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【高考考案】2015届高考数学第一轮复习 2.4 二次函数与幂函数课件 文_图文

§2.4

二次函数与幂函数

1. 掌握二次函数的图象与性质(单调性、 对称性、 顶点、 最值). 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系. 3.了解二次函数的广泛应用. 4.了解幂函数的概念. 1 -1 5.结合函数 y=x ,y=x2,y=x,y=x2,y=x3 的图 象,了解它们的变化情况.

一、二次函数 二次函数解析式的三种形式 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 2.顶点式: f(x) =a(x -k)2 +h(其中点(k, h)为二次 函数的顶点). 3.零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零 点为 x1 与 x2).

二、二次函数的图象与性质 f(x)=ax2+bx a>0 a<0 +c 开口方向 向上 向下 分Δ>0,Δ=0,Δ<0 Δ 三种情况 定义域 R 4ac-b2 4ac-b2 值域 _[ ,+∞)_ _(-∞, ]_ 4a 4a

f(x)=ax2+ bx+c

a>0 b 在_(-∞,- )_上单调递减 2a b 在_(- ,+∞)_上单调递增 2a
图象关于直线__x=- __对称 2a a 决定图象开口方向,a 与 b 决定 对称轴,c 决定与 y 轴的交点,a、 b、c 共同决定图象的顶点

a<0 b 在_(-∞,- )_ 2a
上单调递增 在_(- ,+∞)_ 2a 上单调递减

单调性

b

对称性

b

a、b、c
的作用

三、幂函数 1.幂函数的概念:形如 y=xα的函数称为幂函数,其 中α为常数. 2.幂函数(y=xα)的性质: (1)当α>0 时 ①图象都通过点__(1,1),(0,0)__. ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而__增大__. ③在第一象限内, α>1 与 0<α<1 的图象凹凸性不一样. ④图象在点__(1,1)__处发生交叉. (2)当α<0 时 ①图象都通过点__(1,1)__. ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而__减小__.

③图象在点__(1,1)__处发生交叉. 与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2 + bx + c>0 , a ≠ 0 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ? ?a>0, ? 2 其几何意义是抛物线恒在 x 轴上方. ? ?b -4ac<0. (2)ax2 + bx + c<0 , a ≠ 0 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 ? ?a<0, ? 2 其几何意义是抛物线恒在 x 轴下方. ? ?b -4ac<0. 注意:当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.

1.已知幂函数 f(x)过点(4,2),则 f(9)等于( ). A.1 B.2 C.3 D.4 设 f(x)=xα,点(4,2)在函数图象上,∴2=4α, 1 1 ∴α= ,∴f(9)=92=3. 2 C 2.若函数 f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是 ). A.存在 a∈R,f(x)是偶函数 B.存在 a∈R,f(x)是奇函数 C.对于任意的 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数

(

D.对于任意的 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 对于 A,只要取 a=0 就满足;对于 B,因为 f(x)= x2+ax 的图象是抛物线, 它不可能关于原点对称, 所以 B 错; 对于 C,当 a<0 时,结论错误;同样对于 D,也可判断它是 错的. A 1 a 3.在同一坐标系内,函数 y=x (a≠0)和 y=ax- 的

a

图象可能是(

).

1 当 a>0 时,直线的斜率为正,在 y 轴上的截距为-

a

<0,此时幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是增函数,故 A 图象不可能;同理 D 也不可能;对于 B,由 y=xa 的图象知 a 1 <0,而直线在 y 轴上的截距- >0,不符合.通过比较知

a

C 符合. C 4.若关于 x 的方程 x2-x-(m+1)=0 在[-1,1]上有 解,则 m 的取值范围是( ). 5 A.-1≤m≤1 B.- ≤m≤1 4 5 C.m≥- D.m≤1 4 ∵m=x2-x-1,令 g(x)=x2-x-1,

1 5 ∴g(x)min=g( )=- ,g(x)max=g(-1)=1, 2 4 5 ∴- ≤m≤1. 4 B

1.二次函数的解析式、图象与性质(5 年 1 考) 2.二次函数的综合应用(5 年 2 考) 3.幂函数的图象与性质及应用(5 年 1 考)

1.二次函数的图象 (2010 年安徽卷)设 abc>0, 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( ).

当 a>0 时,b、c 同号,C、D 两图中 c<0,故 b<0,

b - >0,选项 D 符合. 2a
D 2.二次函数的性质 (2010 年四川卷)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线

x=1 对称的充要条件是( ). A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1
函数 f(x)=x +mx+1 图象的对称轴为 x=- ,于 2
2

m

是- =1? m=-2. 2 A 3.幂函数的图象与性质 (2008 年山东卷)给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数, 则函数 y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命 题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ). A.3 B.2 C.1 D.0 易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,

m

而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、 逆否命题三个命题中,真命题有一个. C (2012 年江苏卷)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R) 的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为 (m,m+6),则实数 c 的值为________. 因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即 a2=4b, 所以 x2+ax+ -c<0 的解集为(m,m+6),易得 m 与 m+6 4 是方程 x2+ax+ -c=0 的两根.设一元二次方程两根为 4

a2

a2

?2m+6=-a=x1+x2, ? x1、x2,由根与系数的关系得? 而 a2 m(m+6)= -c=x1x2, ? ? 4 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=62,解得 c=9. 9 本题巧妙地把二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式有机地联系起来, 很好地考查了化归的思想和方程的 思想的应用.

题型一 二次函数与幂函数的基础问题 (1)若函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图 象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最大值为

________. (2)若-1<x<0,则 0.5x、5-x 及 5x 从小到大的顺序为 ________. (1)函数的图象关于直线 x=1 对称,则定义域关于 1 对称,可列出一个方程.对称轴为直线 x=1,也可列出一 个方程.解二元一次方程组得出 a,b 的值. (2)三个数的指数都有 x, 故把三个数的指数化成正数, 再分析底数即可. (1)∵函数的图象关于直线 x=1 对称, ? a+2 ?- =1, ? ?a=-4, 2 ∴? ∴? ?b=6, ? ? ?a+b=2, ∴f(x)=x2-2x+6(-4≤x≤6),

∵f(x)开口向上,图象在[-4,6]上关于 x=1 对称, 函数 f(x)的最大值为 f(-4)=f(6)=30. (2)0.5x=2-x,5x=0.2-x, ∵-1<x<0,0<-x<1,0.2<2<5, 且 y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函数, ∴0.2-x<2-x<5-x(-1<x<0), ∴5x<0.5x<5-x. (1)30 (2)5x<0.5x<5-x (1)从二次函数的开口方向与参数的结合命题, 还结 合了恒成立与对称轴等问题,属二次函数的性质与应用范 围.(2)从比较大小入手,考查幂函数的性质. (1)已知函数 f(x)=x2-2x,x∈[a,b]的值域为 [-1,3],则 b-a 的取值范围是________.

(2)当 x∈(0,+∞)时,幂函数 f(x)=(m2-m-1)x-m+1 为减函数,则实数 m=________. (1)f(x)=(x-1)2-1≥-1,知 1∈[a,b],令 x2 -2x=3,则 x=3 或 x=-1, ? ?a=-1, ? ?-1≤a≤1, ∴? 或? ∴2≤b-a≤4. ? ? ?1≤b≤3 ?b=3, 2 ? ?m -m-1=1, (2)由题知? ∴m=2. ? ?-m+1<0, (1)[2,4] (2)2

题型二 指定区间二次函数的最值和值域 试求二次函数 f(x)=x2+2ax+3 在区间[1, 2] 上的最小值. 二次函数图象的对称轴为 x=-a,要求函数在区间 [1,2]上的最小值就需要看对称轴与[1,2]的位置关系,为 此需结合二次函数的图象对 a 进行分类讨论. f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2, 当-a>2,即 a<-2 时,函数在区间[1,2]上为减函 数,故此时最小值为 f(2)=4a+7; 当 1≤-a≤2, 即-2≤a≤-1 时, 函数的最小值为 f(- a)=-a2+3; 当-a<1,即 a>-1 时,函数在区间[1,2]上为增函 数,故此时最小值为 f(1)=2a+4.

综上:当 a<-2 时,最小值为 4a+7;当-2≤a≤-1 时,最小值为-a2+3;当 a>-1 时,最小值为 2a+4. 求二次函数的值域或最值,常用方法是配方法.二 次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得, 如 果解析式中含参数,需要对参数进行分类讨论,根据对称轴 与给定区间的位置关系, 结合二次函数的图象利用二次函数 的单调性处理. 若 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有 最大值-5,求 a 的值. 2 2 是 f(x)的递减区间,则 f(x)max=f(0)=-4a-a2=-5,

f(x)的对称轴方程为 x= .当 <0,即 a<0 时,[0,1]

a

a

得 a=1 或 a=-5,而 a<0,即 a=-5;当 >1,即 a>2 2 时,[0,1]是 f(x)的递增区间,则 f(x)max=f(1)=-4-a2 =-5,得 a=1 或 a=-1,而 a>2,即 a 不存在;当 0≤ ≤ 2 a 5 1,即 0≤a≤2 时,f(x)max=f( )=-4a=-5,a= .所以 a 2 4 5 =-5 或 . 4 题型三 利用二次函数讨论方程的解 设二次函数 f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x= 0 的两根 x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1. (1)求实数 a 的取值范围;

a

a

1 (2)试比较 f(0)· f(1)-f(0)与 的大小, 并说明理由. 16 (1)利用二次函数图象的对称轴、 顶点和其他特殊点 的位置建立不等式组求解或直接利用一元二次方程根的判 定方法求解;(2)作差比较大小. (1)令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意 可得 ?Δ>0, ? 1-a ?a>0, ?0< <1, ? 2 ? ?-1<a<1, 0<a<3 ?a<3-2 2或a>3+2 2 ?g(1)>0, ? ? ?g(0)>0

-2 2. 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2). (2)依题意可设 g(x)=(x-x1)(x-x2), 则由 0<x1<x2<1, 得 f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1) =x1x2(1-x1)(1-x2)=[x1(1-x1)][x2(1-x2)] x1+1-x1 2 x2+1-x2 2 1 <( )( )= , 2 2 16 1 故 f(0)f(1)-f(0)< . 16 本题考查二次函数中韦达定理和区间根的应用,考查二 次不等式的解法以及推理运算能力, 同时也考查二次函数两

根式的应用.二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学 的重要内容,它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以 “三个二次”为载体,综合二次函数、二次不等式、二次方 程交叉汇合处为主干,构筑成知识网络型代数推理题,在高 考试题中出现的频率相当高,占据着令人瞩目的地位. 已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b,若方程 f(x)= 0 有一根小于 1,另一根大于 1,当 b>-6 且 b 为常数时, 求实数 a 的取值范围. 设方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2,且 x1<1,x2>1.

a(6-a) ? , ① ?x1+x2= 3 ? b 所以有? ?x1x2=-3, ② ? ?(x1-1)(x2-1)<0, ③ 把③整理为 x1x2-(x1+x2)+1<0. ④ 把①②代入④并化简得 a2-6a+(3-b)<0, 由于Δ=36-4(3-b)=4(6+b)>0, 所以 3- 6+b <a<3+ 6+b.

一、选择题 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是 ( ). A.f(x)=x2-1 B.f(x)=5x2 C.f(x)=-x2 D.f(x)=x2 形如 f(x)=xα的函数是幂函数,其中α是常数. D 2.给出 4 个幂函数大致的图象,则图象与函数对应正 确的是( ).

1 1 2 A.①y=x3,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 1 3 2 B.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 1 2 3 C.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 1 1 D.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x-1 由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义域为 R,当 x>0 时,图象是向下凸的,结合选项知选 B.

B 1 3.设α∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xα的定义域 2 为 R 且为奇函数的所有α值为( ). A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 1 -1 在函数 y=x ,y=x,y=x2,y=x3 中,只有函数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故α=1,3. A 4.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单 调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( ). A.(-∞,0] B.[2,+∞)

C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2] 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调 递减, 则 a≠0, f′(x)=2a(x-1)<0, x∈[0, 1], 所以 a>0, 即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1.所以 f(0)= f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. D 3 5.已知点( , 3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x) 3 是( ). A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 3 α α 设 f(x)=x ,由已知得( ) = 3, 3

解得α=-1,因此 f(x)=x-1,易知该函数为奇函数. A 6.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c =0,则它的图象是( ).

∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax2+bx +c 的开口向上,且与 y 轴的交点(0,c)在负半轴上. D 二、填空题 7.已知函数 f(x)=-2x2+6x-m 的值恒小于 0,则实 数 m 的取值范围为________.

9 9 f(x) =- 2x +6x -m =- 2(x - 3x+ ) -m + =- 4 2 3 2 9 9 2(x- ) -m+ ≤-m+ , 2 2 2 ∵函数 f(x)=-2x2+6x-m 的值恒小于 0, 9 9 ∴-m+ <0,∴m> . 2 2 9 ( ,+∞) 2 8.已知幂函数 f(x)=(m2-m-1)x-5m-3 在(0,+∞)上 是增函数,则 m=________. ∵函数 f(x)=(m2-m-1)x-5m-3 是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1.
2 2

当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x-13 在(0,+∞) 上是减函数; 当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x2 在(0,+∞)上 是增函数. ∴m=-1. -1 9.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有 最大值 2,则 a 的值为________. f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a>1 时,ymax=a; 当 0≤a≤1 时,ymax=a2-a+1; 当 a<0 时,ymax=1-a.

? ? ?a>1, ? ?0≤a≤1, ?a<0, 根据已知条件? 或? 2 或? ? ? ?a=2 ?a -a+1=2 ? ?1-a=2,

解得 a=2 或 a=-1. 2 或-1 三、解答题 10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y =x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f( x) 的草图; (3)写出函数 f(x)的值域.

(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方 程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得 a=-2,则 y=- 2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数, f(x) =f(- x)=-2×( -x)2-12x -14,即 f(x)=-2x2-12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14.

(2)函数 f(x)的图象如图.

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4]. 11.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时 有最大值 2,求 a 的值. f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a≥1 时,ymax=a; 当 0<a<1 时,ymax=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=1-a.

? ? ?a≥1, ? ?0<a<1, ?a≤0, ? 根据已知条件知, 或? 2 或? ? ? ?a=2 ?a -a+1=2 ? ?1-a=2,

解得 a=2 或 a=-1. 12.设关于 x 的一元二次方程 ax2+x+1=0(a>0)有两 个实根 x1,x2. (1)求(1+x1)(1+x2)的值; (2)求证:x1<-1,且 x2<-1; x1 1 (3)如果 ∈[ ,10],试求 a 的最大值. x2 10 1 1 (1)(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1- + =

a a

1.

1 (2)令 f(x)=ax +x+1,由Δ=1-4a≥0 得 0<2 a≤ , 2 1 ∴抛物线 f(x)的对称轴方程 x=- ≤-2<-1. 2a 又 f(-1)=a>0, 所以 f(x)图象与 x 轴的交点都在点(- 1,0)的左侧, 故 x1<-1,且 x2<-1. 1 x2 (3)由(1),x1= -1=- . 1+x2 1+x2 x1 1 1 1 1 10 =- ∈[ ,10],所以- ∈[ , ]. x2 1+x2 10 x2 11 11 1 1+x2 1 1 2 1 ∴a= =- 2 =-[(- )- ] + , x1x2 x2 x2 2 4 1 1 1 故当- = 时,a 取得最大值为 . x2 2 4
2


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