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湖南省娄底市冷水江一中2015届高三上学期模拟数学试卷(理科)(Wo

湖南省娄底市冷水江一中 2015 届高三上学期模拟数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知集合 M=|x|0<x<5,x∈N},N={x|x =4},下列结论成立的是() A.N?M B.M∪N=M C.M∪N=N D.M∩N={2} 2. (5 分)下列命题中,真命题是() A.?x0∈R,e B. ?x∈R,3 >x
x

≤0
3

C. “a﹣b=0”的充分不必要条件是“ =1” D.“x>a +b ”是“x>2ab”的必要不充分条件
2 2

3. (5 分)设以 是() A.a<b<c

x,若 x>l,则 a,b,c 的大小关系

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

4. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

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5. (5 分)在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是() A.(0, ] B. [ ,π) C.(0, ] D.[ ,π )

2

2

2

6. (5 分)已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值是() A.e B.﹣e C. D.﹣

7. (5 分)曲线 y=cosx(0≤x≤ π)与 x 轴以及直线 x=0 所围图形的面积为() A.4 B. 2
2

C.
2

D.3

8. (5 分)如图,已知圆 M: (x﹣4) +(y﹣4) =4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E、F 分别为边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, () ? 的取值范围是

A.[﹣8

,8

]

B.[﹣8,8]

C.[﹣4

,4

]

D.[﹣4,4]

二.填空题 9. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 a ﹣b = 则 A=.
2 2

bc, sinC=2

sinB,

10. (5 分)设向量 与 的夹角为 θ,



,则 cosθ 等于.

11. (5 分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果

是.
x

12. (5 分)已知函数 f(x)=3+x﹣e 的定义域为 R. (1)则函数 f(x)的零点个数为;

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(2)对于给定的实数 k,已知函数 fk(x)= fk(x)=f(x) ,则 k 的最小值为.

,若对任意 x∈R,恒有

三.解答题 13. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA﹣cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小.

14. (12 分)已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx) , =(﹣cosωx﹣sinωx,2

cosωx) ,设

函数 f(x)= ? +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1) (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.

15. (12 分)有一家公司准备裁减人员.已知这家公司现有职员 4a(40<a<120,a∈Z)人, 每人每年可创纯利 5 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 1 人,则留岗职员每 人每年多创纯利 0.1 万元,但公司需付下岗职员生活费等每人每年 4 万元,并且该公司正常 运转所需人数不得少于现有职员的 . (Ⅰ)若该公司裁减 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,求 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)该公司为获得最大的经济效益,应裁员多少人? 16. (12 分)已知函数 f(x)=ax +bx +cx(a≠0)定义在 R 上的奇函数,且 x=﹣1 时,函数 取极值 1. (1)求 a,b,c 的值; (2)若对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],均有|f(x1)﹣f(x2)|≤s 成立,求 s 的最小值. 17. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣2 (Ⅰ)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅱ)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2﹣x1>ln2,求实 数 a 的取值范围.
2 3 2

湖南省娄底市冷水江一中 2015 届高三上学期模拟数学试 卷(理科)
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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知集合 M=|x|0<x<5,x∈N},N={x|x =4},下列结论成立的是() A.N?M B.M∪N=M C.M∪N=N D.M∩N={2} 考点: 专题: 分析: 解答:
2

集合的包含关系判断及应用. 集合. 分别用列举出表示出集合 M,N,进而逐一分析四个答案的正误,可得答案. 解:∵集合 M=|x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4},

N={x|x =4}={﹣2,2}, 故 M∩N={2}, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,难度不大属于基础题. 2. (5 分)下列命题中,真命题是() A.?x0∈R,e B. ?x∈R,3 >x
x

≤0
3

C. “a﹣b=0”的充分不必要条件是“ =1” D.“x>a +b ”是“x>2ab”的必要不充分条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用指数函数的单调性判断 A 的正误;反例判断 B 的正误;充要条件判断 C 的正 误;充要条件判断 D 的正误; 解答: 解:因为指数函数的值域是 y>0.所以 A 不正确; x 3 例如 x=3 时,3 >x ,不正确. ∵ =1?∴a﹣b=0, 而“a﹣b=0”不能推出“ =1”例如 a=b=0 不满足题意, 所以“a﹣b=0”的充分 不必要条件是“ =1”正确. “x>a +b ”?“x>2ab”,“x>2ab”不能说明“x>a +b ”是,所以 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查命题真假的判断与应用,函数的值域充要条件的判断基本知识的考查.
2 2 2 2 2 2

3. (5 分)设以 是() A.a<b<c

x,若 x>l,则 a,b,c 的大小关系

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

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考点: 专题: 分析: 解答: ∴

对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解:∵x>1, , , 0.

∴c<a<b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.

4. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题. 分析: 题设条件用意不明显, 本题解题方法应从选项中突破, 由于四个选项中有两个选项 是与奇偶性有关的,故先验证奇偶性较好, 解答: 解: ,

∴f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称 故选 D. 点评: 考查函数的对称性,宜从奇偶性入手研究. 5. (5 分)在△ ABC 中,sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC,则 A 的取值范围是() A.(0, ] B. [ ,π) C.(0, ] D.[ ,π )
2 2 2

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边,进而代入到余弦定理公式中求得 cosA 的范围,进而求得 A 的范围. 解答: 解:由正弦定理可知 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 2 2 2 ∵sin A≤sin B+sin C﹣sinBsinC, 2 2 2 ∴a ≤b +c ﹣bc, 2 2 2 ∴bc≤b +c ﹣a ∴cosA= ≥

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∴A≤ ∵A>0 ∴A 的取值范围是(0, ]

故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 作为解三角形中常用的两个定理, 考 生应能熟练记忆. 6. (5 分)已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值是() A.e B.﹣e C. D.﹣

考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: 欲求 k 的值, 只须求出切线的斜率的值即可, 故先利用导数求出在切处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=lnx,∴y'= , 设切点为(m,lnm) ,得切线的斜率为 ,

所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为:y﹣lnm= ×(x﹣m) . 它过原点,∴﹣lnm=﹣1,∴m=e, ∴k= . 故选 C. 点评: 本小题主要考查直线的方程、 导数的几何意义、 利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

7. (5 分)曲线 y=cosx(0≤x≤ π)与 x 轴以及直线 x=0 所围图形的面积为() A.4 B. 2 C. D.3

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分在求面积中的应用. 导数的综合应用. 根据积分的应用,即可求出阴影部分的面积. 解:区域对应的图象如图: = ﹣ =sinx| ﹣sinx|

则对应的面积为

=sin

﹣sin

+sin

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=2﹣(﹣1)=3, 故选:D

点评: 本题主要考查积分的应用,要求熟练掌握利用积分求区域面积的方法. 8. (5 分)如图,已知圆 M: (x﹣4) +(y﹣4) =4,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E、F 分别为边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, () ? 的取值范围是
2 2

A.[﹣8

,8

]

B.[﹣8,8]

C.[﹣4

,4

]

D.[﹣4,4]

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于 为 2,ME= ,OM= , ,可得 ,可得 = , = =0. ; . ∈[﹣8,8],
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=0,

=

.根据⊙M 的半径

∈[﹣8,8],即可得出.

解答: 解:由题意可得: ∴ ∵ ∴ = ,∴ = +



∵⊙M 的半径为 2,∴ME= 又 OM= ,∴ =



=

∈[﹣8,8].

故选:B. 点评: 本题考查了数量积运算、向量垂直与数量积的关系、余弦函数的单调性,考查了推 理能力,属于中档题. 二.填空题 9. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 a ﹣b = 则 A=30°.
2 2

bc, sinC=2

sinB,

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知 sinC=2 sinB 利用正弦定理化简,代入第一个等式用 b 表示出 a,再利用余 弦定理列出关系式,将表示出的 c 与 a 代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 解答: 解:将 sinC=2 sinB 利用正弦定理化简得:c=2 b, 2 2 2 2 2 代入得 a ﹣b = bc=6b ,即 a =7b , ∴由余弦定理得:cosA= = = ,

∵A 为三角形的内角, ∴A=30°. 故答案为:30° 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键.

10. (5 分)设向量 与 的夹角为 θ,



,则 cosθ 等于 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 先求出 的坐标,再利用向量的夹角公式,即可求得结论. 解答: 解:∵ ∴ =(1,2) ∴ =2+2=4 = = , ,

∴cosθ=

故答案为: 点评: 本题考查向量的夹角公式,考查学生的计算能力,属于基础题.
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11. (5 分)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是

27. 考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 由算法的程序框图,计算 n=1 时,s 的值,判断 n=2,3 时执行程序,n=4 时输出 s, 结束程序. 解答: 解:根据算法的程序框图知,s=0,n=1 时,s=(0+1)×1=1; n=2 不大于 3,执行 s=(1+2)×2=6; n=3 不大于 3,执行 s=(6+3)×3=27; n=4>3,输出 s:27,结束程序. 故答案为:27. 点评: 本题考查了应用程序框图进行简单的计算问题,是基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=3+x﹣e 的定义域为 R. (1)则函数 f(x)的零点个数为 2; (2)对于给定的实数 k,已知函数 fk(x)= fk(x)=f(x) ,则 k 的最小值为 2. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. x x 分析: (1)由 f(x)=3+x﹣e =0,得到 e =x+3,利用数形结合即可得到结论. (2)根据条件转化为求 k≥f(x)max,利用导数即可得到结论. x x x 解答: 解: (1)由 f(x)=3+x﹣e =0,则 e =x+3,作出函数 y=e 和 y=x+3 的图象, 则两个函数图象的交点个数为 2 个, 故函数 f(x)的零点个数为 2 个. (2)由题意可得出 k≥f(x)max, x x 0 由于 f′(x)=1﹣e ,令 f′(x)=0,e =1=e 解出 x=0, 当 x>0 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x<0 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取到最大值 f(0)=3﹣1=2. 故当 k≥2 时,恒有 fk(x)=f(x) 因此 k 的最小值为 2. 故答案为: (1)2, (2)2 ,若对任意 x∈R,恒有
x

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点评: 本题主要考查函数零点个数的判断以及利用导数研究函数最值问题,综合性较强, 利用数形结合是解决本题的关键. 三.解答题 13. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA﹣cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用正弦定理化简 csinA=acosC.求出 tanC=1,得到 C= (2)B= ﹣A,化简 sinA﹣cos (B+ )=2sin(A+ . ,推出

) .因为 0<A<

求出 2sin(A+

)取得最大值 2.得到 A=

,B=

解答: 解: (1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC, 因为 0<A<π,所以 sinA>0.从而 sinC=cosC, 又 cosC≠0,所以 tanC=1,C= (2)有(1)知,B= .

﹣A,于是

=

sinA+cosA ) . ,所以

=2sin(A+ 因为 0<A<

从而当 A+

,即 A=



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2sin(A+ 综上所述,

)取得最大值 2. cos(B+ )的最大值为 2,此时 A= ,B=

点评: 本题是中档题,考查三角形的有关知识,正弦定理的应用,三角函数的最值,常考 题型.

14. (12 分)已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx) , =(﹣cosωx﹣sinωx,2

cosωx) ,设

函数 f(x)= ? +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1) (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;数量积的坐标表达式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用向量数量积运算性质,求函数 f(x)的解析式,再利用二倍角公式和 两角差的余弦公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数的最小正周期; (2)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后将内层 函数看做整体,利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f(x)的值域. 解答: 解: (1) ∵f (x) = ? +λ= (cosωx﹣sinωx) × (﹣cosωx﹣sinωx) +sinωx×2 =﹣(cos ωx﹣sin ωx)+ =
2 2

cosωx+λ

sin2ωx+λ )+λ = +kπ,k∈z

sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣

∵图象关于直线 x=π 对称,∴2πω﹣ ∴ω= + ,又 ω∈( ,1) ∴k=1 时,ω= ∴函数 f(x)的最小正周期为 =

(2)∵f( ∴2sin(2× × ∴λ=﹣

)=0 ﹣ )+λ=0

∴f(x)=2sin( x﹣

)﹣

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由 x∈[0, ∴ x﹣

] ∈[﹣ , ]

∴sin( x﹣ ∴2sin( x﹣

)∈[﹣ ,1] )﹣ =f(x)∈[﹣1﹣ ,2﹣ ] ,2﹣ ]

故函数 f(x)在区间[0,

]上的取值范围为[﹣1﹣

点评: 本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数的图象和性质,向量数量积运算性质, 复合函数值域的求法,整体代入的思想方法,属基础题 15. (12 分)有一家公司准备裁减人员.已知这家公司现有职员 4a(40<a<120,a∈Z)人, 每人每年可创纯利 5 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 1 人,则留岗职员每 人每年多创纯利 0.1 万元,但公司需付下岗职员生活费等每人每年 4 万元,并且该公司正常 运转所需人数不得少于现有职员的 . (Ⅰ)若该公司裁减 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,求 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)该公司为获得最大的经济效益,应裁员多少人? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: ( I)设裁员 x 人,根据每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创纯利 0.1 万元,但 公司需付下岗职员生活费等每人每年 4 万元, 可得经济效益的函数, 利用该公司正常运转所 需人数不得少于现有职员的 ,确定函数的定义域; (Ⅱ)确定函数的对称性,分类讨论,确定函数的最值,即可得到结论. 解答: 解: ( I)设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则 y=(4a﹣x) (5+0.1x)﹣ 4x. 整理得 …(5 分)

又由该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的 , 所以 (Ⅱ)因函数 由二次函数的图象可知: 当 x<2a﹣45 时,函数 当 x>2a﹣45 时,函数 ∵0<x≤a.且 40<a≤120
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,即 0<x≤a…(7 分) 的对称轴方程为 x=2a﹣45.

是递增的; 是递减的.

∴①当 0<2a﹣45≤a,即 40<a≤45 时,x=2a﹣45 时, 函数 取得最大值…(10 分)

②当 2a﹣45>a,即 45<a<120 时,x=a 时, 函数 取得最大值…(12 分)

综上所述:当 40<a≤45 时,应裁员(2a﹣45)人;当 45<a<120 时,应裁员 a 人,公司才 能获得最大的经济效益…(13 分) 点评: 本题考查函数模型的构建, 考查分类讨论的数学思想, 考查学生利用数学知识解决 实际问题的能力,属于中档题. 16. (12 分)已知函数 f(x)=ax +bx +cx(a≠0)定义在 R 上的奇函数,且 x=﹣1 时,函数 取极值 1. (1)求 a,b,c 的值; (2)若对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],均有|f(x1)﹣f(x2)|≤s 成立,求 s 的最小值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)欲求 f(x)的解析式,只需找到关于 a,b,c 的三个等式,求出 a,b,c 的 值,根据函数的奇偶性可得到一个含 a,b,c 的等式,根据 x=﹣1 时,取得极值 1,可知函 数在 x=﹣1 时,导数等于 0,且 x=﹣1 时,函数值等于 1,又可得到两个含 a,b,c 的等式, 三个等式联立,解出 a,b,c 即可. (2)利用导数得到函数为减函数 f(1)≤f(x)≤f(﹣1)得到|f(x)|≤1,从而得出 f(x) 的最大最小值,从而求出当|f(x1)﹣f(x2)|≤s 成立时 s 的最小值. 3 2 解答: 解: (1)∵f(x)=ax +bx +cx(a≠0)是定义 R 上的奇函数 ∴b=0 ∴f(x)=ax +cx,∴f′(x)=3ax +c 依题意有 f′(﹣1)=0 且 f(﹣1)=1 即
3 3 2 3 2

,解得,a= ,c=﹣

∴f(x)= x +﹣ x (2) ,

x∈(﹣1,1)时 f′(x)<0, ∴f(x)在 x∈[﹣1,1]上是减函数, 即 f(1)≤f(x)≤f(﹣1) , 则|f(x)|≤1,?fmax(x)=1,fmin(x)=﹣1, 当 x1,x2∈[﹣1,1]时,|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max|+|f(x)min|≤1+1=2 ∴|f(x1)﹣f(x2)|≤s 中 s 的最小值为 2, ∴s 的最小值 2. 点评: 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值, 考查学生利用导数研究函数极值 的能力,以及绝对值不等式的性质.属于中档题.

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17. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣2 (Ⅰ)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅱ)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2﹣x1>ln2,求实 数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ) 求导数, 再分类讨论, 确定函数在区间上的单调性, 即可求得函数的最小值; (Ⅱ) 函数由两个不同的极值点转化为导函数等于 0 的方程有两个不同的实数根, 进而转化 为图象的交点问题,由此可得结论. 解答: 解: (Ⅰ)由 f′(x)=lnx+1=0,可得 x= , ∴∴①0<t< ,时,函数 f(x)在(t, )上单调递减,在( ,t+2)上单调递增, ∴函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值为 f( )=﹣ , ②当 t≥ 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, ∴f(x)min=f(t)=tlnt,

2

∴f(x)min=


2

(Ⅱ)y=f(x)+g(x)=xlnx﹣x +ax﹣2,则 y′=lnx﹣2x+1+a 题意即为 y′=lnx﹣2x+1+a=0 有两个不同的实根 x1,x2(x1<x2) , 即 a=﹣lnx+2x﹣1 有两个不同的实根 x1,x2(x1<x2) , 等价于直线 y=a 与函数 G(x)=﹣lnx+2x﹣1 的图象有两个不同的交点 ∵G′(x)=﹣ +2,∴G(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增, 画出函数图象的大致形状(如右图) , 由图象知,当 a>G(x)min=G( ) )=ln2 时,x1,x2 存在,且 x2﹣x1 的值随着 a 的增大而

增大而当 x2﹣x1=ln2 时,由题意



两式相减可得 ln

=2(x1﹣x2)=﹣2ln2

∴x2=4x1 代入上述方程可得 x2=4x1= ln2, 此时 a= ln2﹣ln( )﹣1, )﹣1;

所以,实数 a 的取值范围为 a> ln2﹣ln(

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点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查的知识点比较多,考查 数形结合的数学思想,综合性强.

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