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江苏省南京外国语学校(仙林分校)2015届高三下学期高考模拟数学(文)试卷


江苏省南京外国语学校(仙林分校)2015 届高考数学模拟试卷 (文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB) =__________. 2.已知复数 z=(3﹣4i)?i,则|z|=__________.

3.双曲线

的离心率是__________.
2

4.若命题“?x∈R,有 x ﹣mx﹣m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围是__________. 5.已知角 α,β 的终边在第一象限,则“α>β”是“sinα>sinβ”的__________条件. 6.在大小相同的 4 个球中,红球 2 个,白球 2 个.若从中任意选取 2 个球,则所选的 2 个 球恰好不同色的概率是__________. 7.在样本容量为 120 的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若正中间一个小长方形的 面积等于其它 10 个小长方形面积的和的 ,则正中间一组的频数为__________.

8.执行如图算法框图,若输入 a=3,b= ,则输出的值为__________.

9.若△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,向量 ,若 ,则∠C 等于__________.



10.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=8,则 a4+a5+a6=__________. 11.函数 f(x)=sinx﹣ cosx,x∈[0,π]的单调减区间为__________. ≤0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值集合

12.若关于 x 的不等式(ax﹣50)lg 是__________. 13.设函数 y=x ﹣3×2
2 n﹣1

x+2×4

n﹣1

(n∈N )的图象在 x 轴上截得的线段长为 dn,记数列{dn} ≥60 成立,则实数 m 的最小

*

的前 n 项和为 Sn,若存在正整数 n,使得 log2(Sn+1) 值为__________.

14.已知函数 f(x)= ≥kt”是假命题,则正实数 k 的取值范围是__________.

,若命题“?t∈R,且 t≠0,使得 f(t)

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 80 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式
2

的解集为?,命题 q:函

数 f(x)=lg[ax +(a﹣2)x+ ]的定义域为 R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 a 的 取值范围. 16. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA⊥PD, E,F 分别为 PC,BD 的中点.证明 (1)EF∥平面 PAD; (2)EF⊥平面 PDC.

17.数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,…) ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式. 18.如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD,其中 AB、CD、DA 都是线段,曲线段 BC 是抛 物线的一部分, 且点 B 是该抛物线的顶点, BA 所在直线是该抛物线的对称轴, 经测量, AB=2 米,AD=3 米,AB⊥AD,点 C 到 AD、AB 的距离 CH、CR 的长均为 1 米,现要用这块边 角料截一个矩形 AEFG(其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上,点 E 在线段 AD 上,点 G 在 线段 AB 上) .设 BG 的长为 x 米,矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. (1)将 S 表示为 x 的函数; (2)当 x 为多少米时,S 取得最大值,最大值是多少?

19.已知椭圆 E:

+

=1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰

好经过坐标原点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的 弦长; (Ⅲ)在平面上是否存在一点 P,使得 理由. 20.已知函 f(x)=x ﹣8lnx,g(x)=﹣x +14x (1)求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值.
2 2

= ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明

江苏省南京外国语学校(仙林分校)2015 届高考数学模 拟试卷(文科)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则 A∩(?UB) ={2,4}. 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}, ∴?UB={2,4,6}, A∩(?UB)={2,4}, 故答案为:{2,4} 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.已知复数 z=(3﹣4i)?i,则|z|=5. 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 解答: 解:复数 z=(3﹣4i)?i=3i+4, 则|z|= =5.

故答案为:5. 点评:本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.

3.双曲线

的离心率是



考点:双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程易知 a、b,然后通过其性质 c =a +b 求得 c,最后由其离心率 e= 得出答案. 解答: 解:由题意知 a =2,b =1, 2 2 2 所以 c =a +b =3, 则 a= ,c= , 所以该双曲线的离心率 e= = 故答案为 . .
2 2 2 2 2

点评:本题考查双曲线的标准方程与性质. 4.若命题“?x∈R,有 x ﹣mx﹣m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围是(﹣4,0) .
2

考点:特称命题. 专题:简易逻辑. 分析:写出该命题的否定命题,根据否定命题求出 m 的取值范围即可. 2 解答: 解:命题“?x∈R,有 x ﹣mx﹣m≤0”是假命题, 2 它的否定命题是“?x∈R,有 x ﹣mx﹣m>0”,是真命题, 2 即 m +4m<0; 解得﹣4<m<0, ∴m 的取值范围是(﹣4,0) . 故答案为: (﹣4,0) . 点评: 本题考查了特称命题与全称命题之间的关系, 解题时应注意特称命题的否定是全称命 题,全称命题的否定是特称命题,是基础题. 5.已知角 α,β 的终边在第一象限,则“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据三件函数的定义和关系式,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:∵角 α,β 的终边在第一象限, ∴当 α= 若当 α= +2π,β= ,β= ,满足 α>β,但 sinα=sinβ,则 sinα>sinβ 不成立,即充分性不成立, +2π,满足 sinα>sinβ,但 α>β 不成立,即必要性不成立,

故“α>β”是“sinα>sinβ”的既不必要也不充分条件, 故答案为:既不必要也不充分条件. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 6.在大小相同的 4 个球中,红球 2 个,白球 2 个.若从中任意选取 2 个球,则所选的 2 个 球恰好不同色的概率是 .

考点:等可能事件的概率. 专题:常规题型. 2 分析:这是一个古典概型,在大小相同的 4 个球中任意选取 2 个球有 C4 种取法,题目要求 1 1 所选的 2 个球恰好不同色包含选的两个球一个红色一个白色,满足条件的事件数是 C2 C2 种结果,根据古典概型公式得到结果. 解答: 解:由题意知这是一个古典概型, 2 ∵在大小相同的 4 个球中任意选取 2 个球有 C4 种取法, ∵题目要求所选的 2 个球恰好不同色包含选的两个球一个红色一个白色, 1 1 ∴满足条件的事件数是 C2 C2 种结果, ∴P= = ,

故答案为:

点评:本题是一个古典概型,在使用古典概型的概率公式时,应该注意: (1)要判断该概率 模型是不是古典概型; (2)要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的 总数. 7.在样本容量为 120 的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若正中间一个小长方形的 面积等于其它 10 个小长方形面积的和的 ,则正中间一组的频数为 30.

考点:频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析:根据频率分布直方图中所有小长方形的和为 1,求出正中间一个小长方形的面积(频 率) ,即可得出频数. 解答: 解:根据频率分布直方图中,所有小长方形的和(即频率和)为 1, 设正中间一个小长方形的面积为 x,则其它 10 个小长方形面积的和为 3x, ∴x+3x=1,解得 x= ; ∴正中间一组的频数为 120× =30. 故答案为:30. 点评:本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率= 基础题目. 的应用问题,是

8.执行如图算法框图,若输入 a=3,b= ,则输出的值为 .

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:本题考查的是循环结构程序,我们很难写出程序运行结果对应的数学模型表达式,故 可采用模拟试验的方法,即模拟程序运行,将程序运行过程各变量的值用表格表示,逐步分 析,最后得到正确的答案.

解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环_____a_____b 循环前_________/______3_____ 第一圈_________是_____ _____ 第二圈_________是_____ _____ 第三圈_________是_____ _____ 第四圈_________否 故最后输出的 a 值为 . 故答案为: 点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确 的结论,是基础题. 9.若△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,向量 ,若 ,则∠C 等于 .



考点:平面向量的坐标运算. 专题:计算题. 分析:利用向量垂直,求出数量积为 0 时的关系式,利用余弦定理求解即可. 解答: 解:向量 所以: 即:a ﹣c +b =ab, 所以 cosC= ,∠C 是三角形内角, 所以∠C= 故答案为: 点评:本题考查平面向量的坐标运算,余弦定理的应用,是基础题. 10.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=8,则 a4+a5+a6=±16. 考点:等比数列的性质. 专题:计算题.
2 2 2



,若

, =0

分析:根据等比数列的性质可知

=

=

都等于公比 q 的平方,由已知条件列出关于公

比 q 的方程,求出 q 的值,然后再根据 入即可求出值.

=

=

都等于公比 q 的立方,把公比 q 的值代

解答: 解:设等比数列的公比为 q,由 a1+a2+a3=2,则 a3+a4+a5=q (a1+a2+a3)=2q =8, 2 即 q =4,q=±2; 3 所以 a4+a5+a6=q (a1+a2+a3)=±8×2=±16. 故答案为:±16 点评:本题主要考查了等比数列的性质,属基础题.学生做题时注意公比 q 的值有两个. 11. 函数 ( f x) =sinx﹣ cosx, x∈[0, π]的单调减区间为[ , π( ] 也可以写成 ( ) ) .

2

2

考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题. 分析: 先根据两角和与差的正弦公式进行化简, 再由正弦函数的单调性可求出满足条件的所 有 x 的区间,再结合 x 的范围可求出答案. 解答: 解:f(x)=sinx﹣ 令 ∴ cosx=2sin(x﹣ , ,k∈Z ,π] )

∵x∈[0,π]∴所求单调减区间为:[ 故答案为:[ ,π].

点评: 本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性. 考查对基础知识的掌握程 度和理解程度.三角函数是 2015 届高考的重点,每年必考,一定要强化复习. 12.若关于 x 的不等式(ax﹣50)lg 是{5}. 考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:由题意可得 a>0,x>0,设 f(x)=(ax﹣50)lg ,可得当 x 无限趋近于 0 时,f ≤0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值集合

(x)无限趋近于﹣∞,当 x 无限趋近于+∞时,f(x)无限趋近于﹣∞,

把 f(x)≤0 恒成立转化为 f(x)有唯一的零点,进一步得到 合. 解答: 解: (ax﹣50)lg 则 a>0,x>0, 设 f(x)=(ax﹣50)lg , ≤0 对任意的正实数 x 恒成立,

=2a,由此求得 a 的取值集

当 x 无限趋近于 0 时,f(x)无限趋近于﹣∞, 当 x 无限趋近于+∞时,f(x)无限趋近于﹣∞, 若 f(x)≤0 恒成立,需 f(x)有唯一的零点, 由 f(x)=0,得 ax﹣50=0 或 lg 解得:x= ,x=2a. =2a, =0.

若 f(x)有唯一的零点,则
2

那么 a =25,即 a=5. ∴实数 a 的取值集合是{5}. 故答案为:{5}. 点评:本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法,把 f(x)≤0 恒成立转化为 f(x)有唯一的零点是解答该题的关键,是中档题. 13.设函数 y=x ﹣3×2
2 n﹣1

x+2×4

n﹣1

(n∈N )的图象在 x 轴上截得的线段长为 dn,记数列{dn} ≥60 成立,则实数 m 的最小

*

的前 n 项和为 Sn,若存在正整数 n,使得 log2(Sn+1) 值为 29. 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:令 y=x ﹣3×2
n 2 n﹣1

x+2×4

n﹣1

=0,可得 dn=x2﹣x1=2
2

n﹣1

.利用等比数列的前 n 项和公式可

得 Sn=2 ﹣1.log2(Sn+1)

≥60 化为 n(m﹣n )≥60,

,变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:令 y=x ﹣3×2 ∴dn=x2﹣x1=2 ∴Sn=
n﹣1 2 n﹣1

x+2×4

n﹣1

=0,解得







=2 ﹣1.
2

n

∴log2(Sn+1)

≥60 化为 n(m﹣n )≥60,



=

=90,

取 n=3 时,m 取得最小值 29. 故答案为:29. 点评:本题考查了等比数列的前 n 项和公式、基本不等式的性质、一元二次方程的解法,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

14.已知函数 f(x)= ≥kt”是假命题,则正实数 k 的取值范围是( ,1].

,若命题“?t∈R,且 t≠0,使得 f(t)

考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 x<1 时函数的单调性,画出函数 f(x)的图象,把命题“存在 t∈R,且 t≠0,使得 f(t)≥kt”是假命题转化为“任意 t∈R,且 t≠0,使得 f(t)<kt 恒成立”,作出直线 y=kx,设 直线与 y=lnx(x≥1)图象相切于点(m,lnm) ,求出切点和斜率,设直线与 y=x(x﹣1) (x≤0)图象相切于点(0,0) ,得切线斜率 k=1,由图象观察得出 k 的取值范围. 解答: 解: 当 x<1 时, ( f x) =﹣|x ﹣2x +x|=﹣|x (x﹣1)|= 当 x<0,f′(x)=(x﹣1) (3x﹣1)>0,∴f(x)是增函数; 当 0≤x<1,f′(x)=﹣(x﹣1) (3x﹣1) ,∴f(x)在区间(0, )上是减函数, 在( ,1)上是增函数; 画出函数 y=f(x)在 R 上的图象,如图所示;
3 2 2 2



命题“存在 t∈R,且 t≠0,使得 f(t)≥kt“是假命题, 即为任意 t∈R,且 t≠0 时,使得 f(t)<kt 恒成立; 作出直线 y=kx,设直线与 y=lnx(x≥1)图象相切于点(m,lnm) ,

则由(lnx)′= ,得 k= , 即 lnm=km,解得 m=e,k=; 2 设直线与 y=x(x﹣1) (x≤0)的图象相切于点(0,0) , 2 ∴y′=[x(x﹣1) ]′=(x﹣1) (3x﹣1) ,则有 k=1, 由图象可得,当直线绕着原点旋转时,转到与 y=lnx(x≥1)图象相切, 以及与 y=x(x﹣1) (x≤0)图象相切时,直线恒在上方,即 f(t)<kt 恒成立, ∴k 的取值范围是( ,1]. 故答案为: ( ,1]. 点评: 本题考查了分段函数的应用问题, 也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题 以及不等式恒成立的问题,是较难的题目. 二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 80 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式
2 2

的解集为?,命题 q:函

数 f(x)=lg[ax +(a﹣2)x+ ]的定义域为 R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 a 的 取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:函数的性质及应用;简易逻辑. 分析:先根据指数函数的单调性,对数函数的定义域,以及一元二次不等式解的情况和判别 式△ 的关系求出命题 p,q 下的 a 的取值范围,再根据 p∨q 为真,p∧q 为假得到 p,q 一真 一假,所以分别求出 p 真 q 假,p 假 q 真时的 a 的取值范围并求并集即可. 解答: 解:命题 p:|x﹣1|≥0,∴ ,∴a>1;

命题 q:不等式 ;

的解集为 R,∴

,解得

若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,则 p,q 一真一假; p 真 q 假时, ,解得 a≥8;

p 假 q 真时,

,解得



∴实数 a 的取值范围为:



点评:考查指数函数的单调性,空集的概念,对数函数的定义域,一元二次不等式的解的情 况和判别式△ 的关系,以及 p∨q,p∧q 的真假和 p,q 真假的关系. 16. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA⊥PD, E,F 分别为 PC,BD 的中点.证明 (1)EF∥平面 PAD; (2)EF⊥平面 PDC.

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题:证明题. 分析: (1)若证明 EF∥平面 PAD,关键是要找到平面 PAD 内一条可能与 EF 平行的直线, 分别图形后发现 PA 即为所求,故连接 AC 后,利用中位线的性质,即可临到结论. (2)若证明 EF⊥平面 PDC,我们要证明 EF 与平面 PDC 中两条相交直线均垂直,已知中 底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA⊥PD,结合(1)中结论,易证明出: CD⊥PA 且 PA⊥PD,根据线面垂直的判定定理即可得到结论. 解答: 证明: (1)连接 AC,在△ CPA 中,因为 E,F 分别为 PC,BD 的中点, 所以 EF∥PA.而 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, 所以直线 EF∥平面 PAD. (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD?平面 ABCD,且 CD⊥AD, 所以 CD⊥PA.又因为 PA⊥PD,且 CD,PD?平面 PDC, 所以 PA⊥平面 PDC.而 EF∥PA,所以 EF⊥平面 PDC. 点评: 本题考查的知识眯是直线与平面平等的判定及直线与平面垂直的判定, 熟练掌握线面 关系的判定定理是解答此类问题的关键. 17.数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,…) ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式. 考点:数列的应用. 专题:计算题. 2 分析: (1)由题意知(2+c) =2(2+3c) ,解得 c=0 或 c=2.再由当 c=0 时,a1=a2=a3,不符 合题意舍去,知 c=2. (2) 由题意知 an﹣an﹣1= (n﹣1) c, 所以 此可知 an=n ﹣n+2(n=1,2, )
2

. 由

解答: 解: (1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c, 因为 a1,a2,a3 成等比数列, 2 所以(2+c) =2(2+3c) , 解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=2. (2)当 n≥2 时,由于 a2﹣a1=c,a3﹣a2=2c,an﹣an﹣1=(n﹣1)c, 所以
2



又 a1=2,c=2,故 an=2+n(n﹣1)=n ﹣n+2(n=2,3, ) . 当 n=1 时,上式也成立, 2 所以 an=n ﹣n+2(n=1,2, ) 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意计算能力的培养. 18.如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD,其中 AB、CD、DA 都是线段,曲线段 BC 是抛 物线的一部分, 且点 B 是该抛物线的顶点, BA 所在直线是该抛物线的对称轴, 经测量, AB=2 米,AD=3 米,AB⊥AD,点 C 到 AD、AB 的距离 CH、CR 的长均为 1 米,现要用这块边 角料截一个矩形 AEFG(其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上,点 E 在线段 AD 上,点 G 在 线段 AB 上) .设 BG 的长为 x 米,矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. (1)将 S 表示为 x 的函数; (2)当 x 为多少米时,S 取得最大值,最大值是多少?

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系,设出抛物线标准方程,然后将 C 点坐标给出来,代入方程求出 p 的值,然后分两段表示出 S 的值. (2)按照分段函数求最值的方法,在两段上分别求出其最大值,然后大中取大,注意前一 段利用导数研究单调性后求最值.后一段是二次函数的最值问题. 解答: 解: (1)以点 B 为坐标原点,BA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 2 设曲线段 BC 所在抛物线方程为 y =2px(p>0) . 将点 C(1,1)代入,得 2p=1.所以曲线段 BC 的方程为 y= (0≤x≤1) . 又由点 C(1,1) ,D(2,3)得线段 CD 的方程为 y=2x﹣1(1≤x≤2) , 而 GA=2﹣x,所以 ,

(2)①当 0<x≤1 时,因为



所以 当 当

,令 S′=0 得 时,S′>0,所以此时 S 递增;



时,S′<0,所以此时 S 递减,所以当

时, .



②当 1<x<2 时,因为 所以当 x= 时, 综上,因为 . ,所以当 米时, . .

答:当 x 取值为 米时,矩形 AEFG 的面积最大为

点评: 本题充分考查了分段函数的应用性问题, 要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达 式,然后分两段研究其最值.

19.已知椭圆 E:

+

=1 的左焦点为 F,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰

好经过坐标原点 O,设 G 是圆 C 上任意一点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的 弦长; (Ⅲ)在平面上是否存在一点 P,使得 理由. 考点:圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析: (1)由题易知圆 C 的圆心为( )而 a= ,b=2 可求出圆心为(﹣4,0)
2 2

= ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明

又圆 C 恰好经过坐标原点 O 故半径为 4 所以圆 C 的方程为(x+4) +y =16 (2)可利用直线 FG 与直线 l 联立求出 t 点坐标再利用中点坐标公式求出 G(﹣3,yG)再 代入圆 C 的方程求出 yG 进而求出 FG 的方程为 y= 距离公式求出 C(﹣4,0)到 FG 的距离 d= 解. (x+2) ,然后利用圆心到直线的

再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求

(3)假设存在 P(s,t) ,G(x0,y0)使得
2 2 2 2

= 成立利用两点间的距离公式化简可得方程
2 2

3(x0 +y0 )+(16+2s)x0+2ty0+16﹣s ﹣t =0 再结 G(x0,y0)在圆 C 即 x0 +y0 +8x0=o 可

得(2s﹣8)x0+2ty0+16﹣s ﹣t =0 对所有的 x0,y0.成立故 2s﹣8=0,2t=0,16﹣s ﹣t =0 所以 s=4,t=0 即存在 p(4,0)满足题意. 解答: 解: (1)∵a= ,b=2 ∴c=2 ∴左准线方程为 x= =﹣4

2

2

2

2

∴圆心为(﹣4,0) ∵圆 C 恰好经过坐标原点 O 故半径为 4 2 2 ∴圆 C 的方程为(x+4) +y =16 (2)由题意知,得 G(﹣3,yG) ,代入(x+4) +y =16,得 y= 所以 FG 的斜率为 K=y= ,FG 的方程为 y= (x+2) =7
2 2

所以 C(﹣4,0)到 FG 的距离 d= 故直线 FG 被圆 C 截得弦长为 7.

,直线 FG 被圆 C 截得弦长为 2

(3)设 P(s,t) ,G(x0,y0) ,则由
2 2

,得
2 2



整理得 3(x0 +y0 )+(16+2s)x0+2ty0+16﹣s ﹣t =0① 2 2 2 2 又 G(x0,y0)在圆 C: (x+4) +y =16 上,所以 x0 +y0 +8x0=o② ②代入①得(2s﹣8)x0+2ty0+16﹣s ﹣t =0 2 2 又 G(x0,y0)为圆 C 上任意一点可知,2s﹣8=0,2t=0,16﹣s ﹣t =0 解得 s=4,t=0. 所以在平面上存在一点 p,其坐标为(4,0) . 点评: 此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方 程是 x= .第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出 d 再利用半径,d,弦长的一
2 2

半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解.对于第三问较难但思路较简单即假设存在 P (s,t) ,G(x0,y0)使得 = 成立,关键是得出(2s﹣8)x0+2ty0+16﹣s ﹣t =0 后怎么办
2 2

是难点!实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为 0 即可求出 s,t. 20.已知函 f(x)=x ﹣8lnx,g(x)=﹣x +14x (1)求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数 的单调性. 专题:综合题;压轴题.
2 2

分析: (1)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=1 处的导函数 值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (2)由已知中函数 f(x)=x ﹣8lnx,g(x)=﹣x +14x 的解析式,我们易求出他们导函数 的解析式,进而求出导函数大于 0 的区间,构造关于 a 的不等式,即可得到实数 a 的取值范 围; 2 (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)=2x ﹣8lnx﹣14x 与 y=m 的图象有且只有一个交点,求出 h'(x)后,易求出函数的最值,分析函数的性质后, 即可得到满足条件的实数 m 的值. 解答: 解: (1)因为 f′(x)=2x﹣ ,所以切线的斜率 k=f′(x)=﹣6 又 f(1)=1,故所求切线方程为 y﹣1=﹣6(x﹣1)即 y=﹣6x+7. (2) (x>0)
2 2

当 0<x<2 时,f'(x)<0,当 x>2 时,f'(x)>0, 2 2 要使 f(x)在(a,a+1)上递增,必须 a≥2g(x)=﹣x +14x=﹣(x﹣7) +49 如使 g(x)在(a,a+1)上递增,必须 a+1≤7,即 a≤6 由上得出,当 2≤a≤6 时 f(x) ,g(x)在(a,a+1)上均为增函数 (3)方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解 设 h(x)=2x ﹣8lnx﹣14x (x>0)h'(x) ,h(x)随 x 变化如下表 x (0,4) 4 (4,+∞) h'(x) ﹣ 0 + h(x) ↘ 极小值﹣24﹣16ln2 ↗ 由于在(0,+∞)上,h(x)只有一个极小值, ∴h(x)的最小值为﹣24﹣16ln2, 当 m=﹣24﹣16ln2 时,方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解. 点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中根 据已知函数的解析式,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.
2

有唯一解


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