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天华学校2015届高三数学练习卷(1)

天华学校 2015 届高三数学练习卷(1)2014-12-18
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若复数 z ? ?1 ? i ? i ( i 为虚数 单位) ,则 z = 2. 抛物线 y 2 ? px( p ? 0) 的焦点坐标为 ▲ ▲ . .

3. 双曲线

2 x2 ,该双曲线的离心率是 ▲ . ? y 2 ? 1 的一条准线为 x ? 2 a 2
▲ . .

4. 已知函数 f ( x) ? x x ? a 为奇函数,则实数 a =

5. 直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与直线 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是▲

6. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 作垂直双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 9 16

B ,则三角形 ABF 的面积为 ▲ 7. 已知锐角 A , B 满足 2 tan A ? tan(A ? B) ,则 tan B 的最大值为_____________.
8. 已知 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 边上的动点,则 AB AP 的最大值为 ▲ . 9.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若
2 2

S8 S4 ? _____________. ? 4 ,则 S4 S2

10.圆 M : ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4, 动点 A 在直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 上,过点 A 作直线 l2 交圆 M 于 P, Q 两点, 且 ?MAQ ?

?
6

,则弦长 PQ 的最大值为▲ .

11.

?? x ? a ?2 , x? 0, ? 设 f ? x? ? ? 若 f ? 0 ? 是 f ? x ? 的最小值,则实数 a 的取值范围为 1 x ? ? a, x ? 0. ? ? x



.

12.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列正确命题的序号是__________。 (1)若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n; (2)若 m ? ? , m ? n 则 n / /? ;

(3)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? ;(4)若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ? 。 13. 椭圆 C:
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使 2 2 a b

得 ?FF 1 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率取值范围是 14. 已知正实数 a,b,c 满足



. ▲ .

1 1 1 1 1 ? ?1, ? ? ? 1 ,则实数 c 的取值范围是 a b ab bc ca

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天华学校 2015 届高三数学练习卷(12)答卷
班级 姓名 学号 成绩

一、填空题(每小题 5 分,满分 70 分) 1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 4. 8. 12.

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? DB ? DC ,点 E 是 BC 的中点,点 F 为 AC 的中点. (1)求证: EF ∥平面 ABD ; A (2)求证:平面 BCD ? 平面 AED .

F B E C D

16. (本小题满分 14 分) 已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (2a ? b)cos C ? c cos B . (1)求角C的大小;

π 1 1 (2)设向量 m = cosA,sin(B ? ) , n = , ,当 m = n 时,求 m ? n . 6 2 2

?

?

? ?

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OA ? 3 , 17. (本小题满分 14 分) 如图, 某小区有一矩形地块 OABC, 其中 OC ? 2 , (单位百米) .已知 OEF

是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直路 l(宽度不计) ,交线段 OC 于点

D ,交线段 OA 于点 N .现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,若池边 FE y 2 x 2 的图象.,点 M 到 y 轴距离记为 t . 满足函数 y ? ? x ? 2 0剟

?

?

A 2 (1) 当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; N 3 E (2) 当 t 为何值时, 地块 OABC 在直路 l 不含 泳池那侧的面积取到最大, 最大值是多少? O

B M F DC

x

2 2 y2 18. (本小题满分 16 分)如图,已知 F ?1,0? 为椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,离心率 . a b 2

y M P O F N x

(1)求椭圆的方程; (2)P 为椭圆上一点,椭圆在 P 点处的切线与直线 x ? c

MF a2 和右准线 x ? 分别交于点 M、N.①若 P(0,1) ,求 的值;②探究当 P 在 NF c
椭圆上移动时,

MF 的值是否为定值? NF

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=lnx, g ? x ? ? m x ? m ? 0? . (1) 若直线 y=kx+1 与 f(x)的图像相切,求实数 k 的值; (2) 讨论曲线 f(x)与曲线 g(x)公共点的个数; (3) 若 A( x1,y1 ) , B( x1,y1 ) ( x1 ? x2 ) 两点是曲线 f(x)上任意两个不同的点,记直线 AB 的斜率为 k.证明:

1 1 ?k? . x2 x1

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20.(本小题 16 分)已知数列 {an } 的各项均为正数,数列 {bn } , {cn } 满足 bn ? (1)若数列 {an } 为等比数列,求证:数列 {cn } 为等比数列;

an ? 2 2 , cn ? an an ?1 . an

(2)若数列 {cn } 为等比数列,且 bn ?1 ? bn ,求证:① bn?1 ? bn (n ? N * ) ;②数列 {an } 为等比数列.

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14 思路一: (函数角度——通过建立目标函数求解) 解法一:联想三角形中的结论 由题意, a ? b ? ab , a ? b ? c ? abc 令 a ? tan A , b ? tan B , c ? tan C , A, B, C ? (0,

) 2 t a nA ? t a n B t a nA t a n B 1 ?c ? t a n C ? ? t a nA ( ? B) ? ? ?1? t a nA t a n B ? 1 t a nA t a n B ?1 t a nA t a n B ?1
由题意, tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 tan A tan B

?

? tan A tan B ? 4 4 ?1 ? c ? 3
解法二:联想同角三角函数关系

1 1 ? , ? (0,1) a b 1 1 ? ? 可设 ? cos 2 ? , ? sin 2 ? ( 0 ? ? ? ) a b 2
[来源 :学+科+网 Z+X+X+K]



1 1 1 1 1 ?3 ? ? ? ? 1 易得 ? 1 ? sin 2 2? ? ? ,1? . ab bc ca c 4 ?4 ? 4 3

?1 ? c ?

思路二: (不等式角度——通过建立关于目标的不等式求解)

思路三: (方程角度——将目标设置为二次方程(组)的系数,根据二次方程(组)有解来解决问题) 解法四:
[来源 :学*科*网 Z*X*X*K]

c ? ?a ? b ? c ? 1 由思路二知, ? , c ? ab ? c ?1 ? c c 2 x? ? 0 的两根, 故 a , b 可看做方程 x ? c ?1 c ?1
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? ??0 4 ? 由于方程有两正根,故 ? x1 ? x2 ? 0 ,结合 c 为正数即可得到 1 ? c ? 3 ? xx ?0 ? 1 2
思路四:特殊值法——根据式子的对称性,可采取特殊化处理,本方 法只适用于求出最大值 解法五: 由题意, a , b 对称,故可令 a ? b ,结合条件可以计算出 c 的最大值. 21. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点 A 2 6, 2 、 B ? 3,3? . (1) 求椭圆C的方程; (2)

?

?

y M O x

(第 18 题)

椭圆C上的任一点 M ( x0 , y0 ) ,过原点O向半径为r的圆M作两条切线,是否存在r使得两条切线的斜 率之积s为定值,若是,求出r,s值;若不是,请说明理由. 解:(1) 依题意,可设此椭圆方程为 mx2 ? ny 2 ? 1 , 过点 A(2 6, 2) , B(3,3) ,可得
?24m ? 4n ? 1 , ? ?9m ? 9n ? 1

………………2 分

解之得 m ?

1 1 ,n? . 36 12
………………4 分

2 y2 所以椭圆 C 的方程为 x ? ?1. 36 12

(2) 斜率显然存在,故可设两条切线方程为: y ? k1 x , y ? k2 x . 由圆心到直线的距离等于半径得

k1 x0 ? y0 1 ? k12

?r,

k2 x0 ? y0
2 1 ? k2

?r.

………………6 分

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2 ?? x0 2 ? r 2 ? k12 ? 2 x0 y0 k1 ? y0 ? r2 ? 0 , ? 化简得 ? 2 2 2 2 2 ? ?? x0 ? r ? k2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? r ? 0 .

………………8 分

2 所以 k1 , k2 是方程 ( x02 ? r 2 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? r 2 ? 0 的两个不相等的实数根.

因为 k1 ?

2 x0 y0 ?

? ?2 x0 y0 ?

2

2 ? x0 2 ? r 2 ?
2

2 ? 4 ? x0 2 ? r 2 ?? y0 ? r2 ?


2

k2 ?

2 x0 y0 ?

? ? 2 x0 y ?0 ?

2 ? x0 2 ? r 2 ?

4 ?

2

x? 0

2

r ??

2

?y 0

?r
,

-8-