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人教版高一数学 指数函数及其性质(修改版)


指数函数及其性质

引例:1 某种细胞分裂时,第一次由1个 分裂成2个,第2次由2个分裂 成4个,如此下去,如果第x次 分裂得到y个细胞,那么细胞个 数y与分裂次数x的函数关系是 什么?

分裂
次数

x

第 一 次

第 二 次

第 三 次

第 四 次

第x次

一 个 细 胞

…...

表达式

y=2
细胞 总数

x

y 2

1

2

2

2

3

2 …...
4

2

x

2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一 年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩 留量随时间(单位:年)变化的函数关系. 设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示 则 经过1年, 经过2年,

y ? 1? 84% ? 0.841

y ? 1? 0.84 ? 0.84 ? 0.84

2

归纳出:经过x年,

y ? 0.84

x

思考:这两个例子的式子有什么共同特征?

底数是常数,指数是变量

1. 指数函数的定义

系数为1

y=1 · a

x

自变量

常数

定义:一般地,函数
y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 叫做指数函数
注意:

(1) 规定a ? 0, a ? 1 x x ? 0 a 恒等于零 ? a ? 0? 无意义 ?x ? 0

a ? 0 无意义

a ? 1 是一个常值函数,无研究必要
(2)形式的严格性: ? 0, a ? 1; a 指数是自变量x,且 x ? R;

整个式子的系数是1

1:指出下列函数那些是指数函数:
(1) y ? 4 ;
x

(2) y ? x 4 ;

(3) y ? ?4 x ;

(4) y ? (?4) ;
x

(5) y ? ? ;
?x
x

?1? (6) y ? ? ? ?? ?

x

(7) y ? x ;
x

1 (8) y ? (2a ? 1) (a ? , a ? 1) 2
2 x

答案:(1)(6)(8)是指数函数

2:函数y ? (a ? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则a ? 2
3:已知y=f(x)是指数函数,且f(2)=4,求函数 y=f(x)的解析式。

?????

y?2

x

? 画出下列指数函数的图象

1 x 1 x x y ?2 ,y ?( ) ,y ?3 ,y ?( ) 2 3
x

x
y?2
x

1 y ? ( )x 2
y ?3
x

… -3 1 … 8 … 8 1 … 27

-2
1 4

-1
1 2

4
1 9

2
1 3

0 1 1 1 1

1 2
1 2

2 4
1 4

3
1 3

9
1 9

… … 1 … 8 27 … 3 8
1 27

1 y ? ( )x 3

… 27 9

3



y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

指数函数

的图像及性质

a>1

0<a<1
y=ax
(a>1)

图 象
y=1

y

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1 x

(0,1)

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

0

x

0 当 x < 0 时,y > 1;
当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

? 例1:
大小

同底指数幂比大 小,构造指数函数, 比较下列各题中两值的 利用函数单调性 同底比较大小 不同底但可化同底

(1) 1.72.5 与 1.73; (2) 0.8-01与0.8-02 不同底数幂比大小 ,利用指数函数图像 与底的关系比较 (3) 与 (4) 与

利用中间量进 (5)(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3 行比较
(6)1.70.3与0.93.1

不同底但同指数 底不同,指数也不同

例2:已知下列不等
式 , 比较 m,n 的大小 : 2m ? 2n (1) 0.2m ? 0.2n (2) a m ? a n (a ? 0且a ? 1) (3)

课堂练习
? 1.求下列函数的定义域: 1 ? (1) ? (2) ? (3)函数

y ? 3x y?5

x ?1

y?a

2 x ?3

?3

3 恒过点 ( , 4) 2

小结归纳:
? 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? ? 你又掌握了哪些数学思想方法? ? 你能将指数函数的学习与实际生活联系起 来吗?

布置作业: 习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?

y ? ax , y ? bx , 思考设a,b,c,d都是不等于1的正数,函数: y ? c x , y ? d x在同一直角坐标系中的图象如图所示.

则a,b,c,d的大小关系是

b?a?d ?c
Y

y?c y?d
x

x

y?b

x

b a

y?a

x

d c
O X

X=1


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