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安徽师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考查数学(文)试卷Word版含解析

安徽师范大学附属中学 2015-2016 学年高二下学期期中考查数 学(文)

一、选择题:共 12 题 1. 是虚数单位,复数

的虚部是

A.

B.

C.1

D.-1

【答案】D 【解析】本题主要考查复数的概念,意在考查学生对基本概念的理解.

因为

,所以复数的虚部是-1,故选 D.

2.不等式

的解集为

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】本题主要考查的是分式不等式的求解,意在考查学生的运算求解能力.



,即

,所以,解得 或 ,故选 C.

3.在极坐标系中,点

关于极点对称的点的坐标可以是

A.

B.

C.

D.

【答案】D
【解析】本题主要考查的是用极坐标刻画点的位置,属于基础题,意在考查学生对基本概念的 理解.

把点

绕极点逆时针旋转 弧度,即可得到点 关于极点对称的点,故点关于极点对称的

点的一个坐标是

,故选 D.

4.下列说法不正确的是 A.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题等四种命题中真命题个数为偶数

B.命题:“若,则 或 ”的逆否命题是“若 或 ,则



C.椭圆

比椭圆更接近于圆

D.已知两条直线

,则

的充分不必要条件是

【答案】B
【解析】本题主要考查了四种命题之间的关系,椭圆的几何性质以及两条直线垂直的判定问 题,意在考查学生的逻辑推理能力以及对知识的综合运用能力.
对于 A,一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中,互为逆否的命题有两对,根据“互为逆 否命题的两个命题同真假”可知,这四种命题中真命题个数为 0,2,4,故 A 正确;

对于 B,命题:“若 误;

,则 或 ”的逆否命题是“若 且 ,则

”,故 B 错

对于 C,椭圆

的离心率是

,椭圆

圆比椭圆

更接近于圆,C 正确;

的离心率是

,

,所以椭

对于 D,当

时,两条直线,有

此时

;当

时,直线

确; 故说法错误的是 B.

,有

,不能得出

,所以是充分不必要条件,D 正

5.若圆的方程为

( 为参数),直线的方程为

( 为参数),则直线与

圆的位置关系是

A.相交过圆心

B.相交而不过圆心 C.相切

D.相离

【答案】B

【解析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系、直线的参数方程、圆的参数方程等知识, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力.

把圆的参数方程化为普通方程得 把直线的参数方程化为普通方程得:

,所以圆心坐标为

,半径 ,

,即

,故圆心到直线的距



,又圆心不在直线

是相交而不过圆心,故选 B.

上,所以直线与圆的位置关系

6.某商场为了解毛衣的月销售量 (件)与月平均气温 (℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月 的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:

由表中数据算出线性回归方程,气象部门预测下个月的月平均气温为 6℃,据此估计该商场下 个月毛衣销售量约为

A.46

B.40

C.38

D.58

【答案】A

【解析】本题主要考查了线性回归直线方程,由题中的数据可知月平均气温的平均值为 10 ,

月平均销售量为 38 件,因为

,线性回归直线方程一定过样本中心点(10,38),所以 38=-

2×10+ ,解得 =58,所以当气温为 6 时,估计商场毛衣的销售量约为-2×6+58=46,故选 A.

7.用反证法证明命题“设 为实数,则方程

至少有一个实根”时,应假设

A.方程

没有实根

B.方程

至多有一个实根

C.方程

至多有两个实根 D.方程

恰好有两个实根

【答案】A 【解析】本题主要考查反证法证明问题的步骤,意在考查学生对基本概念的理解.

反证法证明问题时,反设实际上是命题的否定. 用反证法证明命题“设 为实数,则方程 至少有一个实根”时,应假设“方程没有实根”.故选 A.

8.如图所示程序框图表示的算法的运行结果是

A.-2

B.2

C.-1

D.1

【答案】B

【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,意在考查学生的逻辑推理能力.

第一次执行程序:不满足条件 i>3,不满足条件 i 是偶数,

第二次执行程序:不满足条件 i>3,满足条件 i 是偶数,

第三次执行程序:不满足条件 i>3,不满足条件 i 是偶数,

;

第四次执行程序:满足条件 i>3,退出循环,输出 的值为 2. 故选 B. 【备注】正确判断循环的条件,依次写出每次循环得到的 的值是求解本题的关键.

9.下列说法中正确的个数为( )个

①在对分类变量和 进行独立性检验时,随机变量的观测值越大,则“ 与 相关”可信程度越 小;

②在回归直线方程 位;

中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量 增加 0.1 个单

③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1;

④在回归分析模型中,若相关指数越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好.

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】本题主要考查的是命题的真假判断与应用以及回归分析和独立性检验的理论基础, 意在考查学生分析问题、解决问题的能力.

对于①,在对分类变量 和进行独立性检验时,随机变量 的观测值 越大,则“ 与相关”可信 程度越大,故①错误;

对于②,在回归直线方程 个单位,故②正确;

中,当解释变量 每增加一个单位时,预报变量 增加 0.1

对于③,两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1,故③正确;

对于④,在回归分析模型中,若相关指数越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故④正 确;

故选 C.

10.已知整数对的序号如下: 70 个数对是

A.

B.

【答案】D

,

,

C.

,, D.

,

,则第

【解析】本题主要考查的是归纳推理,意在考查学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题 的能力.

由已知可得:点列的排列规律是 次增大.

的和从 2 开始,依次是 3,4 其中 也依

时只有 1 个整数对:(1,1);

时有 2 个整数对: (1,2),(2,1);

时有 3 个整数对: (1,3),(2,2),(3,1);

时有 10 个整数对: (1,10),(2,9), (10,1);
时有 11 个整数对: (1,11),(2,10), ,(11,1); 上面共有 1+2+3+…+11=66 个整数对:,
时的整数对有(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),…,(12,1) 故第 70 个数对是(4,9). 故选 D.

11.设曲线 的参数方程为

离为 的点的个数为

A.1

B.2

C.3

( 为参数),直线的方程为,则曲线 上到直线 距 D.4

【答案】B

【解析】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,点到直线的距离与数形结合的思想.把曲线

的方程变为直角坐标的方程可得

,圆心

到直线

的距离为

,曲线 上到直线 距离为的点的个数为 2 个,故选 B

12.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一

点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=1,2,3,4),若

=k,则 h1+2h2+3h3+4h4= .

类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q

到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4),若

=K,则 H1+2H2+3H3+4H4 等于

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】本题主要考查了三棱锥的体积公式,根据三棱锥的体积公式

,

得:

,即

2H2+3H3+4H4= ,故选 C

,所以 H1+

二、填空题:共 5 题 13.命题“

”的否定是 ________.

【答案】

【解析】本题主要考查的是命题的否定.

命题“”的否定是“

”.故答案为:

【备注】全称命题的否定是特称命题.

14.复数满足,则 _______.

【答案】 【解析】本题主要考查的是复数的概念,意在考查学生的运算求解能力.



可得

,故

.故答案为

15.观察下列等式 1-

1- + - +

1- + - + - + +

……

据此规律,第 n 个等式可为

.

【答案】1- + - +…+ -

+ +…+

【解析】本题主要考查推理与证明.

观察所给等式的左右可以归纳出 1- + - +…+ 【备注】观察归纳是确定结论的核心内容.

+ +…+ .

16.若关于 的不等式

有解,则实数 的取值范围是 _________.

【答案】

【解析】本题主要考查的是不等式的定义及性质,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.

关于 的不等式

有解,故

的最小值小于 5.而

表示数轴上的 x 对应点到表示 2,a 对应点的距离和,它的最小值为

,故,

解得-3<a<7,故答案为(-3,7).

17.设

是曲线

________.

( 为参数,

)上任意一点,则 的取值范围是

【答案】

【解析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系、直线的斜率以及圆的参数方程等知识点, 意在考查学生的数形结合能力.

曲线

(为参数,

)的普通方程为:

是曲线

C: 所示:

上任意一点,则 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率,如图

易求得

故答案为

三、解答题:共 5 题

18.(1)已知命题 “不等式

的解集为 ”,命题 “

数”.若“ 或 ”为真命题,同时“ 且 ”为假命题,求实数 的取值范围;

是减函

(2)若,且

,求证:



【答案】(1)若命题 为真,解得

,若命题 为真,解得

,

由“ 或 ”为真命题,同时“ 且 ”为假命题,可知, 与 一真一假.

当 真 假时,有



,无解;

当 假 真时,有



,即

.

故实数的取值范围为 .

(2)要证

,只需证

即 ,因

要只需证



,

因为

,



因为 从而

,所以

,即

,

所以



【解析】本题主要考查的是命题的真假判断和不等式的证明,意在考查学生的逻辑推理能力 和分析问题、解决问题的能力.

(1)由绝对值的意义可得,

由指数函数的单调性可得,

当这两个命题只有一个是真命题时 的取值范围;

(2)用分析法证明不等式的成立.

从而求得

19.某学校对手工社、摄影社两个社团招新报名的情况进行调查,得到如下的 列联表:

(1)请填上上表中所空缺的五个数字;
(2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关 系?

(注:

)

【答案】(1)

(2)
所以,不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关 系.
【解析】本题主要考查的是独立性检验的应用,意在考查学生的计算能力和分析解决问题的 能力.
(1)根据列联表,可得所空缺的五个数字;
(2)根据所给表格中的数据,代入求观测值的公式,求出观测值并与临界值进行比较,得到不能 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为学生对这两个社团的选择与“性别”有关系.

20.已知曲线

( 为参数),

( 为参数).

(1)化 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(2)若曲线和 相交于 两点,求 .

【答案】(1)

,

曲线 表示经过

和 两点的直线;

曲线表示以

为圆心,1 为半径的圆.

(2)曲线 的左顶点为

,则直线 的参数方程为

( 为参数)将其代入曲线

整理可得:

,设 对应参数分别为 ,则



所以 【解析】本题主要考查的是直线和圆的参数方程与普通方程的互化以及直线的参数方程中参 数 的几何意义,意在考查学生的运算求解能力. (1)消参即可把参数方程转化为普通方程; (2)根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解.

21.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),在以坐标原点为极点, 轴正半轴为

极轴的极坐标系中,直线 的极坐标方程为



(1)分别将曲线的参数方程和直线 的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程;

(2)动点 在曲线 上,动点 在直线上,定点的坐标为

,求的最小值.

【答案】(1)由曲线 的参数方程

可得

,

所以曲线 的普通方程为



由直线 的极坐标方程:

,可得

,即



(2)设点 关于直线 的对称点为

,有:

由(1)知,曲线 为圆,圆心坐标为

,故

,解得:

,



当四点共线时,且 在 之间时,等号成立,所以

的最小值为.

【解析】本题主要考查的是参数方程、极坐标方程与普通方程的互化以及对称点的求解,意 在考查学生的运算求解能力和化归能力.

(1)消参得到圆 的方程;利用极坐标和直角坐标之间的关系得到直线的方程;

(2)利用对称点得到

,从而进行求解.

22.下表是我国一个工业城市每年中度以上污染的天数,由于以前只注重经济发展,没有过多 的考虑工业发展对环境的影响,近几年来,该市加大了对污染企业的治理整顿,环境不断得到 改善.

(1)在以上 5 年中任取 2 年,至少有 1 年中度以上污染的天数小于 60 天的概率有多大;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 关于的线性回归方程

;

(3)按照环境改善的趋势,估计 2016 年中度以上污染的天数.

参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式



【答案】(1)在 2010 至 2014 年的 5 年中,有两年中度以上污染的天数小于 60 天,所以概率为 .

(2)将

代入



,



,所以线性回归方程



(3)估计 2016 年中度以上污染的天数为

天.

【解析】本题主要考查的是线性回归方程的应用和古典概型的简单应用,意在考查学生的计 算求解能力.
(1)利用对立事件的概率和为 1,进行求解;

(2)根据表格得到 (3)由(2)计算可得答案.

,代入公式求得线性回归方程