,∴ An = n(n ? 1) 3 3 m 由此,求 An 可以按依次填 3 个空位来考虑,∴ An = n(n ? 1)(n ? 2) ,求 An 以按依次填 m m 个空位来考虑 An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) , 排列数公式:
王新敞
奎屯 新疆

m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)

( m, n ? N , m ? n ) 说明: (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一个 因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列 n 全排列数: An 我们规定 0! =1 . ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘) 另外, 巩固练习:书本 20 页1,2,3,4,5,6 课外作业:第 27 页 习题 1.2 A 组 1 , 2 , 3,4,5 教学反思: 排列的特征:一个是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与 位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义,两个排列相 同,且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义,掌 握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。 对于较复杂的问题,一般都有两个方向的列式途径,一个是“正面凑” ,一个是“反过 来剔” .前者指,按照要求,一点点选出符合要求的方案;后者指,先按全局性的要求,选 出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方 法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。
王新敞
奎屯 新疆

?

王新敞
奎屯

新疆

6

1.2.2 组合
教学目标: 知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与 区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
m 过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数 ? m n 与组合数 Cn 之间的联系,掌握组合数公

式,能运用组合数公式进行计算。 情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。 教学重点:组合的概念和组合数公式 教学难点:组合的概念和组合数公式 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素, 或排成一排或并成一组, 并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题, 与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定 义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的 真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别. 学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合 问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意 要求的元素来, 选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队, 即第一步仅从组合的角度考虑, 第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据 具体做事的过程, 用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、 组合题就是从生活经验、 知识经验、 具体情景的出发, 正确领会问题的实质, 抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察, 有些同学之所以学习中感到抽象, 不知如何思考, 并不是因为数学知识跟不上, 而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是 有悖于常理或常规的做法) .要解决这个问题, 需要师生一道在分析问题时要根据实际情况, 怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之, 学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、复习引入: 1 分类加法计数原理:做一件事情, 完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种 不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的 方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法 2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同 的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法 3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不 相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... .... 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

7

m 做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示 m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n ) 6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 .
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

8.提出问题: 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加 上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的 引出课题:组合 . ..
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

二、讲解新课: 1 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 例 1.判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有 多少种不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不 同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 问题: (1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

2. 组合数的概念: 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个
m 不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ...

3.组合数公式的推导: (1)从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢?
3 启发:由于排列是先组合再排列 ,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4 可以 ......... 3

求得,故我们可以考察一下 C 4 和 A4 的关系,如下: 组 合 abc ? abd ? acd ? bcd ?
abc, bac,

3

3

abd, bad, acd, cad, bcd, cbd,

排列 cab, acb, bca, cba dab, adb, bda, dba dac, adc, cda, dca dbc, bdc, cdb, dcb

由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个 元素的排列数 A4 ,可以分如下两步:① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有
3

8

3 3 个;② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有 A3 种方法.由分步计数原理得: C4

3 3 3 3 = C4 ,所以, C 4 ? A3 A4 ?

3 A4 . 3 A3

m (2) 推广: 一般地, 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An , 可以分如下两步: m ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ; m m m m ② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据分步计数原理得: An = Cn . ? Am (3)组合数的公式:

名称内容 定 义

分类原理

分步原理

相同点 不同点

Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或 C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? m m!(n ? m)! Am m!

王新敞
奎屯

新疆

0 规定: C n ? 1.

三、小结 :组合的意义与组合数公式;解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从 而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理 学生探究过程: (完成如下表格)
王新敞
奎屯 新疆

名 称 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质 四、课后作业: 六、教学反思:
王新敞
奎屯 新疆









五、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

排列组合问题联系实际生动有趣, 题型多样新颖且贴近生活, 解法灵活独到但不易掌握, 许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施,尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时, 可考虑换位思考将其等价转化,使问题变得简单、明朗。 m n ?m m m m?1 教科书在研究组合数的两个性质① Cn ,② Cn 时,给出了组合 ? Cn ?1 ? Cn ? Cn 数定义的解释证明, 即构造一个组合问题的模型, 把等式两边看成同一个组合问题的两种计 算方法,由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧,把枯燥的公式 还原为有趣的实例,能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。 教学反思: 1 注意区别“恰好”与“至少” 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2 特殊元素(或位置)优先安排
9

将 5 列车停在 5 条不同的轨道上,其中 a 列车不停在第一轨道上,b 列车不停在第二轨 道上,那么不同的停放方法有种 3“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空” 七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有多少种 4、混合问题,先“组”后“排” 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为 止,若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能? 5、分清排列、组合、等分的算法区别 (1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多 少种分法? (3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理 从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?

1.3.1 二项式定理
教学目标: 知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的 结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型:新授课 课时安排:3 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 二项式定理是初中乘法公式的推广, 是排列组合知识的具体运用, 是学习概率的重要基 础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定 理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识, 同时在求展开式、 其通项、 证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧; 进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用; 重视学生 正确情感、态度和世界观的培养和形成. 二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特 殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点. 二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用 组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法. 在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动 的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以 使他们能在再创造的氛围中学习. 教学过程: 一、复习引入:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2ab ? C2 b ;
2 2 2 0 2 1 2 2

0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

王新敞
奎屯

新疆

⑶ (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式,
4

即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b ,

4

3

2 2

3

4

a 的系数是 C4 ; 展开式各项的系数: 上面 4 个括号中, 每个都不取 b 的情况有 1 种, 即 C4 种,
1 1 2 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系
3 2 2

0

4

0

10

2 3 3 4 数是 C4 ,恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种,b 4 的系数是 C4 , 二、讲解新课: 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ∴ (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .

3

4

0 n 1 n r n ?r r n n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b)n 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

a n , a n b ,?, a n?r br ,?, bn , n 0 0 ⑵展开式各项的系数: 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; n 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,??, n?r r Cr Cr 恰有 r 个取 b 的情况有 n 种, a b 的系数是 n ,??, n Cn Cn 有 n 都取 b 的情况有 n 种, b 的系数是 n ,
0 n 1 n r n ?r r n n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理, 右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式, ⑶它有 n ? 1
r 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数, r n ?r r r n?r r ⑷ Cn a b . a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn 1 r r ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn
王新敞
奎屯 新疆

三、小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公 式的特点 四、课后作业: P36 习题 1.3A 组 1. 2. 3.4
王新敞
奎屯 新疆

五、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

六、教学反思: (a+b) = n 这个公式表示的定理叫做二项式定理, 公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 中 C n (r=0,1,2,??,n)叫做
r



, 其 叫做二项展开式



的通项,它是展开式的第 项,展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式, 并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。 培养归纳猜想,抽象概括,演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎 推理有机结合起来,是培养学生数学探究能力的极好载体,教学过程中,要让学生充分体验 到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 二项式定理是指 (a ? b)
n n ?1 n?2 2 n?r r ? a n ? C1 b ? C2 b ? ? ? Cr b ?? na na na

n 这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3?等等展开 ? Cn nb

式的一般形式, 在初等数学中它各章节的联系似乎不太多, 而在高等数学中它是许多重要公 - n 式的共同基础,根据二项式定理的展开,才求得 y=x 的导数公式 y ′ =nxn 1 ,同时

1 lim (1 ? ) n =e≈2.718281?也正是由二项式定理的展开规律所确定,而 e 在高等数学中的 n ?? n
地位更是举足轻重,概率中的正态分布,复变函数中的欧拉公式 ei =cosθ +isinθ ,微分方 程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由 e 的指数形式来表达.且直接由 e 的定义建立
θ

的 y=lnx 的导数公式 y=

1 1 与积分公式 ? =dxlnx+c 是分析学中用的最多的公式之一.而由 x x

11

y=xn 的 各 阶 导 数 为 基 础 建 立 的 泰 勒 公 式 ; f(x)=f(x0)+

f ?( x0 ) f n ( x0 ) (x - x0)2+ ? (x - 1! n!

f ( n ?1) [ x0 ? ? ? ( x ? x0 )] x0) + ( x ? x0 ) n ?1 (θ ∈(0,1))以及由此建立的幂级数理论,更是广 (n ? 1)!
n

泛深入到高等数学的各个分支中. 怎样使二项式定理的教学生动有趣 正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少, 所以教材上教法就显得呆板, 单 4 调, 课本上先给出一个(a+b) 用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式, 再 用数学归纳法证明,因为证明写得很长,上课时的板书几乎占了整个黑板,所以课必然上得 累赘,学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看,记也感到吃力,又怎能发挥主 体作用? 怎样才能使得在这节课上学生获得主动?采用课前预习;自学辅导;还是学生讨论,或 读,议、讲,练,或目标教学,还是设置发现情境?看来这些办法遇到真正困难时都会无能 为力,因为这些方法都无法改变算式的冗长,证法的呆板,课堂上的新情境与学生的认知结 构中的图式不协调的事实. 而 MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法 与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁, 心理学家皮亚杰一再强调 “认识起因 [1] 于主各体之间的相互作用” 只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的 时候,才能完成认识的主动建构,也就是学生获得真正的理解. [ ] MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教,学,研互相促进的规律” 2 在教 学中追求简易,重视直观,并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣,学生学得生动主动, 充分发挥其课堂上的主体作用.

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标: 知识与技能:掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观:要启发学生认真分析书本图 1-5-1 提供的信息,从特殊到一般,归 纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

0 n 1 n r n ?r r n n (1) (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) , 1 r r (2) (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn .

12

r n ?r r 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项时要 注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课: 1 二项式系数表(杨辉三角)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项式系数
表,表中每行两端都是1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数 的和 2.二项式系数的性质:
王新敞
奎屯 新疆

0 1 2 n r , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成以 r 为自变量的函 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,? , n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图) ( 1 )对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 (∵
m . Cn ? Cnn? m)

直线 r ?

n 是图象的对称轴. 2

(2)增减性与最大值.

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取 2
∵ Cn ?
k

得最大值;
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大 值. (3)各二项式系数和:
1 r r ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn ,

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn 三、讲解范例:
n

王新敞
奎屯

新疆

例 1.在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明:在展开式 (a ? b) ? C a ? C a b ? ?? C a
n

王新敞
奎屯

新疆

b ? ?? C b (n ? N ) 中,令 n a ? 1, b ? ? 1,则 (1 ?1) ? C ? C ? C ? C ? ?? (?1) Cn , 0 2 1 即 0 ? (Cn ? Cn ? ?) ? (Cn ? C ? ?) , 0 2 1 3 ∴ Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ?, n 即在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 0 2 1 3 n?1 说明:由性质(3)及例 1 知 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2 .
n 0 n
0 n n 1 n 3 n 1 n n r n n n n

n ?r r

?

2 n

3 n

n

13

例 2.已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;
7 7

解: (1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x) ? (1 ? 2) ? ?1,展开式右边为

(3) | a0 | ? | a1 | ??? | a7 | .

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7
∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 , 当 x ? 0 时, a0 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ? 1 ? ?2 , (2)令 x ? 1 , a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ①
7

令 x ? ?1 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 3



① ? ② 得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 37 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? (3)由展开式知: a1 , a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正, ∴由(2)中①+② 得: 2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 37 , ∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

1 ? 37 . 2

?1 ? 37 , 2

∴ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7

? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37
2 10 3

王新敞
奎屯

新疆

例 3.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数
10 解: (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? ( 1 ? x) ?

王新敞
奎屯

新疆

(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] 1 ? (1 ? x)

=

( x ? 1)11 ? ( x ? 1) , x
3 4

∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11 例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ (x ? 3x ? 2) ? (x ? 1) (x ? 2)
2 5 5
5 5 5 2 5
王新敞
奎屯 新疆

7

王新敞
奎屯

新疆

5

∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C1 5 ? 5x ,
4 在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C1 5 2 x ? 80x

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80x ) ? 5x (32) ? 240x , ∴此展开式中 x 的系数为 240 例 5.已知 ( x ? 开式的常数项
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展 x2
2 4 2

解:依题意 Cn : Cn ? 14 : 3 ? 3Cn ? 14Cn
4

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C10 ( x )
r 10 ? r

王新敞
奎屯

新疆

(?

2 r r ) ? (?2) r C10 x 2 x

10 ?5 r 2

14



10 ? 5r ? 0 ? r ? 2, 2
王新敞
奎屯 新疆

2 ? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180
2 3 n

例 6. 设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn , 当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值 解:令 x ? 1 得:
王新敞
奎屯 新疆

2(2n ? 1) ? 254 , a0 ? a1 ? a2 ??? an ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ?1
2 3 n

∴ 2n ? 128, n ? 7 , 点评:对于 f ( x) ? a0 ( x ? a)n ? a1 ( x ? a)n?1 ? ?? an ,令 x ? a ? 1, 即 x ? a ? 1 可得各 项系数的和 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an 的值;令 x ? a ? ?1, 即 x ? a ? 1 ,可得奇数项系数和与偶 数项和的关系
王新敞
奎屯 新疆

1 2 3 n 例 7.求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn n n?1 n ?2 2 1 又∵ S ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? 2Cn ? Cn r n ?r 0 n 1 n?1 ∵ Cn ,∴ Cn ? Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? ,
0 1 2 n 由①+②得: 2 S ? n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,

① ②

?

?

∴S ?

1 1 2 3 n ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 2

(法二) :左边各组合数的通项为
r ? r? rCn

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 n ?1 ∴ Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? n ? 2 .

?

?

例 8.在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和;

15

⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
r 分析 : 因为二项式系数特指组合数 C n , 故在① , ③中只需求组合数的和 , 而与二项式

2 x ? 3 y 中的系数无关.
解:设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*), 各项系数和即为 a 0 ? a1 ? ? ? a10 ,奇数项系数和为 a0 ? a2 ? ? ? a10 ,偶数项系数和为

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0 1 10 ①二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

②令 x ? y ? 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 , 1 3 9 偶数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 .

④设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 , 令 x ? y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1), 令 x ? 1 , y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2) (1)+(2)得 2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 , ∴奇数项的系数和为 1 ? 5 ;
10

2

(1)-(2)得 2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 , ∴偶数项的系数和为 1 ? 5 .
10

2

⑤ x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 1 ? 5 ;
10

2

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系 数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 例 9 .已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992, 求
1 (2 x ? ) 2n 的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. x

解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 . ① (2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
10

1 x

5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

1 x

②设第 r ? 1项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r

1 x

16

r 10 ? r r ?1 r r ?1 ? ?C10 ? C10 ? 210 ? r ?1 ? 2C10 ?11 ? r ? 2r ?C10 ? 2 ? ∴? r , 得 ,即 ? ? 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 r r ?1 ? ? ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ?C10 ? 2 ?2C10 ? C10

∴ 8 ? r ? 11 ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
3 3
2

王新敞
奎屯

新疆

例 10.已知: ( x 3 ? 3x 2 )n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项 解:令 x ? 1 ,则展开式中各项系数和为 (1 ? 3) ? 2 ,
n 2n
王新敞
奎屯 新疆

又展开式中二项式系数和为 2 ,

n

? 2n ? 992 , n ? 5 . (1)∵ n ? 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
∴2
2n

∴ T3 ? C ( x ) (3x ) ? 90 x , T4 ? C ( x ) (3x ) ? 270 x ,
2 5 2 2 6 3 5 2 3

2 3 3

2 3 2

22 3

(2)设展开式中第 r ? 1 项系数最大,则 Tr ?1 ? C ( x )
r 5

2 3 5? r

(3x ) ? 3 C x
2 r r r 5

10? 4 r 3



∴?

?3r C5r ? 3r ?1 C5r ?1 7 9 ? ? ? r ? ,∴ r ? 4 , r r r ?1 r ?1 2 2 3 C ? 3 C ? 5 5 ?
2 26

4 即展开式中第 5 项系数最大, T5 ? C5 ( x 3 )(3x2 )4 ? 405x 3 .

1 n?1 2 n ?2 n?1 例 11.已知 S n ? 2 n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn ? 2 ? 1(n ? N ? ) ,

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除 式

王新敞
奎屯

新疆

分析:由二项式定理的逆用化简 S n ,再把 S n ? 4n ? 1 变形,化为含有因数 64 的多项
王新敞
奎屯 新疆

1 n?1 2 n ?2 n?1 ∵ Sn ? 2n ? Cn 2 ? Cn 2 ? ?? Cn ? 2 ?1 ? (2 ?1)n ? 3 ,
n

∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n ? 2k ( k ? N ) ,
n *

k ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 8k ? 1 ? (8 ? 1) ? 8k ?1
2k

1 k ?1 ? Ck0 8k ? Ck 8 ? ?? Ckk ?18 ? 1 ? 8k ?1 1 k ?1 ? (Ck0 8k ? C8 8 ??? Ck2 )82 ( ? ) , 当 k = 1 时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除, 当 k ? 2 时, ( ? )式能被 64 整除, 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除
王新敞
奎屯 新疆

三、小结 :二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方 面的内在联系, 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题, 只需运用通项公式和二项式系 数的性质对条件进行逐个节破, 对于与组合数有关的和的问题, 赋值法是常用且重要的方法, 同时注意二项式定理的逆用 四、课后作业:P36 习题 1.3A 组 5. 6. 7.8 B 组 1. 2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

? 16 2 1 ? 1 .已知 (a ? 1) 展开式中的各项系数的和等于 ? x ? ? 的展开式的常数项,而 x? ?5
2 n

5

(a2 ? 1)n 展开式的系数的最大的项等于 54 ,求 a 的值 (a ? R)
17

王新敞
奎屯

新疆

答案: a ? ? 3
5

2.设 ?1 ? x ? ? 3 ? 2 x ? ? a0 ? x ? 1? ? a1 ? x ? 1? ? ? ? a13 ? x ? 1? ? a14
9 14 13

求:① a0 ? a1 ? ? ? a14 答案:① 3 ? 19683 ;
9

② a1 ? a3 ? ? ? a13 .

?3 ②

9

? 35 ?

2

? 9963

王新敞
奎屯

新疆

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.求值: 2C9 . ? C9 ? 2C9 ? C9 ? 2C9 ? C9 ? 2C9 ? C9 ? 2C9 ? C9

答案: 2 ? 256
8

王新敞
奎屯

新疆

4.设 f ( x) ? ( x2 ? x ?1)9 (2x ? 1)6 ,试求 f ( x ) 的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
王新敞
奎屯 新疆

答案: (1) 3 ? 729 ;
6

36 ? 1 36 ? 1 ? 364 ;所有奇次项的系数和为 ? 365 (2)所有偶次项的系数和为 2 2
五、板书设计(略)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

六、教学反思: 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时 要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项, 而系数最大的不一定是中间项, 尤其要理解和掌握“取特值”法, 它是解决有关二项展开式 系数的问题的重要手段。 二项式定理概念的引入,我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,那 么对一般情况;(a+b)n 展开后应有什么规律,这里 n∈N,这就是我们这节课“二项式定理” 要研究的内容. 选择实验归纳的研究方式, 对(a+b)n 一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似, 大家想想,求 an 时我们用了什么方法,学生:先写出前 n 项,再观察规律,猜测其表达式, 最后用数学归纳法证明,老师:大家说得很正确,现在我们用同样的方式来研究(a+b)4 的展 开,因(a+b)4=(a+b)3(a+b),我们可以用(a+b)3 展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成,体会 计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式: (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2 +4ab3+b4. 对计算的化算:对(a+b)n展开式中的项,字母指数的变化规律是十分明显的,大家能说出它 们的规律吗?学生:a的指数从n逐次降到0,b的指数从0逐次升到n,老师:大家说的很对, 这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了,但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面” 使我们难以发现,但我们仍可用 an , an ?an 来表示,它这样一来(a+b)n的展开形式就可写 成(a+b)n= an a
0 n n ?1 r n?r r n n r 的表达形式.为 ? a1 b ? ?an a b ?? an b 现在的问题就是要找 an na
王新敞
奎屯 新疆

0

1

n

此我们要采用抽象分析法来化简计算

18

第二章随机变量及其分布

2.1.1 离散型随机变量
教学目标: 知识目标:1.理解随机变量的意义; 2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散性随机变量 的例子; 3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量. 能力目标:发展抽象、概括能力,提高实际解决问题的能力. 情感目标:学会合作探讨,体验成功,提高学习数学的兴趣. 教学重点:随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点:随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上,学习随机变量和统计的一 些知识.学习这些知识后,我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程: 一、复习引入: 展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学), 激发学生的求知欲 某人射击一次,可能出现命中 0 环,命中 1 环,?,命中 10 环等结果,即可能出现的 结果可能由 0,1,??10 这 11 个数表示; 某次产品检验, 在可能含有次品的 100 件产品中任意抽取 4 件, 那么其中含有的次品可 能是 0 件,1 件,2 件,3 件,4 件,即可能出现的结果可以由 0,1,2,3,4 这 5 个数表示
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

在这些随机试验中,可能出现的结果都可以用一个数来表示.这个数在随机试验前是否 是预先确定的?在不同的随机试验中,结果是否不变? 观察,概括出它们的共同特点 二、讲解新课: 思考 1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字 1 , 2 ,3,4,5,6 来表示.那么掷一枚 硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有 数量性质,但我们可以用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上(图 2.1 一 1 ) .
王新敞
奎屯 新疆

在掷骰子和掷硬币的随机试验中, 我们确定了一个对应关系, 使得每一个试验结果都用
19

一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化. 定义 1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ).随机变量常 用字母 X , Y, ? ,? ,? 表示. 思考 2:随机变量和函数有类似的地方吗? 随机变量和函数都是一种映射, 随机变量把随机试验的结果映为实数, 函数把实数映为 实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当 于函数的值域.我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域. 例如,在含有 10 件次品的 100 件产品中,任意抽取 4 件,可能含有的次品件数 X 将 随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件. 例如{X=0} 表示 “抽出 0 件次品” , {X =4} 表示 “抽 出 4 件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如 何用 X 表示呢? 定义 2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机 变量,它的所有可能取值为 0,1,?,10;某网页在 24 小时内被浏览的次数 Y 也是一个离 散型随机变量,它的所有可能取值为 0, 1,2,?. 思考 3:电灯的寿命 X 是离散型随机变量吗? 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所 以 X 不是离散型随机变量. 在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量.例如,如果我们仅关 心电灯泡的使用寿命是否超过 1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量:

?0,寿命<1000小时; Y= ? ?1,寿命 ? 1000小时.
与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量 Y 的构造更简单,它只取两个不同的值 0 和 1,是一 个离散型随机变量,研究起来更加容易. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量 就叫做连续型随机变量
王新敞
奎屯 新疆

如某林场树木最高达 30 米,则林场树木的高度 ? 是一个随机变量,它可以取(0,30] 内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都是用变量表 示随机试 验的结果;但 是离散型 随机变量的结 果可以按 一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意: (1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数量来表达 如投掷一枚
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

硬币, ? =0,表示正面向上, ? =1,表示反面向上

王新敞
奎屯

新疆

(2)若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量

王新敞
奎屯

新疆

三、讲解范例: 例 1. 写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5 现从该袋内随机取出 3
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

20

只球,被取出的球的最大号码数ξ ; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解:(1) ξ 可取 3,4,5 ξ =3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3; ξ =4,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4; ξ =5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3 或 3,4,5 (2)η 可取 0,1,?,n,? η =i,表示被呼叫 i 次,其中 i=0,1,2,? 例 2. 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差 为ξ ,试问: “ξ > 4”表示的试验结果是什么? 答:因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一,由已知得-5≤ξ ≤5, 也就是说“ξ >4”就是“ξ =5” 所以, “ξ >4”表示第一枚为 6 点,第二枚为 1 点 例 3 某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km,则按 10 元的标准收租 车费 若行驶路程超出 4km, 则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 1km 的部分按 lkm 计). 从 这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客, 由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ 是一个随机变量,他收旅客的租车费 可也是一个随机变量 (1)求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式; (Ⅱ)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因故 停车累计最多几分钟? 解:(1)依题意得η =2(ξ -4)+10,即η =2ξ +2 (Ⅱ)由 38=2ξ +2,得ξ =18,5×(18-15)=15. 所以,出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟. 四、小结 :随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ 是关于试验结 果的函数,即每一个试验结果对应着一个实数;随机变量ξ 的线性组合η =aξ +b(其中 a、b 是常数)也是随机变量 五、课后作业:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

六、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

七、教学反思: 1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题,实现学生实质意 义的参与. 2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.

21

2. 1.2 离散型随机变量的分布列
教学目标: 知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点:离散型随机变量的分布列的概念 教学难点:求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变 量 随机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变 量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都是用变量表 示随机试 验的结果;但 是离散型 随机变量的结 果可以按 一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? a? ? b, a, b 是常数, 若 ? 是随机变量, 则? 也是随机变量 并且不改变其属性 (离
王新敞
奎屯 新疆

散型、连续型) 请同学们阅读课本 P5-6 的内容,说明什么是随机变量的分布列? 二、讲解新课: 1. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?,
王新敞
奎屯 新疆

ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ξ

P

x1 P1

x2 P2

? ?
王新敞
奎屯 新疆

xi Pi

? ?

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列 2. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P ( A) ? 1 ,并且不可能事 件的概率为 0,必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面 两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的 和 即 P(? ? xk ) ? P(? ? xk ) ? P(? ? xk ?1 ) ? ? ? ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

3.两点分布列:

22

?1,针尖向上; 例 1.在掷一枚图钉的随机试验中,令 X= ? ?0,针尖向下.

如果针尖向上的概率为 p ,试写出随机变量 X 的分布列. 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是( 1 ? p ) .于是,随机变量 X 的分布列是 ξ P 0 1

1? p

p

像上面这样的分布列称为两点分布列. 两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新 生婴儿的性别;投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究.如果随机变量 X 的分布列 为两点分布列,就称 X 服从两点分布 ( two 一 point distribution),而称 p =P (X = 1)为成功 概率. 两点分布又称 0 一 1 分布. 由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利 ( Bernoulli ) 试 验,所以还称这种分布为伯努利分布.

P?? ? 0? ? q , P?? ? 1? ? p , 0 ? p ? 1, p ? q ? 1 .

4. 超几何分布列: 例 2.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,试求: (1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率.
3 解: (1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 C10 ,从 100 件产品中任取 3 件, k 3? k 其中恰有 k 件次品的结果数为 C5 C95 ,那么从 100 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件
3? k C5k C95 , k ? 0,1, 2,3 。所以随机变量 X 的分布列是 3 C100

次品的概率为 P( X ? k ) ? X P 0

1
3 95

2
2 95

3
1 95 0 C C95 3 C100 3 5

CC 3 C100

0 5

CC 3 C100

1 5

CC 3 C100

2 5

(2)根据随机变量 X 的分布列,可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事 件 {X=k}发生的概率为 P( X ? k ) ?
k n?k CM CN ?M , k ? 0,1, 2,?, m ,其中 m ? min{M , n} ,且 n CN

n ? N , M ? N , n, M , N ? N ? .称分布列
X P
0 M

0

1

? ?

C C C

n N ?M n N

C C C

1 M

n ?1 N ?M n N

m n ?m C CN ?M n CN
m M

为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几 何分布.
23

例 3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出 5 个球,至少摸到 3 个红球就中奖.求中 奖的概率. 解:设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几何分布,其中 N = 30 , M=10, n=5 .于是中 奖的概率 P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 )十 P ( X = 5 )
3 5 ?3 4 5? 4 5 5?5 C10 C30 C10 C30 C10 C30 ?10 ?10 ?10 = ≈0.191. ? ? 5 5 5 C30 C30 C30

思考:如果要将这个游戏的中奖率控制在 55%左右,那么应该如何设计中奖规则?
k k n P?? ? k ? ? Cm CN ?k / C N

例 4.已知一批产品共 件,其中 件是次品,从中任取 件,试求这 件产品中 所含次品件数 的分布律。 解 显然,取得的次品数 只能是不大于 与 最小者的非负整数,即 的可 能取值为: 0, 1, …,min{M , n} , 由古典概型知 P( X ? k ) ?
k n?k CM CN ?M , k ? 0,1, 2,?, m n CN

此时称 服从参数为 ( N , M , n) 的超几何分布。 注 超几何分布的上述模型中,“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取 件”.如果是有放回地抽取,就变成了 重贝努利试验,这时概率分布就是二项分布 . 所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样,还是有放回地抽样.若产品总数 时,那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此,当 限分布就是二项分布,即有如下定理. 定理 如果当 时, 很大 时,超几何分布的极 不变) ,则

M ? p ,那么当 N


时(

k n ? k CM CN k ? M ? CN p k( 1? p )?n n CN

k

由于普阿松分布又是二项分布的极限分布,于是有: 超几何分布 二项分布 普阿松分布. 例 5.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的 两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出 黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ 的分布列. 分析:欲写出 ξ 的分布列,要先求出 ξ 的所有取值,以及 ξ 取每一值时的概率. 解:设黄球的个数为 n,由题意知 绿球个数为 2n,红球个数为 4n,盒中的总数为 7n.


P(? ? 1) ?

4n 4 n 1 2n 2 ? , P (? ? 0) ? ? , P(? ? ?1) ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7
ξ P 1 0 -1

所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为

4 7

1 7

2 7

说 明 : 在 写 出 ξ 的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为 1. 例 6.某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下: ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06
24

7 0.09

8 0.28

9 0.29

10 0.22

P

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ = 7 ” 、 “ξ = 8 ” 、 “ξ = 9 ” 、 “ξ = 10 ”的和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率. 解:根据射手射击所得的环数 ξ 的分布列,有 P(ξ =7)=0.09,P(ξ =8)=0.28,P(ξ =9)=0.29,P(ξ =10)=0.22. 所求的概率为 P(ξ ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88 四、课堂练习:某一射手射击所得环数 ? 分布列为

?

4

5

6

7 0.09
王新敞
奎屯 新疆

8 0.28

9 0.29

10 0.22

P 0.02 0.04 0.06 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率 根据互斥事件的概率加法公式,有:

解: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ ? =7” , “ ? =8” , “ ? =9” , “ ? =10”的和, P( ? ≥7)=P( ? =7)+P( ? =8)+P( ? =9)+P( ? =10)=0.88 注:求离散型随机变量 ? 的概率分布的步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值 xi (2)求出各取值的概率 p( ? =xi)=pi (3)画出表格 五、小结 :⑴根据随机变量的概率分步(分步列),可以求随机事件的概率;⑵两 点分布是一种常见的 离 散型随机变量的分布 , 它是概率论中最重要 的 几种分布之一 (3) 离散型随机变量的超几何分布 六、课后作业:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

七、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

八、课后记: 预习提纲: ⑴什么叫做离散型随机变量 ξ 的数学期望?它反映了离散型随机变量的什么特征? ⑵离散型随机变量 ξ 的数学期望有什么性质?

2. 2.1 条件概率
教学目标: 知识与技能:通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。 过程与方法:掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。 教学重点:条件概率定义的理解 教学难点:概率计算公式的应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

25

教学设想:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程: 一、复习引入: 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中 奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示,没有抽到用“ Y ” ,表示,那么三名同学的抽奖结果 共有三种可能:Y Y Y ,Y Y Y 和 Y Y Y.用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含一个基本事件 Y Y Y.由古典概型计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券 的概率为 P( B) ?

1 . 3

思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到奖券的概率 又是多少? 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有 Y Y Y 和

Y Y Y .而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是 Y Y Y.由古典概型计算公式
可知.最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖券,等价于知道事件 A 一定会发生, 导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中,从而影响事件 B 发生的概率,使得 P ( B|A ) ≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件 A 和事件 B,P ( B|A)与它们的概率有什么关系呢? 用 ? 表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由三个基本事件组成,即 ? ={Y Y Y ,

1 ,不妨记为 P(B|A ) ,其中 A 表示事件“第 2

Y Y Y , Y Y Y} .既然已知事件 A 必然发生,那么只需在 A={ Y Y Y , Y Y Y}的范围内考虑 问题,即只有两个基本事件 Y Y Y 和 Y Y Y.在事件 A 发生的情况下事件 B 发生,等价于 事件 A 和事件 B 同时发生,即 AB 发生.而事件 AB 中仅含一个基本事件 Y Y Y,因此
P( B | A) =
1 n( AB ) = . 2 n( A)

其中 n ( A)和 n ( AB)分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数.另一方面, 根据古典概型的计算公式, P( AB) ?

n( AB) n( A) , P( A) ? n ( ?) n ( ?)

其中 n( ? )表示 ? 中包含的基本事件个数.所以,

n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n (? ) ? ? P( B | A) = . n( A) n (?) P (?) n (? )

26

因此,可以通过事件 A 和事件 AB 的概率来表示 P(B| A ) . 条件概率 1.定义 设 A 和 B 为两个事件,P(A)>0,那么,在“A 已发生”的条件下,B 发生的条件概率 (conditional probability ). P( B | A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

P( B | A) 定义为 P( B | A) ?

P( AB) . P( A)
并称上式微概率的乘法公式.

由这个定义可知,对任意两个事件 A、B,若 P( B) ? 0 ,则有

P( AB) ? P( B | A) ? P( A) .
2.P(·|B)的性质:

(1)非负性:对任意的 A ? f. 0 ? P( B | A) ? 1 ; (2)规范性:P( ? |B)=1; (3)可列可加性:如果是两个互斥事件,则 P( B ? C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) . 更一般地,对任意的一列两两部相容的事件 Ai (I=1,2?) ,有 P ?

??

? i ?1

?A

i

? ? | B ? = ? P( Ai | B) . ? i ?1

例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (l)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率. 解:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,则第 1 次和第 2 次都 抽到理科题为事件 AB.
3 (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n( ? )= A5 =20.

1 1 根据分步乘法计数原理,n (A)= A3 =12 .于是 P( A) ? ? A4

n( A) 12 3 ? ? . n(?) 20 5

2 (2)因为 n (AB)= A3 =6 ,所以 P( AB) ?

n( AB) 6 3 ? ? . n(?) 20 10

(3)解法 1 由( 1 ) ( 2 )可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科

3 P( AB) 10 1 题的概 P( B | A) ? ? ? . 3 2 P( A) 5
解法 2 因为 n (AB)=6 , n (A)=12 ,所以 P( B | A) ?

P( AB) 6 1 ? ? . P( A) 12 2

例 2.一张储蓄卡的密码共位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动 提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;
27

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率. 解:设第 i 次按对密码为事件 Ai (i=1,2) ,则 A ? A 1 ?(A 1A 2 ) 表示不超过 2 次就按对 密码. (1)因为事件 A 1 与事件 A 1 A2 互斥,由概率的加法公式得

P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ?

1 9 ?1 1 ? ? . 10 10 ? 9 5

(2)用 B 表示最后一位按偶数的事件,则

P( A | B) ? P( A1 | B) ? P( A1 A2 | B)
? 1 4 ?1 2 ? ? . 5 5? 4 5

巩固练习: 课本 55 页练习 1、2 课外作业:第 60 页 习题 2. 2 1 ,2 ,3 教学反思: 1. 通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义。 2. 掌握一些简单的条件概率的计算。 3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。

2.2.2 事件的相互独立性
教学目标: 知识与技能:理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法:能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。 教学重点:独立事件同时发生的概率 教学难点:有关独立事件发生的概率计算 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近 n

某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) .
28

3.概率的确定方法: 通过进行大量的重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4 .概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为

0 ? P (A ) ? 1 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称为一个基本事件 6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都
王新敞
奎屯 新疆

相等,那么每个基本事件的概率都是

1 ,这种事件叫等可能性事件 n
m n
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可 能的,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ? 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的
王新敞
奎屯 新疆

10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一般地: 如果事件 A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的, 那么就说事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥
王新敞
奎屯 新疆

11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A) 12.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥,那么

P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

王新敞
奎屯

新疆

探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币,都是正面朝上的概率是多少? 事件 A :甲掷一枚硬币,正面朝上;事件 B :乙掷一枚硬币,正面朝上 (2)甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球,乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球,从这两个坛子里 分别摸出 1 个球,它们都是白球的概率是多少? 事件 A :从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球;事件 B :从乙坛子里摸出 1 个球,得到白球 问题(1)、(2)中事件 A 、 B 是否互斥?(不互斥)可以同时发生吗?(可以) 问题(1)、(2)中事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率有无影响?(无 影响) 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件 A 为 “第一名同 学没有抽到中奖奖券”, 事件 B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件 A 的发生会影响事 件 B 发生的概率吗? 显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此第 一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率.于是 P(B| A)=P(B), P(AB)=P( A ) P ( B |A)=P(A)P(B). 二、讲解新课:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

1.相互独立事件的定义: 设 A, B 为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A 与事件 B 相互独立 (mutually independent ) . 事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做 相互独立事件
王新敞
奎屯 新疆

若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立

王新敞
奎屯

新疆

2.相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 问题 2 中, “从这两个坛子里分别摸出 1 个球,它们都是白球”是一个事件,它的发生,

29

就是事件 A , B 同时发生,记作 A ? B . (简称积事件) 从甲坛子里摸出 1 个球,有 5 种等可能的结果;从乙坛子里摸出 1 个球,有 4 种等可能 的结果 于是从这两个坛子里分别摸出 1 个球, 共有 5 ? 4 种等可能的结果 同时摸出白球的结 果 有 3? 2 种 所 以 从 这 两 个 坛 子 里 分 别 摸 出 1 个 球 , 它 们 都 是 白 球 的 概 率
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

P( A ? B) ?

3? 2 3 ? . 5 ? 4 10

另一方面,从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球的概率 P( A) ? 个球,得到白球的概率 P( B) ?

3 ,从乙坛子里摸出 1 5

2 .显然 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 4
王新敞
奎屯 新疆

这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积 一般地, 如果事件 A1 , A2 ,?, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概 率的积,即

P( A1 ? A2 ??? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ??? P( An ) .
王新敞
奎屯 新疆

3.对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)

三、讲解范例: 例 1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有 一个兑奖号码, 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率 都是 0 . 05 ,求两次抽奖中以下事件的概率: (1)都抽到某一指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; (3)至少有一次抽到某一指定号码. 解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A, “第二次抽奖抽到某一指定号 码”为事件 B ,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件 AB.由于两次抽奖结果互 不影响,因此 A 与 B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )U( A B)表示.由于事 件 A B 与 A B 互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为 P (A B )十 P( A B)=P(A)P( B )+ P( A )P(B ) = 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095. ( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) U ( A B )U( A B)表 示.由于事件 AB , A B 和 A B 两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求 的概率为 P ( AB ) + P(A B )+ P( A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5. 例 2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概率 为 0.9 ,求: (1) 2 人都射中目标的概率; (2) 2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3) 2 人至少有 1 人射中目标的概率; (4) 2 人至多有 1 人射中目标的概率? 解:记“甲射击 1 次,击中目标”为事件 A , “乙射击 1 次,击中目标”为事件 B ,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B , A 与 B 为相互独立事件, (1) 2 人都射中的概率为: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 , ∴ 2 人都射中目标的概率是 0.72 . (2) “ 2 人各射击 1 次,恰有 1 人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中 (事件 A ? B 发生) ,另一种是甲未击中、乙击中(事件 A ? B 发生) 根据题意,事件 A ? B 与
王新敞
奎屯 新疆

30

根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式, 所求的概率为: A ? B 互斥,

P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P(B) ? 0.8 ? (1 ? 0.9) ? (1 ? 0.8) ? 0.9 ? 0.08 ? 0.18 ? 0.26 ∴ 2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26 .
(3) (法 1) :2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况, 其概率为 P ? P( A ? B) ? [ P( A ? B) ? P( A ? B)] ? 0.72 ? 0.26 ? 0.98 . (法 2) : “2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件, 2 个都未击中目标的概率是 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? (1 ? 0.8)(1 ? 0.9) ? 0.02 , ∴“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? 0.02 ? 0.98 . (4) (法 1) : “至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中” , 故所求概率为:

P ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P(B) ? P( A) ? P(B) ? 0.02 ? 0.08 ? 0.18 ? 0.28 .
(法 2) : “至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标” , 故所求概率为 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.72 ? 0.28 例 3.在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关, 只要其中有 1 个 开关能够闭合, 线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的 概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
王新敞
奎屯 新疆

JA JB JC

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

解: 分别记这段时间内开关 J A ,J B ,J C 能够闭合为事件 A ,B ,C .
王新敞
奎屯 新疆

由题意,这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事件的概 率乘法公式,这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是

P( A ? B ? C) ? P( A) ? P(B) ? P(C)

? ?1 ? P( A)??1 ? P(B)??1 ? P(C)? ? (1 ? 0.7)(1 ? 0.7)(1 ? 0.7) ? 0.027
∴这段时间内至少有 1 个开关能够闭合, ,从而使线路能正常工作的概率是

1 ? P( A ? B ? C) ? 1 ? 0.027 ? 0.973 .
答:在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973 . 变式题 1:如图添加第四个开关 J D 与其它三个开关串联,在某段时间内此开关能够闭 合的概率也是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率 ( ?1 ? P( A ? B ? C ) ? ? P( D) ? 0.973 ? 0.7 ? 0.6811 )
王新敞
奎屯 新疆

?

?

变式题 2:如图两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的 概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
王新敞
奎屯 新疆

方法一: P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C )

? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )
? 0.847
方法二:分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 J C 开
31

JA

JB

JC

且 J A 与 J B 至少有 1 个开的情况

王新敞
奎屯

新疆

1 ? P(C ) ?1 ? P( A ? B)? ? 1 ? 0.3 ? (1 ? 0.72 ) ? 0.847

例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2. (1)假定有 5 门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中,需至少布置几门高炮? 分析:因为敌机被击中的就是至少有 1 门高炮击中敌机,故敌机被击中的概率即为至少 有 1 门高炮击中敌机的概率
王新敞
奎屯 新疆

中敌机的事件为 A 1 ? A2 ? A 3?A 4?A 5 . ∴敌机未被击中的概率为

解:(1)设敌机被第 k 门高炮击中的事件为 AK (k=1,2,3,4,5),那么 5 门高炮都未击 ∵事件 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 相互独立,

P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? P( A5 ) 4 ? (1 ? 0.2)5 ? ( ) 5 5 4 5 ∴敌机未被击中的概率为 ( ) . 5 (2)至少需要布置 n 门高炮才能有 0.9 以上的概率被击中,仿(1)可得: 4 n 敌机被击中的概率为 1- ( ) 5 4 n 4 n 1 ∴令 1 ? ( ) ? 0.9 ,∴ ( ) ? 5 5 10
王新敞
奎屯 新疆

两边取常用对数,得 n ?

1 ? 10.3 1 ? 3lg 2

王新敞
奎屯

新疆

∵ n ? N ,∴ n ? 11

?

王新敞
奎屯

新疆

∴至少需要布置 11 门高炮才能有 0.9 以上的概率击中敌机
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

点评:上面例 1 和例 2 的解法,都是解应用题的逆向思考方法 采用这种方法在解决带 有词语“至多” 、 “至少”的问题时的运用,常常能使问题的解答变得简便 四、 小结 :两个事件相互独立,是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概 率没有影响 一般地,两个事件不可能即互斥又相互独立,因为互斥事件是不可能同时发生 的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的 相互独立事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的 五、课后作业:课本 58 页练习 1、2、3 第 60 页 习题 2. 2A 组 4. B 组 1
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

六、板书设计(略) 七、教学反思:

王新敞
奎屯

新疆

1. 理解两个事件相互独立的概念。 2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。

32

2.2.3 独立重复实验与二项分布
教学目标: 知识与技能:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题 教学难点:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近 n

某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ( A) . 3.概率的确定方法: 通过进行大量的重复试验, 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4 .概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为

0 ? P (A ) ? 1 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

5 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称为一个基本事件 6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都
王新敞
奎屯 新疆

相等,那么每个基本事件的概率都是

1 ,这种事件叫等可能性事件 n m n
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可 能的,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P ( A) ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的
王新敞
奎屯 新疆

10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一般地: 如果事件 A1 , A2 ,?, An 中的任何两个都是互斥的, 那么就说事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥
王新敞
奎屯 新疆

11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件. P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A) 12.互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥,那么
王新敞
奎屯 新疆

P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) 13.相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样
的两个事件叫做相互独立事件
王新敞
奎屯 新疆

若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立
33

王新敞
奎屯

新疆

14.相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 事件发生的概率的积, P( A1 ? A2 ??? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ??? P( An ) 二、讲解新课: 1 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 2.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个
王新敞
奎屯 新疆

一般地,如果事件 A1 , A2 ,?, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

k k 事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k .

它是 ? (1 ? P) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项
n

王新敞
奎屯

新疆

3.离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机试 验 中,某 事 件可 能 发生 也 可能 不 发 生,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量. 如果在一次试验中某事件发 生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

k k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式

中 的 各 项的 值, 所 以称 这样 的 随 机变 量 ξ 服从 二项 分 布 ( binomial distribution ) , k k n?k 记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数,并记 Cn p q =b(k;n,p). 三、讲解范例: 例 1.某射手每次射击击中目标的概率是 0 . 8.求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字.) 解:设 X 为击中目标的次数,则 X~B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为
8 P (X = 8 ) = C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? 0.30 . (2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为

P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
8 9 10 C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? C10 ? 0.89 ? (1 ? 0.8)10?9 ? C10 ? 0.810 ? (1 ? 0.8)10?10 ? 0.68 .

例 2. (2000 年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%.现从一批产品中任 意地连续取出 2 件,写出其中次品数 ξ 的概率分布. 解:依题意,随机变量 ξ ~B(2,5%).所以, 2 0 1 P(ξ =0)= C 2 (95%) =0.9025,P(ξ =1)= C 2 (5%)(95%)=0.095, 2 2 P( ? ? 2 )= C 2 (5%) =0.0025. 因此,次品数 ξ 的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025
34

例 3.重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ξ ,求 P(ξ >3). 解:依题意,随机变量 ξ ~B ? 5, ? .

? 1? ? 6?

1 ? 1 ? 5 25 5 ?1? ∴P(ξ =4)= C ? ? ? = ,P(ξ =5)= C5 . ? ? = ? 6 ? 6 7776 ? 6 ? 7776
4 5

4

5

∴P(ξ >3)=P(ξ =4)+P(ξ =5)=

13 3888

王新敞
奎屯

新疆

例 4.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率 解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验, 根据 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式,5 次预报中恰有 4 次准确的 4 4 5?4 概率 P ? 0.84 ? 0.41 5 (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次 预报都准确的概率的和,即
王新敞
奎屯 新疆

4 4 5?4 5 P?P ? C5 ? 0.85 ? (1? 0.8)5?5 5 (4) ? P 5 (5) ? P 5 (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74
王新敞
奎屯 新疆

答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74. 例 5.某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是

1 ,求 1 小时内 5 台机床 4

中至少 2 台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字) 解:记事件 A =“1 小时内,1 台机器需要人照管” ,1 小时内 5 台机器需要照管相当于 5 次独立重复试验
王新敞
奎屯 新疆

1 5 3 5 4 4 1 1 1 ? (1 ? ) 4 , 1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率 P 5 (1) ? C5 ? 4 4
1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P 5 (0) ? (1 ? ) ? ( ) , 所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为 答:1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为 0.37 . 点评: “至多” , “至少”问题往往考虑逆向思维法 例 6.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击几次? 解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次 记事件 A =“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, n ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? P n (0) ? 1 ? 0.75 .
王新敞
奎屯 新疆

P ? 1? ? P 5 (0) ? P 5 (1)? ? 0.37

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

1 3 n 1 n 由题意,令 1 ? 0.75 ? 0.75 ,∴ ( ) ? ,∴ n ? 4 ? 4.82 , 3 4 4 lg 4 ∴ n 至少取 5. lg
35

答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 5 次 例 7.十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大? 解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,??,直 到停 9 次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

1 1 3 1 3 1 6 5 1 5 1 4 9 1 9 P ? C9 ( ) ( ) ? C94 ( ) 4 ( )5 ? C9 ( ) ( ) ? ? ? C9 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 233 3 5 9 1 ? (C9 ? C94 ? C9 ? ? ? C9 )( )9 ? ? 29 ? (C90 ? C9 ? C92 ) ? ( )9 ? (29 ? 46)( )9 ? ? ? 2 2 2 256 1 1 1 k k 9?k k 9 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) , 2 2 2 1 k 9 k ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C9 最大,即 C9 ( ) 最大, 2 233 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 ,停 4 次或 5 次概率最大. 256
例 8.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
王新敞
奎屯 新疆

∴甲打完 3 局取胜的概率为 P ( A) ? C3 ( ) ?
3 3

1 2

1 . 8

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负
王新敞
奎屯 新疆

∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P( B) ? C3 ? ( ) ?
2 2

1 2

1 1 3 ? ? . 2 2 16

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局 恰好 2 胜 2 负
王新敞
奎屯 新疆

1 2 1 2 1 3 ? . 2 2 2 16 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 3 1 ? ? . 故 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? ? 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C ) ? C4 ? ( ) ? ( ) ?
2

例 9.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98% ?(2)若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概率. ( lg 2 ? 0.3010 ) 解:记事件 A =“种一粒种子,发芽” ,则 P( A) ? 0.8 , P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 ,
36

(1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽” ,则
0 0 n n P(B) ? P n (0) ? Cn 0.8 (1 ? 0.8) ? 0.2 .

∴ P(B) ? 1 ? P(B) ? 1 ? 0.2n . 由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2 ? 0.02 ,两边取常用对数得,
n

n lg 0.2 ? lg 0.02 .即 n(lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 ,
∴n ?

lg 2 ? 2 1.6990 ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 . lg 2 ? 1 0.6990

答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验,
2 ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ?? 0.384 ,

答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

四、小结 :1.独立重复试验要从三方面考虑 第一:每次试验是在同样条件下进行 第二:
王新敞
奎屯 新疆

各次试验中的事件是相互独立的 第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么
王新敞
奎屯 新疆

不发生

王新敞
奎屯

新疆

2. 如果 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次
k k 的概率为 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k 对于此式可以这么理解:由于 1 次试验中事件 A 要么发
王新敞
奎屯 新疆

生,要么不发生,所以在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 k 次,则在另外的 n ? k 次中 A 没 有发生,即 A 发生,由 P( A) ? P , P( A) ? 1 ? P 所以上面的公式恰为 [(1 ? P) ? P]n 展开
王新敞
奎屯 新疆

式中的第 k ? 1 项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 五、课后作业:课本 58 页 练习 1、2、3、4 第 60 页 习题 2. 2 B 组 2、3
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

六、板书设计(略) 七、课后记: 教学反思:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

1. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。 2. 能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 3. 承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

37

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值
教学目标: 知识与技能: 了解离散型随机变量的均值或期望的意义, 会根据离散型随机变量的分布列求 出均值或期望. 过程与方法:理解公式“E(aξ +b)=aEξ +b” ,以及“若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np”.能熟 练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点:离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变 量 随机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变 量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都是用变量表 示随机试 验的结果;但 是离散型 随机变量的结 果可以按 一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? a? ? b, a, b 是常数, 若 ? 是随机变量, 则? 也是随机变量 并且不改变其属性 (离 散型、连续型) 5. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?, ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ξ x1 x2 ? xi ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

P

P1

P2
王新敞
奎屯 新疆

?

Pi

?

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列 6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1. 7.离散型随机变量的二项分布 : 在 一 次 随 机 试 验 中 , 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 , 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中 某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

0 0 n Cn pq

1 1 n ?1 Cn pq

?

38

称 这 样 的随 机 变量 ξ 服 从 二 项分 布 ,记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数,并记
k k n?k Cn p q =b(k;n,p).

8. 离散型随机变量的几何分布:在独立重复试验中,某 事 件 第 一 次 发生时,所作试 验的次数 ξ 也 是一个正整数的离散型随机变量.“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试 验时事件第一次发生.如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 Ak 、事件 A 不发生记为 Ak , P( Ak )=p,P( Ak )=q(q=1-p),那么

P(? ? k ) ? P( A1 A2 A3 ? Ak ?1 Ak ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )?P( Ak ?1 )P( Ak ) ? q k ?1 p ( k =
0,1,2,?, q ? 1 ? p ) .于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 1 2 3 ? ?

k

? ?

P

p

pq
王新敞
奎屯 新疆

q2 p

q k ?1 p

称 这 样 的随 机 变 量 ξ 服从 几 何 分布

记 作 g ( k , p )= q k ?1 p ,其中 k=0,1,2,?, q ? 1 ? p . 二、讲解新课: 根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分 布列的用途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在 n 次射击之前,可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数.这就是我们今天要 学习的离散型随机变量的均值或期望
王新敞
奎屯 新疆

根据射手射击所得环数 ξ 的分布列,我们可以估计,在 n 次射击中,预计大约有

P(? ? 4) ? n ? 0.02n P(? ? 5) ? n ? 0.04n
????

次得 4 环; 次得 5 环; 次得 10 环.

P(? ? 10) ? n ? 0.22n

故在 n 次射击的总环数大约为 4 ? 0.02 ? n ? 5 ? 0.04 ? n ? ? ? 10 ? 0.22 ? n

? (4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22) ? n , 从而,预计 n 次射击的平均环数约为 4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22 ? 8.32 .
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的, 只与射击环数的可能取值及其相应的概 率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平. 对于任一射手, 若已知其射击所得环数 ξ 的分布列, 即已知各个 P(? ? i ) (i=0, 1, 2, ?, 10) ,我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数:

0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? ? ? 10 ? P(? ? 10) .
1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2
39

? ?

xn pn

? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ? 为 ξ 的均值或数学期望,简称期望. 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平 均水平
王新敞
奎屯 新疆

3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ?

? pn ,则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ?
王新敞
奎屯 新疆

1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又 n n

称为平均数、均值 4. 均值或期望的一个性质:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机 变量,它们的分布列为 ξ x1 x2 ? xn ? η ? ? ax2 ? b ax1 ? b axn ? b P p1 p2 ? pn ? 于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? ? (axn ? b) pn ? ? = a( x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?) ? b( p1 ? p 2 ? ? ? pn ? ?) 5.若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np
k k k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ? Cn pq , 0 0 n 1 1 n ?1 2 2 n?2 k k n?k ∴ E? ? 0 × Cn p q + 1 × Cn p q + 2 × Cn p q +?+ k × Cn p q +?+ n × n n 0 Cn p q .

= aE? ? b ,由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 证明如下:∵

又∵ ∴

k kCn ?k?

n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn ?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!

1 1 n?2 0 0 n? 1 k ?1 k ?1 ( n?1)?( k ?1) E? ? np( Cn + ? + Cn + ? + q ?1 p ?1 p q + C n ?1 p q n?1 n ?1 n ?1 0 Cn?1 p q ) ? np( p ? q) ? np . 故 若 ξ ~B(n,p),则 E? ? np.

三、讲解范例: 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7,求他罚球一次得分 ? 的期望
王新敞
奎屯 新疆

解:因为 P(? ? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3 ,所以 E? ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7

王新敞
奎屯

新疆

例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成, 每个选择题有 4 个选项, 其中有且仅有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分 学生甲
王新敞
奎屯 新疆

选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个,求学 生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 (20,0.9),? ~ B(20,0.25) ,
王新敞
奎屯 新疆

解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ? ,? ,则 ? ~ B

? E? ? 20 ? 0.9 ? 18, E? ? 20 ? 0.25 ? 5 由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 ? 和 5? 所以,
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

他们在测验中的成绩的期望分别是:

E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 18 ? 90, E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 5 ? 25

王新敞
奎屯

新疆

例 3. 根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0. 01. 该地 区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失 10000 元.为保护设备,有以下 3 种方案:
40

方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元. 方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元.但围墙只能防小洪水. 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好. 解:用 X1 、X2 和 X3 分别表示三种方案的损失. 采用第 1 种方案,无论有无洪水,都损失 3 800 元,即 X1 = 3 800 . 采用第 2 种方案,遇到大洪水时,损失 2 000 + 60 000=62 000 元;没有大洪水时,损
?62000,有大洪水; 失 2 000 元,即 X 2 = ? ?2000,无大洪水.

?60000,有大洪水; ? 同样,采用第 3 种方案,有 X 3 = ?10000,有小洪水; ?0,无洪水. ?
于是, EX1=3 800 , EX2=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . 采取方案 2 的平均损失最小,所以可以选择方案 2 . 值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来 理解“平均损失” :假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最 小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方 案 2 也不一定是最好的. 例 4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数 ? 的期望 解:∵ P(? ? i) ? 1 / 6, i ? 1,2,? ? ?,6 ,
王新敞
奎屯 新疆

? E? ? 1? 1 / 6 ? 2 ? 1 / 6 ? ? ? ? ? 6 ? 1 / 6 =3.5

王新敞
奎屯

新疆

例 5.有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽取 1 件, 如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过 10 次
王新敞
奎屯 新疆

求抽查次数 ? 的期望(结果保留三个有效数字)

王新敞
奎屯

新疆

解:抽查次数 ? 取 1 ? ? ? 10 的整数,从这批数量很大的产品中抽出 1 件检查的试验可 以认为是彼此独立的,取出次品的概率是 0.15,取出正品的概率是 0.85,前 k ? 1 次取出正 品而第 k 次( k =1,2,…,10)取出次品的概率:

P(? ? k ) ? 0.85k ?1 ? 0.15 ( k =1,2,…,10) 需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率: P(? ? 10) ? 0.859 由此可得 ? 的概率
王新敞
奎屯 新疆

分布如下:

?
P

1 0.15

2 0.1275

3 0.1084

4 0.092

5 0.0783

6 0.0666

7 0.0566

8 0.0481

9 0.0409

10 0.2316

根据以上的概率分布,可得 ? 的期望

E? ? 1? 0.15 ? 2 ? 0.1275? ? ? ? ? 10 ? 0.2316? 5.35

王新敞
奎屯

新疆

例 6.随机的抛掷一个骰子,求所得骰子的点数 ξ 的数学期望. 解:抛掷骰子所得点数 ξ 的概率分布为

41

ξ P

1

2

3

4

5

6

1 1 6 6 1 1 1 1 1 1 E? ? 1× +2× +3× +4× +5× +6× 所以 6 6 6 6 6 6 1 =(1+2+3+4+5+6)× =3.5. 6
抛掷骰子所得点数 ξ 的数学期望,就是 ξ 的所有可能取值的平均值. 例 7.某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km 时租车费为 10 元, 若行驶路程超出 4km ,则按每超出 lkm 加收 2 元计费 ( 超出不足 lkm 的部分按 lkm 计 ) .从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km .某司机经常驾车在机场与此宾 馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程 ( 这个城 市规定,每停车 5 分钟按 lkm 路程计费 ) ,这个司机一次接送旅客的行车路程 ξ 是一 个随机变量.设他所收租车费为 η ( Ⅰ ) 求租车费 η 关于行车路程 ξ 的关系式; ( Ⅱ ) 若随机变量 ξ 的分布列为
王新敞
奎屯 新疆

1 6

1 6

1 6

1 6

ξ P 求所收租车费 η 的数学期望.

15 0.1

16 0.5

17 0.3

18 0.1

( Ⅲ ) 已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km ,问出租车在途 中因故停车累计最多几分钟 ? 解: ( Ⅰ ) 依题意得 ∵ η =2 ξ +2 η =2( ξ -4) 十 10 ,即 ∴ η =2 ξ +2 ; (元) ( Ⅱ ) E? ? 15 ? 0.1 ? 16 ? 0.5 ? 17 ? 0.3 ? 18 ? 0.1 ? 16.4

E? ? 2 E ξ +2=34.8

故所收租车费 η 的数学期望为 34.8 元. ( Ⅲ ) 由 38=2 ξ +2 ,得 ξ =18 , 5 ? (18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

四、小结 :(1) 离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平; (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤:①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ (aξ +b)= aEξ +b,以及服从二项分布的随机变量的期望 Eξ =np 五、课后作业:P64-65 练习 1,2,3,4 P69 A 组 1,2,3 六、板书设计(略) 七、教学反思: (1) 离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平; (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤: ①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ 分布的随机变量的期望 Eξ =np 。
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

公式 E

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

公式 E(aξ +b)= aEξ +b,以及服从二项

42

2.3.2 离散型随机变量的方差
教学目标: 知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列 求出方差或标准差。 2 过程与方法: 了解方差公式 “D(aξ +b)=a Dξ ” , 以及 “若 ξ ~Β (n, p),则 Dξ =np(1—p)” , 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点:离散型随机变量的方差、标准差 教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 2 教学设想:了解方差公式“D(aξ +b)=a Dξ ” ,以及“若 ξ ~Β (n,p),则 Dξ =np(1—p)” , 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平, 表示了随机变量在随机实验中取值的平均值, 所以又常称为随机变量的平均数、 均值. 今天, 我们将对随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度进行研究. 其实在初中我们也对一 组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据 x1 , x2 ,?, xn 中,各数据与它们的平 均值 x 得差的平方分别是 ( x1 ? x ) 2 ,( x2 ? x ) 2 ,?,( xn ? x ) 2 ,那么 S ?
2

1 [ ( x1 ? x ) 2 n

+ ( x2 ? x ) 2 +?+ ( xn ? x ) 2 ] 叫做这组数据的方差 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变 量 随机变量常用希腊字母ξ 、η 等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变 量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都是用变量表 示随机试 验的结果;但 是离散型 随机变量的结 果可以按 一定次序 一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

x2 ? xi ? P P2 ? Pi ? 6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1.
ξ
43

x1 P1

k k n?k 7.二项分布: ξ ~ B ( n , p ) ,并记 Cn p q =b(k;n,p).

ξ

0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

8.几何分布: g ( k , p )= q k ?1 p ,其中 k=0,1,2,?, q ? 1 ? p . ξ 1 2 3 ? ?

k

? ?

P

p

pq

q2 p
x2 p2 ? ?

q k ?1 p
xn pn

9.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 ? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?

为 ξ 的数学期望,简称期望.

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ? ? pn , 则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ? 均数、均值
王新敞
奎屯 新疆

1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又称为平 n n

12. 期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 13.若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np 二、讲解新课: 1. 方差: 对于离散型随机变量 ξ ,如果它所有可能取的值是 x1 , x2 ,?, xn ,?, 且取这些值的概率分别是 p1 , p 2 ,?, p n ,?,那么 ,
王新敞
奎屯 新疆

D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +? 称为随机变量 ξ 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ξ 的期望. 2. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? . 2 2 2 3.方差的性质: (1) D(a? ? b) ? a D? ; (2) D? ? E? ? ( E? ) ; (3)若 ξ ~B(n,p),则 D? ? np(1-p)
王新敞
奎屯 新疆

4.其它: ⑴随机变量 ξ 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 ξ 的方差、 标准差也是随机变量 ξ 的特征数, 它们都反映了随机变量取值 的稳定与波动、集中与离散的程度; ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例: 例 1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解:抛掷散子所得点数 X 的分布列为 ξ P 1 2 3 4 5 6
王新敞
奎屯 新疆

1 6

1 6

1 6
44

1 6

1 6

1 6

从而 EX ? 1?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 ; 6 6 6 6 6 6

1 1 1 1 DX ? (1 ? 3.5) 2 ? ? (2 ? 3.5) 2 ? ? (3 ? 3.5) 2 ? ? (4 ? 3.5) 2 ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6

? X ? DX ? 1.71 .
例 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ; EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1<DX2, 所以两家单位的工资均值相等, 但甲单位不同职位的工资相 对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些, 就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 例 3.设随机变量ξ 的分布列为 ξ P 求 Dξ
王新敞
奎屯 新疆

1

2

? ?

n

1 n

1 n

1 n

解: (略) E? ?

n ?1 n 2 -1 , D? ? 2 12

王新敞
奎屯

新疆

例 4.已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

?1
P

1

2

3

4

5

6

7

1 7

1 7

1 7
45

1 7

1 7

1 7

1 7

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2
P

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

1 7

1 7

1 7
王新敞
奎屯 新疆

1 7

1 7

1 7

1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解: E?1 ? 1 ?

1 1 1 ? 2? ? ??? ? 7? ? 4 ; 7 7 7 1 1 1 D?1 ? (1 ? 4) 2 ? ? (2 ? 4) 2 ? ? ? ? ? ? (7 ? 4) 2 ? ? 4 ; ??1 ? D?1 ? 2 7 7 7 1 1 1 E? 2 ? 3.7 ? ? 3.8 ? ? ? ? ? ? 4.3 ? ? 4 ; 7 7 7

王新敞
奎屯

新疆

D? 2 =0.04, ?? 2 ? D? 2 ? 0.2 .
取值较为集中. E?1 ? E? 2 ? 4 , D?1 ? 4 , D? 2 ? 0.04 ,方差比较清楚地指出了 ? 2 比 ? 1 取值更集中. 点评:本题中的 ? 1 和 ? 2 都以相等的概率取各个不同的值,但 ? 1 的取值较为分散, ? 2 的

?? 1 =2, ?? 2 =0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

王新敞
奎屯

新疆

例 5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中
王新敞
奎屯 新疆

环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

王新敞
奎屯

新疆

解: E?1 ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9
王新敞
奎屯 新疆

D?1 ? (8 ? 9)2 ? 0.2 ? (9 ? 9)2 ? 0.6 +(10-9) 2 ?0.2 ? 0.4 ; 同理有 E? 2 ? 9, D? 2 ? 0.8 由上可知, E?1 ? E? 2 , D?1 ? D?2 所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所
王新敞
奎屯 新疆

得的平均环数很接近,均在 9 环左右,但甲所得环数较集中,以 9 环居多,而乙得环数较分 散,得 8、10 环地次数多些. 同. E?1 ? E? 2 =9,这时就通过 D?1 =0.4 和 D? 2 =0.8 来比较 ? 1 和 ? 2 的离散程度,即两名 射手成绩的稳定情况 表所示: A 机床 次品数ξ 概率 P
1
王新敞
奎屯 新疆

点 评 : 本 题 中 , ?1 和 ?2 所 有 可 能 取 的 值 是 一 致 的 , 只 是 概 率 的 分 布 情 况 不

例 6.A、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下 B 机床 2 0.06
王新敞
奎屯 新疆

0 0.7

1 0.2

3 0.04

次品数ξ 概率 P

1

0 0.8

1 0.06

2 0.04

3 0.10

问哪一台机床加工质量较好

解: Eξ 1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ 2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差
王新敞
奎屯 新疆

46

Dξ 1=(0-0.44) ×0.7+(1-0.44) ×0.2+(2-0.44) 2 ×0.06+(3-0.44) ×0.04=0.6064, 2 2 2 Dξ 2=(0-0.44) ×0.8+(1-0.44) ×0.06+(2-0.44) 2 ×0.04+(3-0.44) ×0.10=0.9264. ∴Dξ 1< Dξ 2 故 A 机床加工较稳定、质量较好. 四、小结 :⑴求离散型随机变量 ξ 的方差、标准差的步骤:①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值;②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定 义求出 Eξ ;④根据方差、标准差的定义求出 D? 、?? .若 ξ ~B(n,p),则不必写出分 布列,直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量 ? 1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E? 2 相等或很接近时,比较 D?1 和 D? 2 ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要 五、课后作业: P69 练习 1,2,3 P69 A 组 4 B 组 1,2 1.设 ? ~B(n、p)且 E ? =12 D ? =4,求 n、p 解:由二次分布的期望与方差性质可知 E ? =np D ? = np(1-p)
王新敞
奎屯 新疆

2

2

2

?np ? 12 ∴? ?np(1 ? p) ? 4

?n ? 18 ? ∴? 2 p? ? 3 ?
1 1 )求 b (2;6, ) 3 3

2.已知随机变量 ? 服从二项分布即 ? ~B(6、 解:p( ? =2)=c6 (
2

1 2 2 4 )( ) 3 3

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ? 和 ? ,已知 ? 和

? 的分布列如下: (注得分越大,水平越高)

?
p

1 a

2 0.1

3 0.6

?
p

1 0.3

2 b

3 0.3

试分析甲、乙技术状况 解:由 0.1+0.6+a+1 ? a=0.3 0.3+0.3+b=1 ? a=0.4 六、板书设计(略) 七、教学反思: ⑴求离散型随机变量 ξ 的方差、标准差的步骤: ①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ ; ④根据方差、标准差的定义求出 D? 、 ?? .若 ξ ~B(n,p),则不必写出分布列, 直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量 ? 1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E? 2 相等或很接近时,比较 D?1 和 D? 2 ,可 以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
王新敞
奎屯 新疆

∴E ? =2.3 ,
王新敞
奎屯 新疆

E ? =2.0

D ? =0.81 ,

D ? =0.6

王新敞
奎屯

新疆

47

第三章、统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
一、教学内容与教学对象分析 学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用 的统计方法, 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想, 认识统计方法在决策中的 作用。 二、学习目标 1、知识与技能 通过本节的学习,了解回归分析的基本思想,会对两个变量进行回归分析,明确建立回归模 型的基本步骤,并对具体问题进行回归分析,解决实际应用问题。 2、过程与方法 本节的学习, 应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性, 明确回归分析的基本思想, 从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足, 从中引导学生去发现 解决问题的新思路—进行回归分析,进而介绍残差分析的方法和利用 R 的平方来表示解释 变量对于预报变量变化的贡献率, 从中选择较为合理的回归方程, 最后是建立回归模型基本 步骤。 3、情感、态度与价值观 通过本节课的学习, 首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想, 明确回归分 析的基本方法和基本步骤,培养我们利用整体的观点和互相联系的观点,来分析问题,进一 步加强数学的应用意识,培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系,以 科学的态度评价两个变量的相关系。 教学中适当地增加学生合作与交流的机会, 多从实际生 活中找出例子,使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性,理解处理问题的方法与结 论的联系, 形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。 培养学生运用所学知识, 解决实际问题的能力。 三、教学重点、难点 教学重点:熟练掌握回归分析的步骤;各相关指数、建立回归模型的步骤;通过探究使学生 体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型, 了解在解决实际问题的过程中寻找 更好的模型的方法。 教学难点:求回归系数 a , b ;相关指数的计算、残差分析;了解常用函数的图象特点, 选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。 四、教学策略: 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段:多媒体辅助教学 五、教学过程: (一) 、复习引入:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 (二) 、新课: 探究:对于一组具有线性相关关系的数据: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ), 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:

48

? ? y? ?b x a
y ?y ? (x ? x ) (
i ?1 i i n

(1)

?? b

)
(2)

? (x ? x )
i ?1 i

n

2

其中 x ?

1 n 1 n ( x , y )成为样本点的中心. x , y ? yi , ? i n? n i ?1 i ?1

注:回归直线过样本中心. 你能推导出这两个计算公式吗?

? 和斜率 b ? 分别是使 从我们已经学过的知识知道,截距 a
Q(? ,? ) ?? y (i ? bxi ? a 2 )
i ?1 n

取到最小值时 ? , ? 的值. 由于

Q(? ,? ) ?? y [i ? ? xi ? y(? ? x ?) y ? ( ? x ?? )
i ?1
n

n

2

]

? ?{[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ? 2[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] ? [( y ? ? x) ? ? ] ? [( y ? ? x) ? ? ]2}
i ?1 n

? ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] ?2?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] ? ( y ? ? x ? ? ) ? n[( y ? ? x) ? ? ]2
2 i ?1 i ?1

n

注意到

?[ y ? ? x ? ( y ? ? x)]( y ? ? x ? ? )
i ?1 i i

n

? ( y ? ? x ? ? )?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]
i ?1

n

? ( y ? ? x ? ? )[? yi ? ? ? xi ? n( y ? ? x)]
i ?1 i ?1

n

n

? ( y ? ? x ? ? )[ny ? n? x ? n( y ? ? x)] ? 0.
Q(? , ? ) ? ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ?n( y ? ? x ? ? )2
i ?1 n

49

? ? 2 ? ( xi ? x)2 ? 2? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? ? ( yi ? y)2 ? n( y ? ? x ? ? )2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

? n( y ? ? x ? ? ) 2 ? ? ( xi ? x) 2 [ ? ?
i ?1

n

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

]2 ? ?

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

n

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? ? ( yi ? y ) 2
i ?1

n

在上式中,后两项和 ? , ? 无关,而前两项为非负数,因此要使 Q 取得最小值,当且仅 当前两项的值均为 0,即有

??

? x ? y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

,? ? y ? ? x .

2 i

? nx

2

这正是我们所要推导的公式. 下面我们从另一个角度来推导的公式. 人教 A 版选修 2-2P37 习题 1.4A 组第 4 题: 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得 n 个数据

a1 , a2 ,?, an .
证明:用这个数据的平均值 x ?

1 n ? ai n i ?1 1 n ( x ? ai ) 2 最小. ? n i ?1

表示这个物体的长度,能使这 n 个数据的方差 f ( x) ?

思考:这个结果说明了什么?通过这个问题,你能说明最小二乘法的基本原理吗? 证明:由于 f ( x) ?

1 n 2 n 2 ' ,所以 ( x ? a ) f ( x ) ? ? ? ( x ? ai ) , i n i ?1 n i ?1 1 n ? ai 。 n i ?1

令 f ( x) ? 0 , 得 x ?
'

可以得到, x ?

1 n ? ai 是函数 f ( x) 的极小值点,也是最小值点. n i ?1 1 n ? ai 表示这个物体的长度是合理的,这就是最 n i ?1

这个结果说明,用 n 个数据的平均值 小二乘法的基本原理. 由最小二乘法的基本原理即得

50

x1 ? x2 ? ? ? xn ,则 n 1 1 [( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ? ? ( x ? xn )2 ] ? [( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ? ? ( x ? xn )2 ] ? s 2 (*) n n x ? x2 ? ? ? xn 当且仅当 x ? x ? 1 时取等号. n x ? x2 ? ? ? xn (*)式说明, x ? 1 是任何一个实数 x 与 x1 , x2 ,?, xn 的差的平方的平均 n
定理 设 x ? R , x ? 数中最小的数.从而说明了方差具有最小性,也即定义标准差的合理性. 下面借助 (*) 式求 Q ? ( y1 ? bx1 ? a) 2 ? ( y2 ? bx2 ? a) 2 ? ? ? ( yn ? bxn ? a) 2 的最小 值.

( y1 ? bx1 ) ? ( y2 ? bx2 ) ? ? ? ( yn ? bxn ) n y ? y2 ? ? ? y n x ? x ? ? ? xn ? 1 ?b? 1 2 ? y ?b? x , n n
由(*)式知,

Q ? [a ? ( y1 ? bx1 )]2 ? [a ? ( y2 ? bx2 )]2 ? ?? [a ? ( yn ? bxn )]2

? [( y ? b ? x) ? ( y1 ? bx1 )]2 ? [( y ? b ? x) ? ( y2 ? bx2 )]2 ? ?? [( y ? b ? x) ? ( yn ? bxn )]2 ? [( x1 ? x)b ? ( y1 ? y)]2 ? [( x2 ? x)b ? ( y2 ? y)]2 ? ?? [( xn ? x)b ? ( yn ? y)]2
? ? ( xi ? x)2 b2 ? 2? ( xi ? x)( yi ? y)b ? ? ( yi ? y)2
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

? ? ( xi ? x) 2 [b ?
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( xi ? x)2
i ?1

n

]2 ? ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1

n

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i n i ?1

n

2

? ? ( xi ? x) 2 [b ?
i ?1

n

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i n

n

2

]2 ? ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1

n

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1 n n

n

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

? ( x ? x)
i ?1 i 2 n i i ?1 2

n

2

?

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 n i ?1

? [? ( xi ? x)( yi ? y )]2

? ( x ? x)
i n

当且仅当 a ? y ? b ? x ,且 b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

时, Q 达到最小值

51

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i n i ?1

n

n

2

? [? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

n

? ( xi ? x)2
? ( xi ? x )( y i ? y ) ? ? i ?1 ?b ? ? n 由此得到 , ? 2 ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ? a ? y ? bx .
n

.

?x
i ?1 n

n

i

? y i ? nx ? y ,
2 i

?x
i ?1

? nx

2

其中 b 是回归直线的斜率 , a

是截距.

借助 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 和配方法,我们给出了人教 A 版必修 3 的第二章统计 第三节变量间的相关关系中回归直线方程 y ? bx ? a 的一个合理的解释. 1、回归分析的基本步骤: (1) 画出两个变量的散点图. (2) 求回归直线方程.(3) 用回归直线方程进行预报. 下面我们通过案例,进一步学习回归分析的基本思想及其应用. 2、举例: 例 1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如表 编号 体重/kg 1 48 2 57 3 50 4 54 5 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 身高/cm 165 165 157 170 175

?

?

? ?

?

?

求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体 重. 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量 x ,体重为因变量 y . 作散点图(图 3 . 1 一 1)

从图 3. 1 一 1 中可以看出,样本点呈条状分布,身高和体重有比较好的线性相关关系, 因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系.

? ? 0.849, a ? ? ?85.712 . 根据探究中的公式(1)和(2 ) ,可以得到 b
于是得到回归方程

? . 12 y ? 0 8 4x 9? 8 5 . 7

因此,对于身高 172 cm 的女大学生,由回归方程可以预报其体重为

? y ? 0849 ?172 ? 85.712 ? 60.316 ( kg ) .
52

? ? 0.849 是斜率的估计值,说明身高 x 每增加 1 个单位时,体重 y 就增加 0.849 位, b
这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱? 在必修 3 中,我们介绍了用相关系数;来衡量两个变量之间线性相关关系的方法.本 相关系数的具体计算公式为

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

当 r>0 时,表明两个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近 1,表明两个变量的线性相关性越强;r 的绝对值接近于 0 时,表明两个变量之间几乎不存 在线性相关关系.通常,当 r 的绝对值大于 0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系. 在本例中,可以计算出 r =0. 798.这表明体重与身高有很强的线性相关关系,从而也表 明我们建立的回归模型是有意义的. 显然, 身高 172cm 的女大学生的体重不一定是 60. 316 kg, 但一般可以认为她的体重接 近于 60 . 316 kg .图 3 . 1 一 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点.

由于所有的样本点不共线, 而只是散布在某一条直线的附近, 所以身高和体重的关系可 用下面的线性回归模型来表示: y ? bx ? a ? e , ( 3 ) 这里 a 和 b 为模型的未知参数, e是 y 与? 通常 e 为随机变量, y ? bx ? a 之间的误差. 称为随机误差,它的均值 E (e)=0,方差 D(e)= D(e) ? ? >0 .这样线性回归模型的
2

? y ? bx ? a ? e, 完整表达式为: ? (4) 2 E ( e ) ? 0, D ( e ) ? ? . ? 在线性回归模型(4)中,随机误差 e 的方差护越小,通过回归直线
? y ? bx ? a
大小取决于随机误差的方差. (5)

预报真实值 y 的精度越高.随机误差是引起预报值 ? y 与真实值 y 之间的误差的原因之一,

? 和b ? 为截距和斜率的估计值,它们与真实值 a 另一方面,由于公式(1)和(2)中 a
和 b 之间也存在误差,这种误差是引起预报值 ? y 与真实值 y 之间误差的另一个原因. 思考:产生随机误差项 e 的原因是什么? 一个人的体重值除了受身高的影响外,还受许多其他因素的影响.例如饮食习惯、是否 喜欢运动、度量误差等.事实上,我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么,这里只

53

是利用线性回归方程来近似这种关系. 这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因. 因为随机误差是随机变量, 所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体 特征. 均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征, 方差是反映随机变量集中于均值程度 的数字特征,而随机误差的均值为 0,因此可以用方差 ? 来衡量随机误差的大小.
2

为了衡量预报的精度, 需要估计护的值. 一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方 差.如何得到随机变量 e 的样本呢?由于模型(3)或(4)中的 e 隐含在预报变量 y 中, 我们无法精确地把它从 y 中分离出来,因此也就无法得到随机变量 e 的样本. 解决问题的途径是通过样本的估计值来估计 ? . 根据截距和斜率的估计公式 (1) 和 (2 ) ,
2

可以建立回归方程 ? y ? bx ? a ,

? ? y ? y 是 e 的估计量.对于 因此 y 是(5)中 ? y 的估计量.由于随机误差 e ? y ? ? y ,所以 e 样本点( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn )
而言,相应于它们的随机误差为 ei ? yi ? yi ? yi ? bxi ? a, i ? 1,2,?, n , ? ? y ?? ? ?a ?, i ? 1, 2,?, n , 其估计值为 e yi ? yi ? bx i i i

? 称为相应于点 ( x , y ) 的残差(residual ).类比样本方差估计总体方差的思想,可以用 e i i i
?2 ? ?
2

1 n ?2 1 ?, b ? )(n ? 2) ei ? Q( a ? n ? 2 i ?1 n?2

? 和b ? 由公式(1) (2)给出,Q( a ? ,b ? )称为残差平方和(residual 作为 ? 的估计量, 其中 a
sum of squares ).可以用 ? 2 衡量回归方程的预报精度.通常, ? 2 越小,预报精度越高. 在研究两个变量间的关系时, 首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可 以用线性回归模型来拟合数据.然后,可以通过残差

?

?

? ,e ? ? e 1 2 ,?, en

来判断模型拟合的效果, 判断原始数据中是否存在可疑数据. 这方面的分析工作称为残差分 析.表 3 一 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据. 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

? 残差 e

-6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382

我们可以利用图形来分析残差特性作图时纵坐标为残差, 横坐标可以选为样本编号, 或 身高数据,或体重的估计值等,这样作出的图形称为残差图.图 3 . 1 一 3 是以样本编号 为横坐标的残差图. 从图 3 . 1 一 3 中可以看出, 第 1 个样本点和第 6 个样本点的残差比较大, 需要确认 在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误,就予以纠正,然后 再重新利用线性回归模型拟合数据; 如果数据采集没有错误, 则需要寻找其他的原因. 另外, 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽 度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.另外,我们还可以用相关指数

54

R 2 来刻画回归的效果,其计算公式是: R 2 ? 1 ?

y) ?(y ? ?

n

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 n

i

i

2

显然, R 取值越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性 回归模型中, R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率. R 越接近于 1,表示回归的 效果越好(因为 R 越接近于 1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强) .如果对某组 数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析, 也可以通过比较几个 R , 选择 R 大的模 型作为这组数据的模型. 在例 1 中, R =0. 64 ,表明“女大学生的身高解释了 64 %的体重变化” ,或者说“女 大学生的体重差异有 64 %是由身高引起的”. 用身高预报体重时,需要注意下列问题: 1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体.例如,不能用女大学生的身高和体重 之间的回归方程,描述女运动员的身高和体重之间的关系.同样,不能用生长在南方多雨地 区的树木的高与直径之间的回归方程,描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系. 2.我们所建立的回归方程一般都有时间性.例如,不能用 20 世纪 80 年代的身高体 重数据所建立的回归方程,描述现在的身高和体重之间的关系. 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围.例如,我们的回归方程是由女大学生 身高和体重数据建立的, 那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当 (即在回归方程中,解释变量 x 的样本的取值范围为[155cm,170cm〕 ,而用这个方程计 算 x-70cm 时的 y 值,显然不合适.) 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上,它是预报变量的 可能取值的平均值. 一般地,建立回归模型的基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量; (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线 性关系等) ; (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程 y=bx+a ) ; (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法); (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的 规律性等等) ,若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等. 例 2.现收集了一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 之间的 7 组观测数据列于下表: 温度 xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 (1)试建立 y 与 x 之间的回归方程;并预测温度为 28oC 时产卵数目。 (2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化? 探究: 方案 1(学生实施): (1)选择变量,画散点图。 ? (2)通过计算器求得线性回归方程: y =19.87x-463.73 (3)进行回归分析和预测: R2=r2≈0.8642=0.7464
2 2 2 2 2 2

2

55

预测当气温为 28 时, 产卵数为 92 个。 这个线性回归模型中温度解释了 74.64%产卵 数的变化。 困惑:随着自变量的增加,因变量也随之增加,气温为 28 时,估计产卵数应该低于 66 个,但是从推算的结果来看 92 个比 66 个却多了 26 个,是什么原因造成的呢? 方案 2: (1)找到变量 t=x 2,将 y=bx2+a 转化成 y=bt+a; (2)利用计算器计算出 y 和 t 的线性回归方程:y=0.367t-202.54 (3)转换回 y 和 x 的模型: (4)y=0.367x2 -202.54 (5)计算相关指数 R2≈0.802 这个回归模型中温度解释了 80.2%产卵数的变化。 预测:当气温为 28 时,产卵数为 85 个。 困惑:比 66 还多 19 个,是否还有更适合的模型呢? 方案 3: (1)作变换 z=lgy,将 y ? c110 2 转化成 z=c2x+lgc1(线性模型)。 (2)利用计算器计算出 z 和 x 的线性回归方程: z=0.118x-1.672 (3)转换回 y 和 x 的模型: y ? 100.118 x ?1.672 (4)计算相关指数 R2≈0.985 这个回归模型中温度解释了 98.5%产卵数的变化。 预测:当气温为 28 时,产卵数为 4 2 个。 解:根据收集的数据作散点图(图 3. 1 一 4 ) .
c x

在散点图中,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系, 所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 根据已有的函数知识, 可以发 现样本点分布在某一条指数函数曲线 y ? c1e 2 的周围,其中 c1 和 c 2 是待定参数.现在,问
c x

题变为如何估计待定参数 c1 和 c 2 .我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令

z ? ln y ,则变换后样本点应该分布在直线 z ? bx ? a(a ? ln c1 ,b ? ln c1 ) 的周围.这样,就
可以利用线性回归模型来建立 y 和 x 之间的非线性回归方程了. 由表 3 一 3 的数据可以得到变换后的样本数据表 3 一 4 , 图 3.1 一 5 给出了表 3 一 4 中数据的散点图.从图 3.1 一 5 中可以看出,变换后的样本点分布在一条直线的附近,因此 可以用线性回归方程来拟合. x 21 23 25 27 29
56

32

35

z

1.946

3.398

3.045

3.178

4.190

4.745

5.784

由表 3 一 4 中的数据得到线性回归方程

? ? 0.272x ? 3.849 . z

因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
(1) ? y ? e0.272 x ?3.849 .

(6)

另一方面,可以认为图 3. 1 一 4 中样本点集中在某二次曲线 y ? c3 x2 ? c4 的附近,其 中 c3 和 c 4 为待定参数.因此可以对温度变量做变换,即令 t ? x ,然后建立 y 与 t 之间的线
2

性回归方程,从而得到 y 与 x 之间的非线性回归方程.表 3 一 5 是红铃虫的产卵数和对应 的温度的平方,图 3 . 1 一 6 是相应的散点图. t x 441 7 529 11 625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325

从图 3.1 一 6 中可以看出,y 与 t 的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线 性回归方程来拟合它,即不宜用二次曲线 y ? c3 x2 ? c4 来拟合 y 和 x 之间的关系.这个结 论还可以通过残差分析得到,下面介绍具体方法. 为比较两个不同模型的残差,需要建立两个相应的回归方程.前面我们已经建立了 y 关于 x 的指数回归方程,下面建立 y 关于 x 的二次回归方程.用线性回归模型拟合表 3 一
57

y 5 中的数据,得到 y 关于 t 的线性回归方程 ? y 即 y 关于 x 的二次回归方程为 ?
(2)

(2)

? 0.367t ? 202.543 ,
(7)

? 0.367 x 2 ? 202.543 .

可以通过残差来比较两个回归方程( 6 )和( 7 )的拟合效果.用 xi 表示表 3 一 3 中第 1 行第 i 列的数据,则回归方程( 6 )和( 7 )的残差计算公式分别为
.2x 7?2 ? ( 1 )? y ??y( 1 ) ? y ?0 e e i i i i 3.849

,

i? 1, 2 ? ,

,7 ;

(2) ? (2) ? y ? ? e yi ? yi ? 0.367 x 2 ? 202.543, i ? 1, 2,?, 7 . i i

表 3 一 6 给出了原始数据及相应的两个回归方程的残差. 从表中的数据可以看出模型 ( 6 ) 的残差的绝对值显然比模型( 7 )的残差的绝对值小,因此模型( 6 )的拟合效果比模型 ( 7 ) 的拟合效果好. x y 21 7 0.557 47.696 23 11 -0.101 19.400 25 21 1.875 -5.832 27 24 -8.950 -41.000 29 66 9.230 -40.1.4 32 115 -13.381 -58.265 35 325 34.675 77.968

? (1) e i

? (2) e i

在一般情况下, 比较两个模型的残差比较困难. 原因是在某些样本点上一个模型的残差 的绝对值比另一个模型的小, 而另一些样本点的情况则相反. 这时可以通过比较两个模型的 残差平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. 由表 3 一 6 容易算出模型( 6 )和( 7 )的残差平方和分别为

? (1) ? 1550.538, Q ? (2) ? 15448.431 . Q
因此模型(6)的拟合效果远远优于模型(7). 类似地,还可以用尸来比较两个模型的拟合效果,R2 越大,拟合的效果越好.由表 3 一 6 容易算出模型(6)和(7)的 R2 分别约为 0 . 98 和 0 . 80 ,因此模型( 6 )的效果 好于模型(7) 的效果. 对于给定的样本点( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ),两个含有未知参数的模型
(1) (2) ? y ? f ( x, a) 和 ? y ? g ( x, b) ,

其中 a 和 b 都是未知参数.可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果: (1)分别建立对应于两个模型的回归方程 ? y 分别是参数 a 和 b 的估计值;
(1) (2) ? 和b ? 其中 a ? f ( x, a) 与 ? y ? g ( x, b) , ,

? (2) 分 别 计 算 两 个 回 归 方 程 的 残 差 平 方 和 Q
(2) ? (2) ? ( y ? ? Q ? i yi )2 ; i ?1 n

(1)

(1) ? ? ( yi ? ? yi )2 与 i ?1

n

58

? ( s )若 Q

( 1 )

(2 ) ? ?Q (2)

y ,则 ?

( 1 )

(2) (1) ? ) 的好;反之, ? ?) 的 ?f ( x, a? ) 的效果比 ? y ? g ( x, b y ? f ( x, a

y 效果不如 ?

? ) 的好. ? g ( x, b

例 2: (提示后做练习、作业)研究某灌溉渠道水的流速 y 与水深 x 之间的关系,测得 一组数据如下: 1.40 1.50 1.60 水深 xm 1.70 1.79 1.88 流速 ym/s (1)求 y 对 x 的回归直线方程; 1.70 1.95 1.80 2.03 1.90 2.10 2.00 2.16 2.10 2.21

(2)预测水深为 1。95m 时水的流速是多少? 解:依题意,把温度作为解释变量 x ,产卵个数 y 作为预报变量 , 作散点图,由观察 知两个变量不呈线性相关关系。但样本点分布在某一条指数函数 y=c1ec2 x 周围. 令 z=lny , a=lnc1 , b=c2 则 z=bx+a 此时可用线性回归来拟合 z=0.272x-3.843 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 Y=e0.272x-3.843. 3、从上节课的例 1 提出的问题引入线性回归模型: Y=bx+a+e 解释变量 x 预报变量 y 随机误差 e 4、 (1) 相关指数: 相关系数 r (公式) , r>0 正相关. R<0 负相关 R 绝对值接近于 1 相关性强接 r 绝对值 近于 0 相关性几乎无

? 2 ? 总偏差平方和 ? 4 ? 残差平方和 ? 5?回归平方和

:

? ?y
1

n

i

? y?

2

? i =yi -y ?i ?3? 残差 e

? ?y
1

n

i

?i ? ?y

2

= 总偏差平方和 - 残差平方和 ?? ?? y ? y
i i n 2

? 6 ?回归效果的相关指数R 2 ? 1 ?

?? y ? y ?
i 1

1 n

2

? 7 ? 残差分析通过残差判断模型拟合效果判断原始数据是否存在可疑数据
5、 回忆建立模型的基本步骤 ① 例 2 问题背景分析 画散点图。 ② 观 察散点图,分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系。 ③ 学生讨论后建立自 己的模型 ④ 引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数。 能否利用回归模型 通过探究体会有些不是线性的模型通过变换可以转化为线性模型 ⑤ 对数据进行变

59

换后,对数据(新)建立线性模型 ⑥ 转化为原来的变量模型,并通过计算相关指数 比较几个不同模型的拟合效果 ⑦ 总结建模的思想。 鼓励学生大胆创新。 ⑧ 布 置课后作业: 习题 1.1 1、 6、复习与巩固:练习 1:某班 5 名学生的数学和化学成绩如下表所示,对 x 与 y 进行回归 分析,并预报某学生数学成绩为 75 分时,他的化学成绩。 A B C D E 88 76 73 66 63 数学 x 78 65 71 64 61 化学 y 解略。 练习 2:某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量 (mg/l) 与消光系数的结果如 下: 尿汞含量 x 消光系数 y 2 64 4 138 6 205 8 285 10 360

(1)求回归方程。 (2)求相关指数 R2。 解:略。 (三) 课堂小结 1.知识梳理:

2 规律小结: (1)回归直线方程; (2)样本相关系数; (3)样本残差分析; (4)样本指数; (5)建立回归模型的基本步骤。 (四) 作业:见〈 〈一日一练〉 〉 (五) 课后反思: 本节内容对回归分析的探讨过程很精彩,学生讨论很热烈,激发了学生的学习热情。但对 残差分析学生只能欣赏它的过程,计算量太大,思维的跳跃性太强!

60

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
一、教学内容与教学对象分析 通过典型案例,学习下列一些常用的统计方法,并能初步应用这些方法解决一些实际 问题。 ① 通过对典型案例(如“患肺癌与吸烟有关吗”等)的探究。了解独立性检验(只要 求 2×2 列联表)的基本思想、方法及初步应用。 ② 通过对典型案例 (如“人的体重与身高的关系” 等)的探究, 了解回归的基本思想、 方法及其初步应用。 二. 学习目标 1、知识与技能:通过本节知识的学习,了解独立性检验的基本思想和初步应用,能对 两个分类变量是否有关做出明确的判断。 明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体 步骤,会对具体问题作出独立性检验。 2、过程与方法:在本节知识的学习中,应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的 作用及必要性,树立学好本节知识的信心,在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图,并认 识它们的基本作用和存在的不足,从而为学习下面作好铺垫,进而介绍 K 的平方的计算公 式和 K 的平方的观测值 R 的求法,以及它们的实际意义。从中得出判断“X 与 Y 有关系”的 一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系, 并能较准确地给出这种判断的 可靠程度的具体做法和可信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。 3、情感、态度与价值观:通过本节知识的学习,首先让学生了解对两个分类博变量进 行独立性检验的必要性和作用, 并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别, 从而引导 学生去探索新知识,培养学生全面的观点和辨证地分析问题,不为假想所迷惑,寻求问题的 内在联系,培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系,从对 实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联 系,学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实 际价值。教学中,应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习 态度及实事求是的分析问题、 解决问题的科学世界观, 并会用所学到的知识来解决实际问题。 三.教学重点、难点 教学重点:理解独立性检验的基本思想;独立性检验的步骤。 教学难点;1、理解独立性检验的基本思想; 2、了解随机变量 K2 的含义; 3、独立性检验的步骤。 四、教学策略 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段:多媒体辅助教学 五、教学过程: 对于性别变量, 其取值为男和女两种. 这种变量的不同 “值” 表示个体所属的不同类别, 像这类变量称为分类变量.在现实生活中,分类变量是大量存在的,例如是否吸烟,宗教信 仰,国籍,等等.在日常生活中,我们常常关心两个分类变量之间是否有关系.例如,吸烟 与患肺癌是否有关系?性别对于是否喜欢数学课程有影响?等等. 为调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人,得到如下结果(单位:人) 表 3-7 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 那么吸烟是否对患肺癌有影响吗? 像表 3 一 7 这样列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.由吸烟情况和患肺癌情 况的列联表可以粗略估计出:在不吸烟者中,有 0.54 %患有肺癌;在吸烟者中,有 2.28% 患有肺癌.因此,直观上可以得到结论:吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异. 与表格相比, 三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况. 图 3. 2 一 1 是列联表的三维柱形图,从中能清晰地看出各个频数的相对大小.
61

图 3.2 一 2 是叠在一起的二维条形图,其 中浅色条高表示不患肺癌的人数, 深色条高表示 患肺癌的人数. 从图中可以看出, 吸烟者中患肺 癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例. 为了更清晰地表达这个特征, 我们还可用如 下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比 例.如图 3.2 一 3 所示,在等高条形图中,浅 色的条高表示不患肺癌的百分比; 深色的条高表 示患肺癌的百分比.

通过分析数据和图形,我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关” .那么我们是否能 够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢? 为了回答上述问题,我们先假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系.用 A 表示不吸烟, B 表示不患肺癌,则“吸烟与患肺癌没 有关系”独立” ,即假设 H0 等价于 PAB)=P(A)+P(B) . 把表 3 一 7 中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表: 表 3-8 吸烟与肺癌列联表 不患肺癌 不吸烟 a 吸烟 c 患肺癌 b d 总计 a+b c+d

总计 a+c b+d a+b+c+d 在表 3 一 8 中,a 恰好为事件 AB 发生的频数;a+b 和 a+c 恰好分别为事件 A 和 B 发生 的频数.由于频率近似于概率,所以在 H0 成立的条件下应该有

其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量, (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) , 即 ad≈bc. 因此,|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;|ad -bc|越大,说明吸烟与患肺癌 之间关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准, 基于上面的分析, 我们构造一个随机变
62

a a?b a?c ? ? , n n n

n ? ad ? bc ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量.
2 2 量K ?

(1)

若 H0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系” ,则 K “应该很小.根据表 3 一 7 中的数据,

9965 ? 7775 ? 49 ? 42 ? 2099 ? 利用公式(1)计算得到 K “的观测值为 K ? ? 56.632 , 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91
2 2

这个值到底能告诉我们什么呢? 统计学家经过研究后发现,在 H0 成立的情况下, P( K 2 ? 6.635) ? 0.01. (2) 2 K (2) 式说明, 在 H0 成立的情况下, 的观测值超过 6. 635 的概率非常小, 近似为 0 . 2 01,是一个小概率事件.现在 K 的观测值 k ≈56.632 ,远远大于 6. 635,所以有理由断 定 H0 不成立,即认为“吸烟与患肺癌有关系” .但这种判断会犯错误,犯错误的概率不会超 过 0.01,即我们有 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” . 2 在上述过程中,实际上是借助于随机变量 K 的观测值 k 建立了一个判断 H0 是否成立的 规则:如果 k ≥6. 635,就判断 H0 不成立,即认为吸烟与患肺癌有关系;否则,就判断 H0 成立,即认为吸烟与患肺癌没有关系. 在该规则下,把结论“H0 成立”错判成“H0 不成立”的概率不会超过 P( K 2 ? 6.635) ? 0.01, 即有 99%的把握认为从不成立. 上面解决问题的想法类似于反证法. 要确认是否能以给定的可信程度认为 “两个分类变 量有关系” ,首先假设该结论不成立,即 H0:“两个分类变量没有关系” 2 2 成立.在该假设下我们所构造的随机变量 K 应该很小.如果由观测数据计算得到的 K 的 观测值 k 很大,则在一定可信程度上说明 H0 不成立,即在一定可信程度上认为“两个分类 变量有关系” ;如果 k 的值很小,则说明由样本观测数据没有发现反对 H0 的充分证据. 2 怎样判断 K 的观测值 k 是大还是小呢?这仅需确定一个正数 k0 ,当 k ? k0 时就认为 2 K 的观测值 k 大.此时相应于 k0 的判断规则为: 如果 k ? k0 ,就认为“两个分类变量之间有关系” ;否则就认为“两个分类变量之间没 有关系”. 我们称这样的 k0 为一个判断规则的临界值.按照上述规则,把“两个分类变量之间没 有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为 P( K 2 ? k0 ) . 在实际应用中, 我们把 k ? k0 解释为有 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为 “两个分类 变量之间有关系” ;把 k ? k0 解释为不能以 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为“两个分类 变量之间有关系” , 或者样本观测数据没有提供 “两个分类变量之间有关系” 的充分证据. 上 2 面这种利用随机变量 K 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法,称 为两个分类变量的独立性检验. 利用上面结论,你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗? 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值分别为{ x1 , x2 }和{ y1 , y2 }, 其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为: 表 3 一 9 2×2 列联表 总计 y1 y2

x1 x2

a
c

b
d

a?b c?d

b?d a?b?c?d 总计 a?c 若要推断的论述为 Hl:X 与 Y 有关系, 可以按如下步骤判断结论 Hl 成立的可能性: 1.通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这 种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度. ① 在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积 ad 与副对角线上的两个柱形高 度的乘积 bc 相差越大,H1 成立的可能性就越大.

63

② 在二维条形图中,可以估计满足条件 X= x1 的个体中具有 Y= y1 的个体所占的比例

a c ,也可以估计满足条件 X= x2 的个体中具有 Y= y2 ,的个体所占的比例 .“两个 c?d a?b
比例的值相差越大,Hl 成立的可能性就越大. 2.可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判 断的可靠程度.具体做法是: ① 根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0 ; 2 ② 利用公式( 1 ) ,由观测数据计算得到随机变量 K 的观测值 k ; ③ 如果 k ? k0 ,就以 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为“X 与 Y 有关系” ;否则就 说样本观测数据没有提供“X 与 Y 有关系”的充分证据. 在实际应用中,要在获取样本数据之前通过下表确定临界值: 表 3 一 10

0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (四) 、举例: 例 1.在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶,而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶. (1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系. (2)能够以 99 %的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗?为什么? 解:根据题目所给数据得到如下列联表: (1)相应的三维柱形图如图 3.2 一 4 所示.比较来说,底面副对角线上两个柱体高度的乘 积要大一些,可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.

P(K 2 ? k0 ) k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

(2)根据列联表 3 一 11 中的数据, 得到 k ?

1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451)2 ≈16.373>6 . 389 ?1048 ? 665 ? 772

因此有 99 %的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . 例 2. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随 机抽取 300 名学生,得到如下列联表: 表 3 一 12 性别与喜欢数学课程列联表 喜欢数学课程 男 女 总计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228
64

总计 122 178 300

由表中数据计算得 K 的观测值 k ? 4.514 .能够以 95%的把握认为高中生的性别与是否喜 欢数学课程之间有关系吗?请详细阐明得出结论的依据. 解:可以有约 95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系” .作出这种判断的 依据是独立性检验的基本思想,具体过程如下: 分别用 a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢 数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数.如果性别与是否喜欢数学课有关系,则男生
2

中喜欢数学课的比例

a c 与女生中喜欢数学课的人数比例 应该相差很多,即 c?d a?b
应很大.

|

a c ad ? bc ? |?| | a ? b c ? d (a ? b)(c ? d )

将上式等号右边的式子乘以常数因子

(a ? b ? c ? d )(a ? b)(c ? d ) (a ? c)(b ? d )

,

然后平方得

K2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

其中 n ? a ? b ? c ? d .因此 K 越大, “性别与喜欢数学课之间有关系” 成立的可能性越大. 2 另一方面, 在假设 “性别与喜欢数学课之间没有关系” 的前提下, 事件 A ={ K ≥3. 841} 2 的概率为 P ( K ≥3. 841) ≈0.05, 2 因此事件 A 是一个小概率事件.而由样本数据计算得 K 的观测值 k=4.514,即小概率事件 A 发生.因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立,并且这种判断结果出错的可 能性约为 5 %.所以,约有 95 %的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. (四) 课堂小结 1.知识梳理

2.规律小结 (1)三维柱形图与二维条形图(2)独立性检验的基本思想(3)独立性检验的一般方法 (五) 作业: 五 课后反思: 本节内容对独立性检验的探讨过程学生基本没什么困难, 还有学生提出了新的探讨路径和思 想,学生思维活泼!对独立性检验的作用,本节课也作了系统总结比较。

65


相关文章:
新课标人教A版数学选修2-3全套教案.doc
新课标人教A版数学选修2-3全套教案 - 第一章计数原理 1.1 分类加法计数原
人教新课标A版 高二数学选修2-3全套教案汇总.pdf
人教新课标A版 高二数学选修2-3全套教案汇总_数学_高中教育_教育专区。高二数学人教新课标 A 版选修 2-3 全套教案 1.1 基本计数原理 (第一课时) 教学目标: ...
新编人教A版高中数学选修2-3全套教案精编.doc
新编人教A版高中数学选修2-3全套教案精编 - 高中数学教案选修全套 【选修 2
新课标人教A版数学选修2-3全套教案.doc
新课标人教A版数学选修2-3全套教案_数学_高中教育_教育专区。第一章计数原理
新课标人教A版数学选修2-3全套教案.doc
新课标人教A版数学选修2-3全套教案 - 1. 一个火车站有 8 股岔道, 停放
高二数学 人教新课标A版选修2-3全套教案.doc
高二数学 人教新课标A版选修2-3全套教案_数学_高中教育_教育专区。高二数学人教新课标 A 版选修 2-3 全套教案 1.1 基本计数原理 (第一课时) 教学目标: (1...
新课标人教A版高中数学(选修2-3)全册教案_图文.doc
新课标人教A版高中数学(选修2-3)全册教案 - 课题:1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理(1) 第 课时 总序第 课型: 新授课 教学目标: 知识与技能:①...
人教版高中数学选修2-3全部教案.doc
人教版高中数学选修2-3全部教案_数学_高中教育_教育专区。人教版 选修 2-3
新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案_图文.doc
新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高
高中数学人教版选修2-2全套教案_图文.doc
高中数学人教版选修2-2全套教案 - 第一章 导数及其应用 §1.1.1 变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在...
新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案_图文.doc
新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案 - 高中数学教案选修全套 【选修 2-
新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案_图文.doc
新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案 - 高中数学教案选修全套 【选修 2-
新编人教A版高中数学选修2-3全套教案精编.doc
新编人教A版高中数学选修2-3全套教案精编 - 高中数学教案选修全套 【选修 2
(精)高中数学选修2-3教案.doc
(精)高中数学选修2-3教案 91页 免费 (570)【精】新课标人教A版... 85页...高中数学教案选修全套 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理...
新课标人教A版高中数学选修2-1教案.doc
新课标人教A版高中数学选修2-1教案 - 学海无涯苦作舟! 高中数学教案选修全套 【选修 2-1 教案|全套】 目 录 目录 ......
新课标人教A版高中数学选修2-3 - 1.2排列与组合.doc
新课标人教A版高中数学选修2-3 - 1.2排列与组合_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学-选修 2-3 导学案 §1.2 排列与组合 【知识要点】 1.排列与排列...
2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳法.doc
2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标三维人教A版数学选修2-2 2.3 数学归纳法 ...
...1教案】新课标高中数学人教A版选修2-1全套教案_免费....doc
选修2-1教案】新课标高中数学人教A版选修2-1全套教案选修2-1教案】新课标...决问题的能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣...
(570)【精】新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案6_图文.doc
(570)【精】新课标人教A版高中数学选修2-2全套教案6 - 高中数学教案选修全套 教案|全套】 【选修 2-2 教案 选修 目录目录 ......
【数学】新课标人教A版必修3全套教案1.doc
数学新课标人教A版必修3全套教案1 - 第一章算法初步 一、课标要求: 课标