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三角形中的一个向量结论及与“四心”的关系

2 0 1 1年第 7期 

中学 数学 月刊 

?   3 3  ?  

■● ●   ■I  

■■-  

角形中的一个 向量结论 及与“ 四心" 的关系 
裴 柏顺 曹 金风 ( 江 苏省 大丰 高级 中学 2 2 4 1 0 0 )  

由于 向量 具有 代 数和几 何 的“ 双重身份” , 所  以它 的引入 给传 统 的 中学 数学 带来 了无 限生 机 与  活力 . 向量是 数形 结合 的载 体 , 在它 身上 蕴涵 着浓  厚 的数 学思 想. 学 好平 面 向量 不仅 可 以拓宽 思路 ,   提 升创 新能力 , 还 能充 分 感 受 向量 运 用 过程 中 的  数学 理性 美. 下 面就 三 角 形 中的 一 个 向量 结 论 及  与“ 四心 ” ( 重心、 内心 、 外心 、 垂 心 )的关 系作 一 点  探讨 , 以期 抛砖 引 玉.  
1   定理 与 证 明  定理  a, b , C 是 △  C 的  A,   B,   C所 

运用 1~ 3由定 理 容 易证 得 , 下 面我 们 对 运  用 4进行 证 明.   证 明 
BF , 03,  
S。   S 6   一堡: 丝 一旦 . — P Cs i n  ̄ —B C G  


如图 2 , △A BC 三 边 上 的 高 为 AE,  

b ?P F  
。  一

b   PCs i n L ACG 
  。   一   ’  

a  
一  

c os   B  s i n   A  C OS   B  t a n   A 

同理 S 6: S   一t a n   B:  
t a n   C,  

A .  

对 的 边 ,若 点 P 是 /  ̄ A BC 内 一 点 , △B P C,   /  ̄ A PC, /  ̄ AP B 的面 积分 别 记 为 S   , S   , S   , 则 有 
S 。 PA + S 6   PB - I -S   PC 一 0 .  

所以S  : S 6 : S   一t a n   A: t a n   B: t a n   C, 于是( t a n  
A) P A + ( t a n  B) PB + 
( t a n   C)PC = 0.  

证 明  如 图 1 , 延 长 AP 与 B C 边 相 交 于点 
一   一   一  

鲁  一 妾 ,  

3   定 理 变 式及 三 角形 “ 四   心 ”的 向 量 表 示 式 

图 2  



 



— 

即B D: = =   J c   DC.  
^  

定理 变式 : 当 。 为 AA BC 所 在 平 面上 一 定  点, P 为  AA B C   内 一 点,   则 O P  =  
— — — — -

于 是 P D — P B :  
J c ( P C— P D ),  
b  



— ——+

— —— +

 

S 。OA + S 6   OB + S  OC  S  + S  + S   ‘  

:= =

商 +S 羔
b  

证 明 

由 S 。 P A+S   P B+ S   P C 一0得 

S   ( O A — OP ) + S   ( O B — OP)+ S   ( OC — O P)  

PC ,  

_0 ' 整理 得 
图 1  

一 

.  

所以( S  + S   )P D — 
S 6   PB + S   PC.  
v— PD


三角 形“ 四心”的 向量 表示  当 P 为
3  

SAp Bo
一 —


S ̄pDc
: =: —




 

垒 丝 堡 ±  垒 塑 :  
S   c + Sb  

AA B C 的 重 心 时,   O P — 

PA 

S   c  

S   b  

OA + OB + ∞  

{  , 点 P 在 线 段 A D 上 ,  
所以( S   +S   ) P D 一 一S   P A,  

当 P 为

△A B C 的 内 心 时, 0 P  
’  
— ? — —  

( s i n   A )0A + ( s i n   B)0B + ( s i n   C)∞  
s i n   A+ s i n   B+ s i n   C 

从而 一S   P A —S   P B+S   PC,  
即S   P A +S 6   P B+S   P C一0 .   2   定 理在 三 角形 “ 四心 ”方面 的运 用  运用 1 : 当 P为 △A BC 的 重 心 时 , S  

当 P 为 △AB C 的 外 心 时 , OP  
( s i n   2 A)0 A+ ( s i n   2 B)  
S6一  
— —

+ ( s i n   2 C)∞  



s i n   2 A+ s i n   2 B+ s i n   2 C 

S   , 有P A +P B+P C 一0 .   S6:S  运用 2 : 当 P为 △  C的外 心时 , S   :  
PA +  一s i n   2 A :s i n   2 B :s i n   2 C, 有 ( s i n   2 A)  
— — —

当 P 为


AA BC 的 垂 心 时 ,   O P = 
— ’- ———+  



( t a n   A )QA + ( t a n   B)O B+ ( t a n   C)∞   t a n   A+ t a n   B+ t a n   C   。  

÷

— —— +

 

( s i n   2 B)P B+ ( s i n   2 C)PC 一 0 .  

4   定理 的 拓展 

运用 3 : 当 P为 △A BC的 内心时 , S 。 : S  : S  


设 P 为 △A B C 内一 点 , 若m   P A +  P B + 
足 PC= = = 0 ( an r k≠ 0 ) , 则S 。: S 6: S   一   :   : 志 .   ( 其中S   , S   , S  分 别 为 △ B P C, / X A PC, △A PB   的 面积 ) . ( 证 明过 程请 读者 思考 完成 )  

1 D ?

—— —+

— ——+  

=a: b: C , 有a   P A+b   P B+C   P C一0 .  

运用 4 : 当 P 为 △舳 C( △AB C 不 为 直 角 三  角 形 )的垂心 时 , S  : S 6 : S   = = : t a n   A: t a n   B: t a n  
— — —



— ——+

——— +  

C, 有( t a n   A) P A+ ( t a n   B) P B+ ( t a n   C ) P C一0 .